流体力学第2章-流体静力学

第2章流体静力学

流体静力学主要是研究流体处于绝对静止或相对静止状态下的力学规律。由于流体处于静止时，其内部之间无相对运动，因此表面力中粘性力可不予考虑,仅考虑静压强，即流体可作为理想流体来处理。本章主要阐述压强的分布规律，以及物体壁面受到静止液体总压力的计算。

第2章流体静力学12.1流体静力学的基本方程

2.1.1流体平衡微分方程式

参阅图2.1，设M（x，y，z）为流体中的某一点，包围M点取一平衡微分六面体。

第2章流体静力学图2.1平衡微分六面体21.表面力

表面力在x方向的投影为

同理，在y方向的投影为

在z方向的投影为

第2章流体静力学32.质量力

设质量力为，流体的密度为。总质量力在x方向的投影为

同理，在y方向的投影为

在z方向的投影为

第2章流体静力学4

根据平衡条件，表面力和质量力在x，y，z轴上投影之和应分别等于零。故

或

第2章流体静力学5矢量式为

上式称为流体静力学的平衡微分方程式。很显然，

必须是有势力。

方程式的物理意义是：在静止流体中，作用在单位体积流体上的质量力与压强合力（压强梯度）平衡。第2章流体静力学6

以上式子中，第一、第二及第三式两端分别乘以dx、dy及dz，然后等号的左边和右边分别相加，并考虑到

可得

这个方程是流体静力学基本方程的另一种形式。它既适用于不可压缩流体，即=c，也适用于可压缩流体，即≠c。它既适用于绝对静止的流体，也适用于相对静止的流体。

第2章流体静力学72.1.2等压面

在静止流体当中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。

等压面的特性，作用于静止流体中任一点上的质量力必定垂直于通过该点的等压面。

参阅图2.2，设A是一个等压面，在质量力的的作用下，将流体质点在等压面上移至另一点。

第2章流体静力学图2.2等压面8质量力所做的功为

因此这两个矢量必定互相垂直。

参阅图2.3（a），当流体处于绝对静止时，等压面是水平面。图2.3（b）当流体在作相对运动时，此时等压面是倾斜的平面。图2.3（c）是两种重度不同互不相混的液体在同一容器中处于静止状态。这两种液体之间的分界面既是水平面又是等压面。第2章流体静力学图2.3质量力与等压面92.2流体静压强的分布规律

2.2.1液体静力学基本方程

参阅图2.4，在自由液面上取原点O，并建立坐标，xOy平面是水平面，z轴垂直向下。质量力在x，y及z轴上的投影是因为即第2章流体静力学图2.4静压强分布规律10在液体的自由表面上，z=0，，故积分常数，由此可得

它是液体静力学的基本方程。

式中——静止液体内某点的压强，Pa（N/m2）；——液体表面压强，对于液面与大气相通的开口容器，即为大气压强，以符号表示；——液体的重度，N/m3；z——该点在液面下的深度，m。

第2章流体静力学11液面压强有所增减Δ，那么内部压强亦相应地有所增减，而且=

。

这就是水静压强等值传递的著名的帕斯卡定律。

上述静止流体的压强分布规律是在连通的同种液体处于静止的条件下推导出来的。如果不能同时满足这三个条件：绝对静止、同种、连续液体，就不能应用上述规律。例如，参阅图2.5（a），a、b两点，虽属静止、同种，但不连通，中间被气体隔开了，所以虽然在同一水平面上的a、b两点压强是不相等的。图中b、c两点，虽属静止、连续，但不同种，所以在同一水平面上的b、c两点的压强也不相等。图2.5（b），d、e两点，虽属同种、连续，但不静止，管中是流动的液体，所以在同一水平面上的d、e两点压强也不相等。

第2章流体静力学12

多种流体在同一容器或连通管的条件下求压强或者压强差时，必须注意将两种液体的分界面作为压强关系的联系面。

第2章流体静力学图2.5等压面条件132.2.2气体压强的分布

1.按不可压缩流体计算

因气体的密度ρ很小，对于一般的仪器、设备，由于高度z有限，重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点的压强相等，即

