第3章 水文统计原理

第3章水文统计原理桥梁工程的水文计算任务：根据水文资料用水文统计方法确定桥涵工程的设计流量及设计水位。本章内容：几率与频率、频率分布、重现期、经验频率曲线、统计参数、频率适线法、相关分析。1.水文现象特性1.周期性2.地区性3.不重复性（偶然性）第1节水文现象的特性和分析方法2.水文分析方法1.成因分析法

推理公式、经验公式等

2.地区归纳法

水文手册3.数理统计法频率分析法1.随机事件随机试验：对随机现象的观测。随机事件：随机试验的结果。可分为3种：（1）必然事件每次试验中一定会出现的事件（2）不可能时间任何一次试验中都不会出现的事件（3）随机事件一次随机试验中可能出现也可能不出现的事件简单随机事件：试验的可能结果是有限的，而且所有事件出现的可能性都相等。第2节几率和频率2.随机变量随机变量：多次试验中，随机事件出现的种种结果。

水文统计法即是利用流量、降雨量等实测水文资料作为随机变量，推求水文现象（随机事件）的客观规律——统计规律。连续型随机变量不连续型（离散型）随机变量系列：许多随机变量组成的一列数值。某河流年最大流量值组成的随机变量系列

年最大流量系列第2节几率和频率3.几率（概率）和频率几率：在一定条件下，随机事件客观上出现的可能程度（可能性大小）。

简单随机事件的几率，按几率的古典定义计算：

P（A）——一定条件下，随机事件A出现的几率

n——实验结果的总数m——随机事件A出现的总数。必然事件（几率=1）、不可能事件（几率=1）、随机事件（0<几率<1）第2节几率和频率频率：一系列重复的独立试验中，某一事件出现的次数与试验总次数的比值。

设事件A在n次试验中出现了m次，则事件A在n次试验中出现的频率为m/n。试验次数较少时，频率具有明显的偶然性，随着次数的增多，频率将趋于稳定，最终接近于几率。第2节几率和频率几率是随机事件客观上出现的可能程度，是理论值；频率是利用有限的试验结果推算得到的，是经验值。4.总体和样本总体：随机变量系列的全体。随机样本：从总体中随机抽取的一部分随机变量系列。样本是总体的一部分，反映了总体的特征，因此可以借助样本具有的规律推求总体的规律。推断结果的可靠性由样本对总体的代表性决定。第2节几率和频率第2节几率和频率如：从一个水文站的历年流量观测资料中，每年选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的观测资料选出n个年最大流量值，组成一个n项容量的随机样本。水文中利用实测水文资料组成的有限的随机变量系列（样本）推求无限总体的规律，以解决工程中的水文计算问题。常用抽样方法为“年最大值法”第3节频率分布频率分布、频率曲线、累积频率频率分布：随机变量和其出现频率之间的对应关系。工程中，随机变量系列容量n足够大时，常把随机变量的频率分布近似地作为几率分布来看。当然，这对分析系列要有一定的要求，如系列长度（即容量）。一.频率分布某水文站1975年最大流量实测资料流量出现次数频率（%）累积出现次数累积频率（%）1400-130011.31.01.31300-120011.32.02.71200-110022.74.05.31100-100034.07.09.31000-90056.712.016.0900-800810.720.026.7800-7001418.734.045.3700-6002026.754.072765.086.7500-40068.071.094.7400-30034.074.098.7300-20011.375.0100.0组距：区间间隔（根据实测资料等区间划分）频率：各组中年最大降雨量出现的次数与总次数的比值累积频率：各组累积出现次数与总次数的比值。表示大于和等于该组所在区间年最大降雨量值出现的可能性大小。流量与频率关系的直方图以流量为横坐标，区间频率为纵坐标，表示年最大流量的频率分布。分布曲线与密度曲线的关系图累积频率：水文统计中，大于等于某一流量值出现的次数（累计出现次数）与总次数的比值，称为该流量的累积频率，简称为该流量的频率。

如：P=1%或1/100重现期P：在很长时期内，平均若干年遇到一次

T=1/P

P=1%或1/100，百年一遇。

P=2%或1/50，50年一遇。2.累积频率和重现期公路桥涵设计洪水频率（公路桥涵设计通用规范JTGD60-2004）公路等级特大桥大桥中桥小桥涵洞及小型排水构造物高级公路1/3001/1001/1001/1001/100一级公路1/3001/1001/1001/1001/100二级公路1/1001/1001/1001/501/50三级公路1/1001/501/501/251/25四级公路1/1001/501/501/25不作规定3.设计洪水频率经验频率曲线：根据实测水文资料直接点绘的频率曲线。理论频率曲线：为了配合经验频率点群外延频率曲线而提供的一种用数学方程式表示的频率曲线。第4节经验频率曲线频率曲线1.经验频率的计算我国水文计算中广泛采用的是维泊尔（Weibull）公式，即：P——统计系列中第m项（按递减顺序）随机变量的经验频率；

m——统计系列的容量；

n——计算随机变量的序号（递减次序）.2.经验频率曲线的绘制绘制步骤：

1）将实测水文资料按从大到小的顺序排列；

2）利用经验频率公式计算系列中各项的经验频率；

3）以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为横坐标，点绘经验频率点，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线，称为经验频率曲线。有了经验频率曲线，即可在曲线上求得指定频率P的水文变量值x。

