【高考数学专题】专题05 函数的周期性和对称性-解题模板A-高中数学解题模板

函数的周期性和对称性【考点综述】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质.在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系.因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：抽象函数的周期性使用情景：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步熟记常见结论，准确求出函数的周期性；常见的结论包括：结论1若对于非零常数m和任意实数x，等式f(x+m)=－f(x)恒成立，则f(x)是周期函数，且2m是它的一个周期.结论2定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.结论3定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.结论4定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.结论5定义在上的函数，对任意的，有f(a+x)=f(a－x)且f(b+x)=f(b－x)，(其中a，b是常数，a≠b)则函数y=f(x)是周期函数，2|a－b|是函数的一个周期.结论6若定义在R上的函数y=f(x)对任意实数x∈R，恒有f(x)=f(a+x)+f(x－a)成立(a≠0)，则f(x)是周期函数，且6|a|是它的一个周期.结论7若对于非零常数m和任意实数x，等式成立，则f(x)是周期函数，且4m是它的一个周期.第三步运用函数的周期性求解问题.例1.定义域为上的奇函数满足，且，则（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】C【解析】解题模板选择：本题中所给的函数是一个抽象函数，可以利用递推关系确定周期性，故选取解题方法模板一抽象函数的周期性进行解答.解题模板应用：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；由可得第二步熟记常见结论，准确求出函数的周期性；据此可得函数的周期为4；第三步运用函数的周期性求解问题.由于，故.故选：C.【典型例题】1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x2.（1）求证:f(x)是周期函数;（2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式;（3）求f(0)+f（1）+f（2）+…+f(2015)的值.【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）0.【解析】【分析】（1）由已知，取为证得结论；（2）求出，时的函数解析式，又当，时，，，再结合周期函数求得，时的函数解析式；（3）求出，，，，利用周期性得答案．【详解】解:（1）证明：，．是周期为4的周期函数．（2）当，时，，，由已知得．又是奇函数，，．又当，时，，，．又是周期为4的周期函数．．当，时，．（3），，，．又是周期为4的周期函数，．．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的解析式的求法，周期的求法函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．2.定义在R上的函数满足，，，求.（提示：注意的周期性）【答案】【解析】【分析】根据，证得函数是周期为的周期函数，根据周期性化简，由此求得的值.【详解】，两式相减得，是周期为3的周期函数于是.【点睛】本小题主要考查抽象函数周期性，考查根据函数的周期性求函数值，属于基础题.3.已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）当，时，．当，时，，（3）.【解析】【分析】（1）令取代入化简后，由函数周期性的定义即可证明结论；（2）由，得，，求出代入化简后求出，即可求出一个周期，上的解析式，利用函数的周期性求出在，时的解析式；（3）由（2）和函数的周期性画出的图象，将方程根的问题转化为图象的交点问题，根据图象和条件对分类讨论，分别结合图象和条件列出不等式组求出的取值范围．【详解】证明：（1）因为，令取得，所以，所以，2是函数的周期．解：（2）当，时，，，则，又，即，解得．所以，当，时，．所以，因为的周期为2，所以当，时，，（3）由（2）作出函数的图象，则方程解的个数：就是函数的图象与直线的交点个数．若，则都是方程的解，不合题意．若，则是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间，上，有9个周期，每个周期有2个解，在区间，上有且仅有一个解．则解得，．若，同理可得．综上，．【点睛】本题考查了函数周期性以及解析式，方程的根与函数图象交点之间的转化问题，考查了数形结合思想，推理能力与计算能力，属于难题．4.已知定义在N上的函数满足：．（1）求证：是周期函数，并求出其周期；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析，周期为6；（2）3【解析】【分析】（1）利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可；（2）根据周期函数的定义得，即可得出答案.【详解】解：（1）因为，所以所以.所以是周期函数，周期为6.（2）因为是周期为6的函数，且，所以，.【点睛】本题主要考查抽象函数周期的证明方法，属于中档题.5.已知函数的周期为4，试求的一个周期．【答案】一个周期为2【解析】【分析】可利用周期函数的定义来探求．【详解】解令函数，则求的周期．∵的周期为4，所以对任意，有成立．∴．∴2是的一个周期．【点睛】本题考查求抽象函数周期，掌握周期的定义是解题关键．解题方法模板二：三角函数的周期性使用情景：所给的函数为三角函数，需要利用函数的周期处理所给的问题解题模板：第一步将所给的三角函数式进行化简第二步利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期.第二步结合三角函数的周期性即可解决所给的问题例2.已知，则_____【答案】【解析】解题模板选择：本题中所给的问题是一个三角函数的问题，故选取解题方法模板二三角函数的周期性进行解答.解题模板应用：第一步将所给的三角函数式进行化简，第二步利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期.∴函数的最小正周期为，第二步结合三角函数的周期性即可解决所给的问题由于，且，，故答案为：.【典型例题】6.已知函数.（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan(α＋).【详解】（1）f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin(4x＋)，∴f(x)的最小正周期T＝，令，得，∴f(x)的单调递减区间为；（2），，∵α∈(0，π)，，，故，因此.