例如储气罐内各点的压强都相等。

2.大气层压强的分布

第2章流体静力学14

如果以大气层为对象，研究压强的分布，必须考虑空气的压缩性。（1）对流层标准大气压分布

式中z的单位为m，

m。

（2）同温层

式中z的单位为m，

。

第2章流体静力学152.3压强计示方式与度量单位

2.3.1绝对压强和相对压强

以完全真空为基准起算的压强称为绝对压强，以

符号

表示。

以当地同高程的大气压为基准起算的压强称为相对压强，以表示。如果采用相对压强为基准，则大气相对压强为零，即=0。相对压强、绝对压强和大气压强之间的关系是

第2章流体静力学16

当某一点的绝对压强大于大气压强，相对压强为正值，称之为正压，或称表压。

当某一点的绝对压强小于大气压强，则相对压强为负值，称之为负压，此时，通常用真空压强表示，真空压强永远是正值。=|–|

为了说明以上压强的关系，现以A点（>）和B点（<）为例，表示在图2.6上。

第2章流体静力学17

以后讨论所指压强，如未特别说明，均指相对压强。若自由液面是水平面，上面是大气压强，则在图中往往用符号▽表示。z表示离开自由液面的深度h，则静止流体中某一点的相对压强为第2章流体静力学图2.6压强两种名称18h

称为流体质点的淹没深度。

2.3.2压强的三种度量单位

1.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力来表示，在国际单位制（SI）中以N/m2来表示或者是帕（帕斯卡），用Pa表示，

。可用三种度量单位来表示压强。

2.以大气压来表示。国际上规定标准大气压用符号atm表示(温度为0ºC时，海平面上的压强

，即760mmHg)

为101.325kPa。第2章流体静力学19

工程单位中规定大气压用符号at表示（海拔200m处正常大气压）为1kgf/cm2，即1at=1kgf/cm2，称为工程大气压。

3.以液柱高度来表示。通常用水柱高度或者汞柱高度，单位为mH2O、mmH2O或mmHg。例如一个标准大气压相应的水柱高度为相应的汞柱高度为

第2章流体静力学20一个工程大气压相应的水柱高度为

相应的汞柱高度为

2.3.3测压管水头

1.测压管高度、测压管水头

当z轴垂直向上时，将液体静力学基本方程

第2章流体静力学21写成

式中各项的物理意义如图2.7来说明。

z为某流体质点（如图中A、B点）在基准面以上的高度，称为位置高度或位置水头，是可以直接测量的量。物理意义是单位重量液体具有的重力势能（简称位能）。

第2章流体静力学图2.7测压管水头22

为压强高度，在某流体质点处放置一根竖直向上的开口玻璃管，称为测压管，液体沿测压管上升的高度

：

称为测压管高度或压强水头。物理意义是单位重量液体具有的压强势能（简称压能）。

单位重量液体具有的重力势能和压强势能之和称为单位重量的流体质点具有总势能，亦称为测压管水头。其物理意义是静止液体中各单位重量的流体质点具有的总势能相等。

第2章流体静力学232.真空高度

当某流体质点的绝对压强小于当地大气压，其相对压强是负压，往往用真空压强来表示，即

是真空高度

第2章流体静力学24【解】

在左端水银计管中，水平面是等压面，从而得

在右端测压水管和盛水容器液面同一水平面是等压面，从而得

【例2.1】如图2.8所示，在封闭管端完全真空情况下，水银柱差Z2=50mm，求盛水容器液面绝对压强和水面高度Z1。

第2章流体静力学图2.8测压管25【例2.2】立置在水池中的密封罩如图2.9所示，试求罩内A、B、C三点的压强。

【解】

开口一侧水面压强是大气压，因水平面是等压面，B点的压强，，则A点的压强

C点的压强

即

C点的真空压强

第2章流体静力学图2.9密封容器262.4流体的相对静止

在工程实践中，经常会遇到流体相对于地球运动，而流体与各容器之间，以及流体内部质点之间，没有相对运动的情况。在地球上的观察者看来，流体就像刚体一样运动，称这种情况为流体的相对静止。对于流体的相对静止，前面流体静压强的分布规律（2.3）式已不适用了，在处理这类问题时，可遵循下面的三个原则：

第2章流体静力学27第一，由于流体内部是相对静止，不必考虑粘性，可以作为理想流体来处理；第二，流体质点实际上在运动，根据达朗伯（d’Alembert）原理，在质量力中计入惯性力，使流体运动的问题，形式上转化为静平衡问题，直接应用流体静力学的基本方程（2.2）式求解；第三，一般将坐标建立在容器上，即所谓的动坐标。第2章流体静力学28V=029V=C30a>031a<032旋转运动33【例2.3】如图2.10为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一直径为d的U形管，测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离l=0.3m，求运动物体的加速度。

