现代通信原理（信道编码）

信道编码《现代通信原理（第三版）》宋祖顺 宋晓勤 宋平电子工业出版社信道编码概述1信道编码的基本概念2线性分组码3汉明码4循环码5信道编码6m序列1

信道编码概述信道编码：信源编码：为提高信号传输的有效性而采取的措施。减小量化误差，尽可能压缩冗余度，降低数码率，压缩传输频带，提高通信的有效性。为提高信号传输的可靠性而采取的措施,亦称差错控制编码。增加冗余度，具有纠检错能力，提高通信的可靠性。两者冗余度的区别：信源编码是压缩随机的冗余度；而信道编码是增加有规律的冗余度。采用差错控制技术，减小误码率与制造高质量设备，提高误码性能相比，往往起到事半功倍的效果。

1.1

差错控制方式方式一：前向纠错法FEC

所发码具有纠错能力，收端接收后自动纠错。无需反向信道。实时性好，但译码设备复杂，传输效率↓。纠错

方式二：检错重发法ARQ检错所发码具有检错能力，收端接收后判决是否出错，通过反向信道发送判决结果，发端据此决定是否重发。译码设备简单，对突发错误有效，但要求有反馈信道。方式三：混合纠错法HEC纠检错编码既有纠错能力也有检错能力，收端收到信息码组后在收端进行检测。在纠错范围内：纠正；超出范围：通过ARQ方式进行重发。方式四：信息反馈法IF无纠/检错收端接收到信息后，将所收到的信息原封不动地发回给发端。发端对比所收到的信息与之前发送的信息是否一致，决定重发信息或发送新信息。方法和设备简单，无需纠检错编译系统。但需要双向信道，传输效率↓、实时性差。

按码的用途分：检错码，纠错码，纠删码

按监督码元与信息码元的关系分：线性码，非线性码

按对信息码元处理方式分：分组码，卷积码

按信息码元在编码前后是否相同分：系统码，非系统码按纠检错类型分：纠/检随机错、纠/检突发错1.2

信道编码的分类

2

信道编码的基本概念

1.纠/检错能力是用有规律的冗余度换取的

以重复码为例进行讲解：红黑两种颜色10 没有冗余，不能纠/检错误1100 (2,1)重复码，最多能检1位错111000 (3,1)重复码，最多能检2或纠11111100000 (5,1)重复码，最多能检4或纠2在上各码组中，红色是对信息位的重复，它又称为监督位(在重复码中，监督位是信息码的重复)

2.1信道编码的基本原理2.许用码组与禁用码组的概念如(3,1)重复码: 许用码组:111,000

禁用码组:001,010,011,100,101,110接收端收到的码组为许用码组，说明传输无错，若为禁用码组，则传输一定有错。若错误太多，从某一许用码组错成另一许用码组，则无法识别这种错误。因此纠检错误，对信道误码率有一定的要求。

1.码长、码重和编码效率 码长：码组(又称码字)中码元的个数,用n表示。 例：1110010n=7 码重：码组中“1”码元的个数,用W表示。 例：1110010W=4

编码效率：差错控制编码中，码长为n，其中信息位为k，监督位为r,n=k+r，编码效率：

2.2

信道编码的基本术语

最小码距的大小关系到编码的纠检错能力。

2.码距与最小码距 码距：等长码中对应位取不同值的个数,用d表示。 例：1110010

与1101011d=3

码距等于两等长码对应位模2加，得到的码组的码重。如1110010与1101011模2加为0011001，码重为3。 最小码距：在多个等长码组中，每两个码均有一个码距，其中最小的称最小码距，它记为d0