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.7.已知．（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若，求的值域．【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）【解析】【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.【详解】（1）令，则的对称轴为，最小正周期；（2）当时，，因为在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以．【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.8.已知函数（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简得到，利用正弦型函数的周期公式可得，令，可得的单调递增区间（2）当，利用正弦函数的图像及性质，可得分别当，时，函数取得最小值，最大值【详解】（1）故的最小正周期令可得故的单调递增区间为（2）当故当时，即时，当时，即时，【点睛】本题考查了正弦型函数的图像及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题9.已知，，.（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时的最小值为5，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先化简函数，根据公式求周期；（2）由（1）可知先求的范围，再求函数值域，根据最小值为5，求的值.【详解】（1），函数的最小正周期；（2）当时，，的值域是，由题意可知，解得：.【点睛】本题考查三角函数的性质，三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.10.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．【答案】（Ⅰ），，．（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.（Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可.【详解】解：（Ⅰ）．所以的最小正周期，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为为锐角，所以，，又因为，所以，所以．【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．解题方法模板三：分段函数的类周期性使用情景：所给的函数不具有周期性，但是可以经过伸缩变换将所给的函数变形为周期函数解题模板：第一步确定函数在一个区间上的函数图像第二步结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质常见的伸缩变换结论包括：结论1若f(x)=kf(x+m)，即f(x+m)=f(x)(m>0，k>0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m个单位的同时，函数值变为原来的倍；向左平移m个单位的同时函数值变为原k来的k倍.结论2若f(x)=f(x+m)+k，即f(x+m)=f(x)－k(m>0，k>0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m个单位的同时，向下平移k个单位；向左平移m个单位的同时，向上平移k个单位.结论3若f(x)=f(mx)，即f(mx)=f(x)(m>0，k>0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m倍时，函数值不变.结论4若f(x)=kf(mx)，即(m>0，k>0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m倍时，函数值变为原来的，横坐标缩短为为原来的时，函数值变为原来的k倍.第三步解决所给的问题，得到结论例3.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解题模板选择：本题中说给的函数即，故选取解题方法模板三分段函数的类周期性进行解答.解题模板应用：第一步确定函数在一个区间上的函数图像绘制函数在区间上的图像如图所示：第二步结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍.如图所示：当时，，第三步解决所给的问题，得到结论令，整理得：，(舍)，时，成立，即，，故选B.【典型例题】11.设函数，则函数的零点的个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】分别画出函数和的图像，根据图像得出结论.【详解】因为，所以，转化为如图，画出函数和的图像，当<0时，有一个交点，当>0时，，此时，是函数的一个零点，，满足，所以在(2,4)有两个交点，同理，所以在(4,6)有两个交点，，所以在(6,8)内没有交点，当>7时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的知识点，涉及到函数的零点的知识点，考查了数形结合的思想，属于基础题型.12.若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1=，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故答案为：B【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立”转化为函数的最值问题．13.定义“函数是上的级类周期函数”如下:函数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期.若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】∵时,，∴当时,；当时,，即时,，∵在上单调递增，∴且，解得，∴实数的取值范围是.故选：C.14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）在[0，2）上的解析式，可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题求解．【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为.【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．15.已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类