经验频率曲线绘制简单，查用方便。

但受实测资料所限，往往难以满足设计上的需要。因为：设计洪水流量均为小频率的特大洪水流量，必须将经验频率曲线向上外延。而在等分格纸上，经验频率曲线成S形，两端陡，中间平缓，外延时任意性较大。3.经验频率曲线存在的问题海森几率格纸的特点：（1）纵坐标按均匀分格或对数分格（2）横坐标以50%为中心对称分格，中间密两边疏（依据正态分布的频率曲线在坐标纸上呈直线确定）

4.解决措施——在海森几率格纸上绘制经验频率曲线：根据实测水文资料直接点绘的频率曲线。理论频率曲线：为了配合经验频率点群外延频率曲线而提供的一种用数学方程式表示的频率曲线。我国：皮尔逊Ⅲ型曲线

耿贝尔曲线第5节理论频率曲线频率曲线皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见右图），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:

1.皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数式中：Γ(α)——α的伽玛函数；

α,β,a0——曲线参数，

1.皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数——均值、变差系数、偏差系数（1）均值

均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，……,xn

，则其均值为:模比系数K：（2）变差系数Cv

水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列的相对离散程度的一个参数，称为变差系数，或称离差系数、离势系数，其计算式为:（3）偏差系数Cs

在数理统计中采用偏态系数作为衡量系列不对称程度的参数，其计算式为:水文计算中，一般需要求出指定频率P所对应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:2.皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制将密度函数代入，推导得频率曲线的分布函数：——频率为p的随机变量、流量——离均系数，通过离均系数表查阅——模比系数，通过模比系数值表查阅附表

皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数

值表（摘录）P/%Cs

0.1152050

8095

99

99.90.03.092.331.640.840.00

-0.84-1.64-2.33-3.090.13.231.672.0

0.84

-0.02

-0.85

-1.62

-2.25-2.950.23.38

2.471.700.83-0.03

-0.85-1.59

-2.18-2.810.3

3.522.541.730.82-0.05

-0.85-1.55

-2.10-2.670.43.672.621.75

0.82-0.07

-0.85-1.52-2.03

-2.540.53.812.681.770.81-0.08-0.85

-1.40-1.96

-2.400.63.962.751.800.80-0.10

-0.85-1.45-1.88

-2.270.74.102.821.820.79

-0.12-0.85-1.42-1.81

-2.140.84.242.89

1.840.78-0.13-0.85

-1.38

-1.74-2.020.94.392.961.860.77-0.15

-0.85-1.35-1.66-1.90

4.53

3.021.880.76-0.16-0.85

-1.32-1.59-1.79附表

皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表（摘录，Cs=2Cv）P/%Cs0.1152050759095990.05

1.161.121.081.041.00

0.970.940.92

0.890.10

1.341.251.17

1.081.000.930.870.84

0.780.20

1.731.521.351.160.990.86

0.75

0.70

0.590.30

2.191.831.541.240.970.780.64

0.56

0.440.40

2.702.151.741.310.950.710.530.450.300.50

3.272.511.941.380.920.640.440.340.210.60

3.892.892.151.440.890.560.350.26

0.130.70

4.563.292.361.500.850.490.270.18

0.080.80

5.303.712.571.540.800.42

0.210.120.040.90

6.084.152.781.580.750.350.150.080.021.00

6.91

4.613.001.610.69

0.290.110.050.01实例分析【例3-6-1】已知：某水文站有22年的年最大流量观测资料。试：（1）绘制该站年最大流量系列的经验频率曲线；（2）计算三个统计参数，绘制理论频率曲线（P-Ⅲ曲线）（3）并推算百年一遇的洪水流量。（一）经验频率曲线绘制1）将实测水文资料按从大到小的顺序排列；

2）利用经验频率公式计算各项流量的经验频率；

3）绘制经验频率曲线。以流量为纵坐标，以经验频率为横坐标，在海森几率格纸上点绘经验频率点群，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。（二）计算统计参数序号

按年份序列排列按流量大小排列经验频率（%）Ki(Ki-1)^2(Ki-1)^3年份流量年份流量P=m1/(n+1)*100%1234567891195520001959

29504.31.7350.5400.3972195623801958

26008.71.5290.2800.1483195721001961

250013.01.4700.2210.1044195826001956

238017.41.4000.1600.0645195929501966

225021.71.3230.1040.0346196125001971

217026.11.2760.0760.0217196210001957

210030.41.2350.0550.0138196311001955

200034.81.1760.0310.0059196413601979

190039.11.1170.0140.00210196514801976

185043.51.0880.0080.00111196622501982

170047.81.0000.0000.0001219696001972

165052.20.9700.0010.00013197015301970

153056.50.9000.010-0.00114197121701965

148060.90.8700.017-0.00215197216501964

136065.20.8000.040-0.00816197513001975

130069.60.7650.055-0.01317197618501963

110073.90.6470.125-0.0441819779001980

108078.30.6350.133-0.04919197919001981

101082.60.5940.165-0.06720198010801962

100087.00.5880.170-0.07021198110101977

90091.30.5290.222-0.10422198217001969

60095.70.3530.419-0.271合计

37410

22.0002.8450.159

1700

0.3680.168

均值

变差系数偏差系数（三）理论频率曲线绘制按上式计算指