。

3.码距的几何解释

（a2a1a0

）： （110）（011

）d=2 （

111）（000

）d=34.纠(检)错能力与最小码距d0的关系

任一（n，k）分组码，若要在码字内能：

1）检测e个随机错误，则要求：

d0≥e+1

2）纠正t个随机错误，则要求：

d0≥2t+1

3）纠正t个同时检测e(e>t)个随机错误，则要求：

d0≥e+t+1[例9-1]试求(7,1)重复码和(9,1)重复码的纠、检错能力。解：(7,1)重复码

(9,1)重复码2.3

几种简单实用的纠/检错编码

1、奇偶监督码：

k=n-1,r=1的线性码。特点：

码组中的1个数是奇数（奇监督码）或偶数（偶监督码）。偶监督时，要满足：奇监督时，要满足：两者的校验能力相同，均只能检测出奇数个错误。R=k/n=(n-1)/n=1-1/n编码效率：2、水平垂直奇偶校验码：

又称行列监督码或二维奇偶监督码。特点：对水平方向和垂直方向的码元同时实施奇偶监督。

110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100行列监督码适于监测突发错误：逐行传输时，能检测长度bM+1的突发错误;逐列传输时,能检测长度bL+1的突发错误；还能纠正一些仅在一行中的单个错误。110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100L＝5，M＝10的行列监督码其中M为行数，L为列数3、恒比码：

又称等重码或定1码。特点：

码组中0，1的个数保持不变。若码长为n，码重为w，则此码的码字个数为：Cnw，禁用码字个数为：2n-Cnw码字的个数C53=10检错能力较强，可检出所有奇数和部分偶数错误。适用于传输电报或其他键盘设备产生的字母或符号，但不适合信源发出的是二进制随机数字序列的场合。数字码字0123456789011010101111001101101101000111101011110001110100113:2恒比码如：我国的电报，每个汉字用四个10进制数表示，每位10进制数就采用3：2恒比码构成的5位码组来表示。码字的个数C53=103

线性分组码

1.什么叫线性分组码？线性：信息码元与监督码元之间的关系可以用一组线性方程来表示。分组：将信息码元若干位为一组，该组监督码元仅与本组信息位有关。线性码建立在代数学群论基础上，线性码各许用码的集合构成代数学中的群，因此，又称为群码。

3.1线性分组码的定义及性质

由性质(3)可以方便的确定出线性分组码的最小码距，进而明确其纠错能力。

2.性质

(1)

含有全零码字。

(2)任意两个许用码字之和仍是一个许用码字。（封闭性） (3)最小码距d0等于非零码字的最小重量即d0=Wmin

3.2

监督矩阵H和生成矩阵G

分组码中，码长为n，每个码组可看成一个n维向量，共有2n个向量。这2n个向量的集合构成n维向量空间，通过一组线性方程取出2k个向量。因此，所有许用码组的集合可看成n维向量的k维子空间。分组码中每个码组可表示为： C=(Cn-1，Cn-2，Cn-3，…，C2，C1，

C0)[例9-2]试求(7,3)码的8个许用码组

编

号信

息

位

监

督

位C6C5C4C3C2C1C0

1

000

0000

2

001

1110

3

010

1011

4

0110101

5

100

1101

6

101

0011

7

110

0110

8

111

10007位码共有128个码字，除右侧8个外，其它120个码字则为禁用码字

1.生成矩阵

该方程用矩阵表示：

我们将刚才讨论的(7,3)码的各码元与信息位关系用方程组表示：上述矩阵方程记为：式中：——称为编码行矩阵——称为信息行矩阵——称为生成矩阵我们将G=[Ir

Q]形式的生成矩阵称为典型生成矩阵，它生成的码字必定是系统码。非典型生成矩阵经过矩阵行运算能化成典型生成矩阵。[例9-3]

已知将它化成典型阵。用生成矩阵能很方便地写出全部码字

000全“0”码0000000

001G矩阵的第三行0011110

010G矩阵的第二行0101011

011G矩阵的第二行、三行模二加0110101

100G矩阵的第一行1001101

101G矩阵的第一行、三行模二加1010011

110G矩阵的第一行、二行模二加1100110

111G矩阵的第一行、二行、三行模二加1111000先写出2k个信息位，再利用G矩阵计算

2.监督矩阵

该方程组等号右边移项到左边得到：

我们前面讨论的(7,3)码的监督方程组表示为：将上式用矩阵表示为：可以简记为：编码列矩阵全“0”列矩阵式中：H称为监督矩阵。若能记为[P

Ir]形式，称为典型监督矩阵。P与Q之间关系的证明：

3.生成矩阵与监督矩阵的关系

对典型阵，由生成矩阵可以得到监督矩阵，反之亦然。3.3线性分组码的译码(伴随式)

