2011信号与系统第9章（资料）

状态变量与第九章一．输入－输出法（端口法）研究单输入－单输出系统；着眼于系统的外部特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。产生于20世纪50至60年代；卡尔曼(R.E.Kalman)引入；利用状态变量描述系统的内部特性；运用于多输入－多输出系统；用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。二．状态变量分析法三．状态变量分析法优点(1)提供了系统的内部特性以供研究；(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行数值计算；(3)便于分析多输入－多输出系统；(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。四．名词定义状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道时这组变量和时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间的行为。状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的。状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变量，可以看作矢量的各个分量的坐标。称为状态矢量。状态空间：状态矢量所在的空间。状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。例9-1-1微分方程（输入－输出描述法）：其中写为写为矩阵形式：只要知道的初始状态及输入即可完全确定电路的全部行为。输出方程此方法称为状态变量或状态空间分析法；为状态变量。则§9.2信号流图概述系统的信号流图表示法术语定义信号流图的性质信号流图的代数运算系统框图信号流图一．概述利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方程更为直观。线性系统的仿真（模拟）连续系统——相加、倍乘、积分离散系统——相加、倍乘、延时由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年代首先提出。应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。信号流图方法的主要优点系统模型的表示简明清楚；简化系统函数的计算方程。二．系统的信号流图表示法

实际上是用一些点和支路来描述系统：方框图流图称为结点线段表示信号传输的路径，称为支路。信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。三．术语定义结点：表示系统中变量或信号的点。转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。开通路：通路与任一结点相交不多于一次。环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。四．信号流图的性质支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1）（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。（3）具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。（4）流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。（5）五．信号流图的代数运算（1）（2）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。（3）并联支路的合并：并联相加（4）混合结点的消除（5）环路的消除总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系统函数。 ①串联支路合并，减少结点； ②并联支路合并，减少支路； ③消除环路。（6）信号流图的梅森增益公式式中：△——称为流图的特征行列式。——表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号。——表示由源点到阱点之间的第条前向通路的增益。——称为对于第条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。例9-2-1求下图信号流图表示的系统的系统函数。为了求出特征行列式，先求出有关参数。图中的流图共有4个回路，各回路增益为没有三个以上的互不接触回路。所以它只有一对两两互不接触的回路其回路增益乘积为例图中有两条前向通路，对于前向通路由于各回路都与该通路相接触，故对于前向通路不与g2

接触的回路有其增益其增益§9.3连续时间系统状态方程的建立状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程一．状态方程的一般形式和建立方法概述一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即为系统的k个状态变量。m个输入信号r个输出信号状态方程输出方程如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：表示为矢量矩阵形式状态方程输入方程状态方程和输出方程分析的示意结构图是积分环节，它的输入为，输出为。

若矩阵是的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的各元素都为常数，不随改变。状态变量的特性每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：直接法——主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；间接法——常见于控制系统研究。例9-3（1）取积分器的输出作为状态变量，则状态方程为即输出方程为即解：（2）故得系统的微分方程为（3）故得零状态响应为零输入响应为又因为即解得（4）二．由电路图直接建立状态方程(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。中必然包含，注意只能将此项放在方程左边。(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包括，对连接有电容的结点列结点电流方程，其(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。状态变量的个数等于系统的阶数。

对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程假定某一物理系统可用如下微分方程表示此系统为k阶系统，输入信号的最高次导数也为k次系统函数为为便于选择状态变量，系统函数表示成当用积分器来实现该系统时，其流图如下取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的状态方程输出方程表示成矢量矩阵的形式状态方程输出方程简化成对应A,B,C,D的矩阵分别为（二）用流图的串联结构形式列状态方程四．将系统函数分解

建立状态方程将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。（一）用流图的并联结构形式列状态方程电容独立性的讨论(a)(b)(a)将电压源Vs接到相互串联电容的两端，这两个电容上的电压不独立，只能选择其中之一为状态变量。(b)任一电容电压都受到其余两电容电压值的约束，若要选取电容电压为状态变量，它们之中只有两个是独立的。(a)(b)由于电流源Is