【解】

选动坐标系Oxyz，由式（2.2）

质量力

第2章流体静力学图2.10物体加速度的测定34将它们代入上式并积分

得

由边界条件

x=0，z=0，p=0（大气压为相对压强）

得C=0。另外x=–l，z=–h，p=0

，得第2章流体静力学35【例2.4】盛有液体的圆柱形容器，绕垂直轴以角速度ω旋转，试讨论自由液面方程。

【解】

整个液体随容器以同样角速度ω旋转。液体与容器、液体内部各层之间无相对运动，而且液面形成抛物面。见图2.11。

选坐标系Oxyz。

质量力中有重力–g，且计入惯性力，惯性力的方向与加速度的方向相反，为离心力方向，即

第2章流体静力学图2.11等角速度旋转运动362.自由液面方程

将以上质量力代入

积分，得

由边界条件

x=y=z=0，p=0得

C=0

故

第2章流体静力学1.质量力的确定37由于在自由液面上，压强处处为大气压，即p=0故自由液面的方程为

或者

显然这是一个旋转抛物面方程。

第2章流体静力学382.5液体对平壁的总压力

在工程实际中，经常需要计算液体对固体壁面的总压力。结构物表面可以是平壁，也可以是曲壁。本节讨论液体对平壁的总压力，研究的方法可分解析法和图解法两种。

2.5.1解析法

1.相对总压力的大小和方向第2章流体静力学39在受压面上，任取一微分面积dA，其纵坐标为y,其中心点在液面下的淹深为h，液体作用在dA上的压力方向垂直面元，大小为

sinαdA

其合力可按平行力系求和的原理来解决，即

第2章流体静力学图2.12平面上总压力40

作用在平面上的总压力等于平面面积与其形心点所受静压强的乘积。方向是沿着该平面的内法线方向。

F

——AB平面上静水总压力（单面）；

hC——AB平面形心C的淹没深度；

pC——AB平面形心C点的压强；——液体的重度；

A——平板AB的面积。

第2章流体静力学412.相对总压力的作用点

作用在AB平面上的相对总压力作用点为D（称压强中心），根据合力矩定理

以表示。

第2章流体静力学F·yDF·yD42由惯性矩的平行移轴定理

代入上式，得yD——相对总压力作用点到Ox轴的距离；yC——AB平面形心到Ox轴的距离；IC——AB平面对平行Ox轴并通过形心C的形心轴的惯性矩；A——平板AB的面积；——压强中心对形心的纵向偏心距。

同理可推导出相对总压力的作用点D到Oy轴的距离xD为

第2章流体静力学43

xC——AB平面形心到Oy轴的距离；IxyC——AB平面对平行x、y轴的形心轴的惯性积f

——压强中心对形心的横向偏心距。实际计算，往往只需算出yD，作用点的位置便可完全确定。

第2章流体静力学442.5.2图解法

对位于静止液体中一边平行于自由液面的矩形平壁的水静压力问题，可采用图解法求总压力及压强中心。

1.压强分布图

首先计算A点和B点的相对压强

第2章流体静力学45第2章流体静力学图2.13平面图形上压强分布462.图解法

相对总压力的大小等于压强分布图的面积A，乘以矩形平面的宽度b，即

F=bA

相对总压力的方向作用线垂直AB，并通过压强分布图的形心C1，该作用线与受压面AB的交点D，就是总压力的作用点。

【例2.5】一铅直矩形闸门，如图2.14（a），顶边水平，所在水深h1=1m，闸门高h=2m。宽b=1.5m，试用解析法和图解法求相对总压力F的大小、方向和作用点。

第2章流体静力学47【解】

解析法，延长BA交自由液面与O点。求矩形形状中心C处的压强

矩形闸门受到相对总压力则为

第2章流体静力学图2.14（a）闸门上的压力分布48方向如图，垂直闸门。压强中心D的求法由于该闸门是矩形，可用图解法。

绘制闸门的静水压强分布图。如图2.14（b），

其中第2章流体静力学49则单位宽度闸门受到的相对总压力F′为

宽度为b=1.5m的闸门受到的相对总压力为

求压强中心D，以B为矩心应用合力矩定理

第2章流体静力学图2.14（b）闸门上的压强分布50所以

或者压强中心D距水面高度为3-0.83=2.17m。3.应用解析法和图解法的注意事项

①应用解析法时，如果容器是封闭的，或者液面的压力p0和pa不相等，应虚设一个所谓的自由液面，使这个自由液面的相对压强为零。当p0>pa时，虚设的液面在实际液面上方，反之，在下方。坐标系原点的位置是平面AB和虚设液面的相交点。

