2012年高考数学湖南卷理科试题及答案(全word版)

湖南省2012年高考试题数学(理科)分值:150分时量:120分钟考试日期:2012-06-07一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.设集合M={-1,0,1},N={x|x2x},则M∩N=（）A．{0}B．{0,1}C．{-1,1}D．{-1,0,1}2.命题“若A．若,则”的逆否命题是(),则B．若D．若,则C．若,则,则3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是()4.设某大学的女生体重(单位:)与身高(单位:)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是()A.与具有正的线性相关关系B.回归直线方程过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg5.已知双曲线的焦距为10,点在的渐近线上,则的方程为()D．A．B．C．6.函数的值域为（）A．[-2,2]B．[-,]C．[-1,1]D．[-,]7.在A．中,AB=2,AC=3,B．C．=1,则BC=()D．8.已知两条直线,与函数和,与函数的图象从左至右相交于点的图象从左至右相交于点.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为()A．B．C．D．二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第9、10、11两题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.在直角坐标系为参数,a>0)有一个公共点在轴上,则10.不等式11.如图2,过点P的直线与圆⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于.中,已知曲线为参数)与曲线.的解集为.(二)必做题(12〜16题)12.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|=.13.的二项展开式中的常数项为(用数字作答)．.,则输出的数14.如果执行如图3所示的程序框图,输入.15.函数的导函数的部分图为图象如图4所示,其中为图象与轴的交点,象与轴的两个交点,为图象的最低点.(1)若,点的坐标为,则;(2)若在曲线段一点,则该点在16.设与轴所围成的区域内随机取内的概率为.,将个数依次放入编号为的个位置,得到排列.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列将此操作称为变换,将分成两段,每段个数,并对每段作变换,得到,当时,将分成段,每段个数,并对每段作变换,得到此时位于中的第4个位置.,例如,当时,,(1)当时,位于中的第个位置;(2)当时,位于中的第个位置.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以一次购物量上顾客数(人)结算时间(分钟/人)x130252y101.52.53某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如上表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定的值,并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)18.(本小题满分12分)如图5,在四棱锥中,底面,是的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥19.(本小题满分12分)的体积.已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=,B(n)=,C(n)=,n=1,2,….(Ⅰ)若且对任意n∈N*,三个数组成等差数列，求数列{an}的通项公式．(Ⅱ)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数q的等比数列.组成公比为20.(本小题满分13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为(为正整数).(Ⅰ)设生产A部件的人数为,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;(Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.(本小题满分13分）在直角坐标系中,曲线上的点均在外,且对上任意一点到直线和的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)设为圆外一点,过作圆的两条切线,分别于曲线相交于点上运动时,四点的纵坐标之积为定值..证明:当在直线22.(本小题满分13分)已知函数,其中.(Ⅰ)若对一切(Ⅱ)在函数,恒成立,求的取值集合;的图象上取定两点,记直线的斜率为问:是否存在,使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题B,C,D,DA,B,A,B二、填空题9.10.11.12.1013.-16014.-415.(1)3(2)16.(1)6,(2)三、解答题17.【解】(Ⅰ)由已知得,所以,所以……2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得:,11.522.53.所以的分布列如右表所示,的数学期望为=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9…………………6分(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则…8分且且且由于各顾客的结算相互独立,且(i=1,2)的分布列都与X的分布列相同,所以…………10分故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.………12分〖点评〗本题考查学生的阅读能力,考查概率的计算,考查离散型随机变量的期望,属于中档题.18.【解】解法一:(Ⅰ)连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,又AD=5,E是CD得中点,所以CD⊥AE,…………2分PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD.所以PA⊥CD,………………3分而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.………………5分(Ⅱ)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F、G,连接PF,由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE.……7分由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角.由题意∠PBA=∠BPF,因为sin∠PBA=,sin∠BPF=,所以PA=BF.……9分由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD.所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3,于是AG=2.在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以BG=也所以BF=,于是PA=BF=.…………11分又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16.所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.……12分解法二:以A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).……………2分(Ⅰ)=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为-8+8+0=0,=0.………………4分所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.………………6分(Ⅱ)由题设和第一问知,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,………………7分所以|cos＜＞|=|cos＜＞|,即………………9分由第一问知=(-4,2,0),又,故,解得.…………………11分又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16.所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.……12分〖点评〗本题是中档题,利用空间直角坐标系通过向量的计算,考查直线与平面所成角的求法,直线与直线的垂直的证明方法,考查空间想象能力,计算能力,是常考题型.19.【解】(Ⅰ)因为对任意n∈N*三个数组成等差数列,所以即,………………1分,亦即.故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是.………………4分(Ⅱ)证明:(必要性)若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有即.由知,均大于0,于是………5分,…………6分,………7分,所以三个数组成公比为的等比数列;………………8分组成公比为的等比数列,则(充分性):若对任意n∈N*,三个数,于是,即,亦即……………………10分由n=1时,,即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列.………………11分综上所述,数列,三个是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意组成公比为的等比数列.………12分20.【解】(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件生产需要的时间(单位:天)分别为由题设有,其中均为1到200之间的正整数.…………4分(Ⅱ)完成订单任务的时间为,其定义域为所以为减函数,为增函数,注意到①当k=2时,所以由函数,此时,其中的单调性及图象可知,当,即时,函数且有最小值.由于,且.,且,所以=44时,完成订单任务的时间最短,时间最短为.……………8分②当其中,即时,,所以,所以只须求同理可知当所以当的最小值,其中.,即时,,当时,,所以此时完成订单任务的最短时间大于.…………………11分③当同理令当,即时,,此时,且,得时,,当时,所以此时完成订单任务的最短时间也大于.………………12分综上所述,当时,完成订单任务的时间最短,此时三种部件的人数分别为44,88,68.…………………………13分〖点评〗本题考查函数模型的构建,考查函数的单调性,分类讨论、数形结合(多想少算)的数学思想,解题的关键是确定分类标准,有难度.21.【解】(Ⅰ)解法一:设,由已知得,…………2分由图可知,点化简得曲线的方程为解法二:由题设知,曲线上任意一点在直线的右侧,故,所以.……………5分到圆心的距离等于它到直线的距离.因此,曲线是以故其方程为为焦点,直线上运动时,记为准线的抛物线..(Ⅱ)当点在直线,则过点且与圆相切直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,如右图所示,设两切线的统一方程为,即,于是恒成立),,整理得(又设过两切线又联立切线设四点的斜率为与抛物线方程得的纵坐标分别为,则……①…8分得,则易知同理可知所以,……………………11分所以,当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值6400.……………13分〖点评〗本题考查轨迹方程,考查直线与圆相切、韦达定理的运用,解题的关键是切线与抛物线联立,属于中档题.22.【解】(Ⅰ)若而,则对一切,得,这与题设矛盾.又,故.……1分,,令.当时,,递减;当时,,递增.故当时,取最小值.………3分.……①于是对一切令恒成立,当且仅当,则.当时,时,,单调递增;当时,,递减.时,①式成立.………………5分故当取最大值