的约束作用，只能选一个电感电流作独立的状态变量；(b)若要选取电感电流作状态变量，三个电流之中只有两个是独立的。电感独立性的讨论例9-3-1写出下图所示电路的状态方程和输出方程。选电感电流和电容两端电压作为状态变量对连接电容的结点A列结点电流方程对包含电容的回路列回路电压方程整理写成矩阵形式输出方程为将H(s)作部分分式展开，得到例9-3-2用流图的并联结构形式建立状态方程。其中每一个子系统的形式为表示成流图为这样，的流图形式可表示为取积分器的输出为状态变量，则有表示成矩阵形式：例9-3-3用流图的串联结构形式建立状态方程。把作因式分解画成流图形式选积分器输出为状态变量或例9-3-4

用并联结构形式表示下式为状态方程的形式

用并联结构形式表示时，对上式用部分分式展开对应此式的流图结构形式如图（a）所示。选积分器输出为状态变量：

表示成矩阵形式为

本例说明当系统传输算子用部分分式展开具有重根时，则A矩阵成为约当阵的形式。线性代数里已经证明任何矩阵都和一个约当阵相似（对角阵是约当阵的一种特殊情况），所以尽管状态变量选择不同，对同一系统而言不同形式的A矩阵都是相似的。§9.4连续时间系统状态方程的求解用拉普拉斯变换法求解状态方程用时域法求解状态方程时域方法……借助计算机变换域方法……简单由状态方程求系统函数一．用拉普拉斯变换法求解状态方程方程，起始条件方程两边取拉氏变换整理得因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求。若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。1．矩阵指数的定义二．用时域法求解状态方程(一)矩阵指数式中为方阵,也是一个方阵2.主要性质(二)用时域方法求解状态方程1.求状态方程和输出方程若已知并给定起始状态矢量对式(1)两边左乘，移项有(1)化简，得两边取积分，并考虑起始条件，有对上式两边左乘，并考虑到，可得为方程的一般解求输出方程r(t)依此原理，将无穷项之和的表示式中高于次的各项全部化为幂次的各项之和，经整理后即可将化为有限项之和对于方阵A有如下特性：凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamitontheorem）：也即，对于，可利用以下幂次的各项之和表示，式中为各项系数。(2)(3)式中各系数c

都是时间t的函数，为书写简便省略了变量t。按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数c，最后解出。具体计算步骤：求矩阵A的特征值；

将各特征值分别代入式（3），求系数c。第一种情况A的特征值各不相同，分别为，代入式(3)有(4)第二种情况若A的特征根具有m阶重根，则重根部分方程为其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。(5)例9-4-1已知系统的状态方程和起始条件为试求系统的状态变量。(1)求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为所以预解矩阵为则状态变量矩阵为例9-4-2已建立状态方程和输出方程为起始状态为输入矩阵为用拉氏变换法求响应和转移函数矩阵。所以预解矩阵为(1)求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为（2）求转移函数矩阵（3）求输出矩阵例9-4-3已知，求。列出A的特征方程其特征根为代入式(4)有因而解得例9-4-4已知，求。列出A的特征方程特征根为二阶重根。按式(5)有因而解得§9.5离散时间系统状态方程的建立状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入

—输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程一．状态方程的一般形式和建立方法概述离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的r

个输出信号。为系统的m

个输入信号；为系统的状态变量；输出方程：状态方程：如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即状态方程：输出方程：

可见：n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。表示成矢量方程形式各矩阵说明若系统是线性时不变的，则A,B,C,D

各元素都为常数，不随n改变。若A,B,C,D矩阵是n的函数，表明系统是线性时变的，图中，是延时单元，它的输入为，输出。示意结构图二．由系统的输入

—输出差分方程建立状态方程对于离散系统通常用下列阶差分方程描述（输入—输出方程）其系统函数为考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为其流图形式选延时单元输出作为状态变量，则有表示成矢量方程形式为其中三．给定系统的方框图或流图建立状态方程给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。四．由研究对象的运动规律直接建立状态方程例9-5-1描述系统的差分方程为写出其状态方程和输出方程。由差分方程写出该系统的系统函数画出其信号流图以延时器的输出作为状态变量，分别为这样即可写出状态方程与输出方程为：

表示成矩阵形式为例9-5-2把待研究地区的人口按年龄段分为若干个组，以序号i表示第i组,某地区人口增长的简化动态模型注意：此方程中没有激励信号，在给定起始条件后即可求解，结果中只包含零输入响应部分，利用此方程可以粗略预测该地区人口发展状况，人为调节相应的系数可以适当控制人口增长速度。综合上述分析，容易列出完整的状态方程式，此状态方程为k阶。§9.6离散时间系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。矢量差分方程的时域求解An的计算离散系统状态方程的z变换解概述一．矢量差分方程的时域求解离散系统的状态方程表示为此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在，则按式(1)有以下用迭代法，求时刻的值：（1）对于任意n