伴随式错码位置

错码图样

E伴随式S

R0

0000001

0001

R1

0000010

0010

R2

0000100

0100

R3

0001000

1000

R4

0010000

1110

R5

0100000

1011

R6

1000000

1101

无错

0000000

0000由表可见督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随式S的列矩阵。因此根据它便能确定错码图样，从而实现纠错。

线性分组码译码步骤

(1)

计算接收码组R的伴随式S。

（前已证明它与错误图样E的伴随式相同）

(2)根据S找出错误图样E。 (3)将接收码R与错误图样E相加,便得正确信码C。

4

汉明码

1.什么叫汉明码？能纠一位错码效率最高的线性分组码。（7，4）分组码便是一种汉明码。

特点：最小码距：纠错能力：编码效率：

2.汉明码监督矩阵

（7，4）汉明码监督矩阵是7列、3行矩阵。汉明码监督矩阵如何构成呢？它根据监督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随式的列矩阵。对（7，4）汉明码错码对应的伴随式的列矩阵共有7种，对典型阵右边必须是r阶单位阵。

3.汉明码生成矩阵

根据监督矩阵H求生成矩阵G

4.根据收码纠错

(1)汉明码中监督位的作用得到最充分的利用。

以(7,4)汉明码为例进行说明：(7,4)汉明码码长为7，有3位监督位，因此伴随式也是3位，它共有8种状态，其中全0码表示无错，还有7种状态，每种状态表示一位错码，它正好与码长一致，没有多余状态，因此监督位作用得到充分利用，故它的效率最高。

(2)其它汉明码构成及其特点

以上讨论了(7,4)汉明码，它的监督位为3，若监督位r=4则24=16，即伴随式有16种状态，除去全零码还有15种状态。因此码长n=15，则k=n-r=15-4=11,故为(15,11)汉明码。余此类推，还有(63,57)汉明码；(127,120)汉明码；(255,247)汉明码；(511,502)汉明码……

5.汉明码特点

监督位r码长n信息位K汉明码名称231（3，1）汉明码374（7，4）汉明码41511（15，11）汉明码53126（31，26）汉明码66357（63，57）汉明码7127120（127，120）汉明码8255247（255，247）汉明码9511502（511，502）汉明码…………

(3)汉明码的编码效率及对信道要求：

随着码长增加，汉明码的编码效率逐步提高，并趋于1。但是它对信道要求也随之提高。如(511,502)汉明码，R=502/511=98%，传511个码，错一位码，则能纠正，错两位则能发现。因此码长越长的汉明码，对信道误码的要求也越高。最短的汉明码为(3,1)汉明码，监督位r=2,n=3,k=1,其效率最低R=1/3，但对信道要求也低，三位码中错一位能纠正，若错两位则能发现。5

循环码

什么叫循环码？循环码也是一种分组码。若线性分组码的任一码组循环移位所得码组仍在该码组集中，则此码为循环码。

则将所有码元向左循环一位，得到的：也是许用码组是许用码组。循环码的特殊构造便于应用代数理论加以分析，且易于用除法电路等实现，因此得到广泛应用。循环码不仅有封闭性，且还有循环性。（7，3）循环码循环码的循环圈数≥2W=01W=43267845

同一循环圈内，码字的重量相同

编

号(7,3)循环码

1

0000000

20011101

3

0100111

4

0111010

5

1001110

6

1010011

7

1101001

8

11101005.1循环码特点1.循环码具有循环特性W=01W=4647W=68

编

号(6,3)循环码

1

000000

2

001001

3

010010

4

011011

5

100100

6

101101

7

110110

8

111111（6，3）循环码W=2235