第2章流体静力学51②

图解法只适用于矩形平壁，当受压平壁是其它形状，例如圆形、梯形等，只能应用解析法。

③

从公式（2.11）可看出，作用于受压平壁上的水静压力，与平壁AB与水平面的夹角α无关。

第2章流体静力学522.6液体对曲壁上的总压力

在工程中，还经常要计算如圆形储水池壁面、弧形闸门以及球形容器等，这些壁面多为柱面或球面。其计算方法可推广到其它的曲面。

第2章流体静力学532.6.1柱面上的总压力

先在柱面上沿母线方向取一条形微分面积dA，该微分面积上受到的相对总压力为dF，其大小为

第2章流体静力学图2.15曲面上的总压力54相对总压力的水平分力其中是柱面在铅垂平面上的投影面Ax对Oy轴的静矩，

得第2章流体静力学55Fx——柱面上总压力的水平分力Ax——柱面在铅垂平面上的投影面积hc——投影面Ax的形心点的淹没深度pc——投影面Ax形心点的压强

若曲壁在水平方向的投影有重叠部分，如图2.16中A-B-C-D曲线中的BCD段，总压力的水平分力则由AB段决定。

第2章流体静力学图2.16曲壁上的水平分力56其中是柱面到自由液面（或者是到自由液面的延伸面）之间铅垂柱体（称为压力体）的体积。

液体作用在柱面上的相对总压力为

相对总压力方向与水平面的夹角为

第2章流体静力学57相对总压力的作用点是这样来决定的：静止流体对二维曲壁总压力的水平分力Fx的作用线和垂直分力Fz的作用线交于一点，相对总压力的作用线通过该点，并与水平方向的夹角为。2.6.2压力体的概念积分式表示的几何体积称为压力体。它的界定范围是：假设沿着柱面边缘上每一点作自由液面（或延伸面）的铅垂线，这些铅垂线围成的壁面和以自由液面为上底、柱面本身为下底的柱体就是压力体。第2章流体静力学58通常压力体有以下三种情况：1.实压力体

2.虚压力体

3.半虚半实的压力体

第2章流体静力学图2.17压力体59【例2.6】密闭盛水容器，水深h1=60cm、h2=100cm，水银测压计读值，试求半径R=0.5m的半球形盖AB所受总压力的水平分力和铅垂分力。

【解】由于

虚设一个自由面，其上移的高度为第2章流体静力学图2.18半球形盖的压力60球盖AB所受总压力的水平分力为

（方向←）

(方向↓)

【例2.7】一半径R=10m的圆弧形闸门，如图2.19上端的淹没深度h=4m，设闸门的宽度b=8m，若圆弧的圆心角α=30°，求:

（1）闸门上受到水的相对总压力F的大小和方向；（2）相对总压力的作用点D的淹没深度。

第2章流体静力学61【解】

选取O-xyz坐标：在自由液面上取原点O，取自由液面为xOy平面，z轴铅垂向下。

闸门AB所受的水总压力F在x方向的分力大小Fx，得

（方向向右）

水总压力F在z方向的分力Fz大小第2章流体静力学图2.19圆弧形闸门上的总压力62其中压力体是如图2.19所示abeBAa所围成的柱体体积。

（方向向上）

第2章流体静力学63由于是圆弧形闸门，构成平面汇交力系，故总压力的作用线通过圆心，过圆心作与x轴成θ=16.93°的力作用线交闸门于D。D点即是总压力F的作用点。故D的淹没深度为

第2章流体静力学相对总压力为

64【例2.8】如图2.20，有一圆滚门，长度l=10m，直径D=4m，上游水深H1=4m，下游水深H2=2m，求作用于圆滚门上的水平和铅垂方向的分压力。

【解】

（1）圆滚门的左侧水平方向分力大小

（方向向右）铅垂方向分力大小

第2章流体静力学图2.20圆滚门上的总压力65（2）圆滚门的右侧

水平方向分力大小

（方向向左）

铅垂方向分力大小

（方向向上）

故圆滚门上水总压力的水平分力大小

（方向向右）

铅垂分力大小

（方向向上）

第2章流体静力学662.7浮力与稳定性

这在造船工程中是相当重要的。

2.7.1 阿基米德浮力定律

一种是物体全部浸没在水中，称之为潜体。另一种是部分浸没在水中，称之为浮体。图2.21表示潜体在液体中的平衡情况

第2章流体静力学67作用在整个潜体上垂直方向总压力是

其中是潜体的体积，方向显然是垂直向上。为潜体排开液体的重量。由于的方向是铅垂向上的，称之为浮力。用表示，它的作用线通过该潜体的体积形心C，C点称为浮心。

第2章流体静力学图2.21浮力dV'PdVP''yxzOdFx'dA2dFx''dA1dA4dFZ''dFz'dA368阿基米德原理是浸没于液体中的物体，受到浮力的作用，大小等于该物体所排开液体的重量，浮力的作用线通过该物体的体积形心，通过浮心的垂直轴称为浮轴。设潜体本身的重量是W，浮力是Fb:

1.当W>Fb时，物体将下沉至水底，称为沉体。

2.当W<Fb时，物体将上浮露出水面，成为浮体，直到重力和浮力相等为止。

3.当W=Fb时，物体将处于随遇平衡，成为潜体。

第2章流体静力学69稳定平衡70不稳定平