值，当可归结为上式中，当时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即本身，只有当时，式(2)才可给出完整的之结果。(2)如果起始时刻选，并将上述对值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有还可解得输出为由两部分组成：一是起始状态经转移后在时刻得到的响应分量；另一是对时刻以前的输入量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。其中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的含义类似，也用符号表示，写作它决定了系统的自由运动情况。可以看出，零状态解中，若令，则系统的单位样值响应为可见，零状态解正是与的卷积和，也可写作关键：计算状态转移矩阵，即。二．的计算利用凯莱一哈密顿定理，(3)设为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数将分别代入（3），即可。若的特征根为重根的情况，例如为A的m

阶重根，则对重根部分计算为三．离散系统状态方程的变换解和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。由离散系统的状态方程和输出方程两边取变换整理,得到取其逆变换即得时域表示式为:状态转移矩阵即为或矩阵A的特征方程例9-6-1已知矩阵，求矩阵函数。特征根为根据关系式可得联立求解可得所以例9-6-2某离散系统的状态方程和输出方程分别为求描述该系统输入、输出关系的差分方程。由给定的状态方程，可得特征矩阵其逆矩阵系统函数考虑到，得由不难写出，描述该系统的差分方程为§9.7状态矢量的线性变换在线性变换下状态方程的特性系统转移函数阵在线性变换下是不变的A矩阵的对角化由状态方程判断系统的稳定性序言从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。一．在线性变换下状态方程的特性矢量形式

系数间的关系设原基底下状态方程表示为

经变换后或系数间的关系二．系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。证明：三．A矩阵的对角化在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。四．由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方程，则由A阵的对角化分析可知，A矩阵对角化后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断

连续系统稳定性的判断这需要解方程转移函数分母的特征多项式此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。离散系统稳定性的判断即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值例9-7-1给定系统的状态方程为按照下式作线性变换求新的状态方程。给定的变换矩阵为解：由变换关系式求出这样在给定变换下新的状态方程为例9-7-2将下图所示系统的A矩阵对角化。解：此系统变量相互之间是有关系的，系统的状态方程为求特征值把A矩阵对角化，即寻求A的特征矢量，为此先求A的特征值求得特征值为求特征矢量则有或得特征矢量（…续）

或得

则有变换阵及新系数矩阵由此构成的变换阵所以有变换后的状态方程因此变换后的状态方程为结构图方程的解方程的解为例9-7-3求K在什么范围内系统是稳定的？解：（1）列出系统的状态方程（2）系统的特征多项式解得即K值在此范围内系统稳定。（3）利用罗丝-霍尔维兹准则（参看第十一章，习题11-26）可以知道，为保证上列三次多项式的根都落于s左半平面必须满足例9-7-4（1）列出系统的状态方程解：或

(3)判断值范围为了使系统稳定必须有即特征根落于单位圆内。按给定的b值范围-1<b<1可分为两种情况：（2）系统的特征多项式系统的特征根为第一种情况即可保证系统稳定。为保证系统稳定，两根的模必须小于1，即第二种情况同时考虑给定b值之范围，解的稳定条件为

才可保证系统稳定,特征根落于单位圆内。综上所述，只有满足为保证系统稳定，必须有或§9.8系统的可控制性与可观测性系统的可控性定义、判别法系统的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系一．系统的可控性定义、判别法

可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。判别法1.根据状态方程的参数矩阵判别即:当为对角阵形式时,中的0元素对应不可控因素。设系统的状态方程2.可控阵满秩判别法即:若有,则连续系统完全可控的充要条件是:矩阵满秩。称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。3.单输入、单输出系统可控性的矩阵约当规范型判据即：若在为约当规范型中，与每个约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。二．系统的可观性定义、判别法可观性当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。可观性判别法1.根据状态方程的参数矩阵判别设系统的状态方程即:当为对角阵形式时,中的0元素对应不可观现象。2.可观阵满秩判别法即:若有,则连续系统完全可观的充要条件是:矩阵满秩。称为系统的可判别矩阵，即可观阵。3.单输入、单输出系统可观性的