概率论与统计课件：第二节（第四章）

§4.2

方差

随机变量X的数学期望反映了其取值的“中心位置”，是其全部可能值的“加权平均”．在实际中，常常需要知道X的取值与期望值E(X)的偏离程度，例如：设甲、乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为X、Y，并有如下分布率

xi

80859095100

pi0.20.2

0.2

0.2

0.2

yi

8587.59092.595

pi0.20.2

0.2

0.2

0.2但从数据上看乙炮比甲炮准(乙炮弹着点较集中)。这说明仅仅用期望值不能完整地说明随机变量的分布特征,还必须研究其偏差。那么，用怎样的量去度量这个偏差呢？如果用X－E(X)来衡量X与E（X）的偏差，会因为正、负偏差相互抵消，而不能反映偏差的大小；用|X－E(X)|又会因为绝对值运算不好处理．数理统计中选用E[X－E(X)]2来刻划X的取值与E（X）的偏差程度．一、方差的定义和计算

定义设X是一个随机变量，若E[X－E(X)]2存在，则称其为随机变量X的方差，记作D(X)或VarX，即

D(X)=E[X－E(X)]2叫X的标准差,或均方差.也记作若X为离散型随机变量，其分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,…)则若X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则按定义，随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度．若X取值比较集中，则D(X)较小；若X取值比较分散，则D(X)较大．因此，D(X)是刻划取值分散程度的度量．由D(X)=E[X－E(X)]2，可知D(X)是随机变量函数的数学期望．用期望的性质，并注意到E(X)是一个数，不难得出

D(X)=E[X－E(X)]2

=E[X2－2E(X)X＋E2(X)]=E(X2)－2E2(X)＋E2(X)=E(X2)－E2(X)．即D(X)=E(X2)－E2(X)．例1已知X的概率密度，求D(X)。于是D(X)=E(X2)－E2(X)=1/6

二、一些重要分布的方差

例2(两点分布)分布律为P{X=1}=p，P{X=0}=1－p．则

E(X)=p

E(X2)=12·p＋02·(1－p)=p

于是D(X)=E(X2)－E2(X)=p－p2=p(1－p)．例3(二项分布)X服从参数为n,p的二项分布，分布律为由于E(X)=np(k=0,1,2,…,n；0＜p＜1,q=1－p)将看作把p看作变量两边乘p得再对p求导数得两边再乘p得而p＋q=1例4(泊松分布)设X～P(λ)，求D(X)．解：分布律为所以E(X2)=E[X(X－1)+X]=E[X(X－1)]+E(X)D(X)=E(X2)－E2(X)例5(均匀分布)设X在[a,b]上服从均匀分布，求D(X)．解X的概率密度函数所以

D(X)=E(X2)－E2(X)例6(正态分布)X～N(μ,σ2),求D（X）．解X的概率密度函数可见正态分布N(μ,σ2)中的参数σ2正是它的方差.

特别当X～N(0,1)时，D(X)=1.例7(指数分布)设X服从参数为λ的指数分布，求D(X)．解X的概率密度函数所以

D(X)=E(X2)－E2(X)三、方差的性质若X与Y的方差D(X)和D(Y)都存在，则有下列性质：

(1)D(C)=0，其中C为常数；

(2)D(kX)=k2D(X)，其中k为常数；

(3)若X、Y相互独立，则有D(X±Y)=D(X)＋

D(Y)；

(4)D(X)=0的充要条件是P{X=a}=1，其中常数a=E(X)．证明(1)∵E(C)=C，∴E[C－E(C)]2=0．

(2)D(kX)=E[kX－E(kX)]2=E[kX－kE(X)]2

=E{k2[X－E(X)]}=k2E[X－E(X)]2=k2D(X)．

(3)D(X±Y)=E[(X±Y)－E(X±Y)]2=E{[X－E(X)]2±2[X－E(X)][Y－E(Y)]＋[Y－E(Y)]2}=E[X－E(X)]2±2E[X－E(X)][Y－E(Y)]＋E[Y－E(Y)]2当X、Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}=E(XY)－E(X)E(Y)=0因此D(X±Y)=D(X)+D(Y)

性质(3)还可以推广到n个随机变量的情况若X1,X2,…,Xn相互独立，那么

D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)性质(4)证明从略．例8二项分布可以作为多个0－1分布之和．若X～B(n,p)，则E(X)=np,D(X)=np(1－p)．从另一个角度来考虑，X可以看作是n重伯努利试验中事件A出现的次数，其中A在每次试验中出现的概率为p，现令显然Xi是服从0－1的随机变量，所以

E(Xi)=pD(Xi)=p(1－p)而X=X1＋X2＋…＋Xn,且X1、X2、…、Xn是相互独立的,于是由期望与方差的性质可得

E(X)=E(X1＋X2＋…＋Xn)=E(X1)＋E(X2)＋…＋E(Xn)=np.

D(X)=D(X1＋X2＋…＋Xn)=D(X1)＋

D(X2)＋…＋D(Xn)=np(1－p)．

求这个投资组合收益的均值和方差．解:事实上这个投资组合的收益为投资组合的风险通常用受益的方差来表示：