第二章波函数和方程

第二章波函数和薛定谔方程微观粒子具有波粒二象性与经典物理的粒子概念不同需要不同的描述方式经典物理质点动力学：牛顿方程：初始条件主要结论：位置和动量是状态量；轨道概念，因果律微观粒子具有波粒二象性没有轨道概念了！量子力学中需用

波函数取代位置动量（状态量）

薛定谔方程取代牛顿方程第1(3)节

薛定谔方程-SchrödingerEquation

怎样描述这种波动性？从最简单情况—自由粒子开始微观粒子具有波动性并满足德布罗意关系波动方程需1)线性—能说明干涉衍射现象2)系数不含状态的参量,E,P,等——否则不能被所有可能的态满足3)满足自由粒子的能量-动量关系=>量子力学中描述自由粒子波动性的函数应该为后者。自由粒子P,E常数=>相应波动k,ω常数——平面波。经典物理中这种波动可用下列函数之一描述第1(3)节

薛定谔方程-SchrödingerEquation自由粒子情况自由粒子情况一般情况SchrödingerEq.薛定谔方程是量子力学的基本假设。正确性—由实验检验。1、Ψ称为波函数2、它是非相对论性方程3、因果律4、推广到多粒子系统5、另一种描述方式Heisenberg描述（1925年）。1887年生、1926年提出、1933年奖第2(1)节

波函数的统计解释波函数的统计解释（Born1926年，1954年奖）：粒子在空间中某点r附近dτ体积微元中出现的几率正比于。注：波动性是与一个粒子联系，不是多粒子效应。几率波强度决定粒子出现在空间某处的概率，不能决定它何时处于空间某处。没有轨道的概念了！波函数它描述系统的状态，它是复函数几率密度

Ψ与cΨ（)描述同样状态。可归一性归一化波函数仍然可差一个常相位因子它满足标准化条件——单值、有限、连续（包括一阶空间导数）第3(2)节

态叠加原理态叠加原理：如果是系统可能的状态，则它们的线性叠加态也是系统的的一个可能状态。其中是复数。为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。注意量子力学的态叠加原理与经典的波叠加原理有差别量子力学的态叠加原理可只涉及一个粒子的波动性。例如一个粒子的态的解释下面的单光子Mach-Zehnder（马赫—曾德尔）干涉仪的实验清楚说明了这一事实！BSBeamSplitter单光子Mach-Zehnder干涉实验光子计数器单光子经典：2个计数器都有50%概率计数量子：只有A计数器计数附录Mach-Zehnder干涉仪BSBeamSplitter第4节

粒子流密度(矢量)和粒子数守恒定律SchrödingerEq.几率密度随时间演化由薛定谔方程

几率守恒方程（连续性方程）几率流密度矢量波函数标准化条件解释几率密度和几率流连续几率流有限经典对应：粒子数守恒定律质量守恒定律、电荷守恒定律第5节

定态薛定谔方程习题p522.1和2.2题加SchrödingerEq.考虑势能与时间无关情况，即此时，薛定谔方程有分离变量型的解由德布罗意关系知E是系统的能量。t与r是独立变量=>E是常数=>定态波函数，也称为定态波函数。定态——由这种波函数描述的状态，其能量为确定值。定态薛定谔方程决定—定态波函数和E—能量容许值它也称为能量本征值方程此时的含时薛定谔方程的一般解第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理一维定态薛定谔方程定理1一维束缚定态非简并束缚态

粒子不能跑到无限远去，即简并、非简并

以能量本征值方程

为例说明证：定理2若则一维束缚定态有确定的宇称证：显然若是定态薛定谔方程的束缚定态解，则也是。因此，由定理1知道逸出功~几电子伏~几埃第6节

一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子势能是物理模型：金属中的电子忽略：1)多维——容易推广2)多电子效应3)周期势——固体物理内容4)室温时，可认为是无限深势该简化模型能够说明若干量子特征并说明了求解薛定谔方程的一般步骤第6节

一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子势能是一维定态薛定谔方程粒子不能在阱外，所以时特别地在阱内（），定态薛定谔方程为其一般解是边界条件归一化条件

时只有零解和第6节

一维无限深势阱—求解定态薛定谔方程的例子势能是定态能量是定态波函数是1）能量量子化基态、激发态、基态能量不为零！2）定态波函数3）驻波条件4）经典对应5）波函数导数不满足标准化条件第6节

一维无限深势阱—多维推广3维推广定态能量是定态波函数是在时能态数能态密度第6-1节

一维有限深势阱为什么要画成对称形式？分区写出薛定谔方程是我们现在关心的束缚态情况时只有零解时不是束缚态解波函数有限条件定理若则一维束缚定态有确定的宇称第6-1节

一维有限深势阱再注意和满足在边界连续=>偶宇称情况同理得奇宇称情况因此能量E决定于奇偶第7节

一维线性谐振子—求解定态薛定谔方程的例子谐振子是物理中非常重要的模型1)稳定点附近的运动

2)波色场量子化问题谐振子势能可写成化简：定态薛定谔方程渐近行为波函数有限令和令第7节

一维线性谐振子—求解定态薛定谔方程的例子该方程是标准的方程—结论定态薛定谔方程仅当存在满足波函数为有限的解n次多项式并且若则第7节

一维线性谐振子—求解定态薛定谔方程的例子结果厄米多项式归一化常数结论1、能量量子化2、波函数与概率分布3、宇称4、经典对应—能量、概率分布零点能——量子效应概率分布对称第7*节

一维线性谐振子—推广平移注意能量波函数半壁无限高能量波函数第7*节

一维线性谐振子—推广2维或2自由度能量各向同性、各项异性波函数分离变量方法描述各向同性情况的能级简并度3维或3自由度各向同性情况的能级简并度第7*节

一维线性谐振子—推广最普遍情况——多自由度+交叉项+平移能量旋转变换正定条件2维或2自由度有交叉项是正定矩阵其中第7*节

一维线性谐振子—推广基态能量范德瓦尔斯力说明零点能是应该存在的！势能是定态薛定谔方程经典物理结果全反射全透射第8节

势垒贯穿—隧道效应—求解定态薛定谔方程例子定态薛定谔方程可写成与前面束缚态情况的区别量子物理结果完全不同垒外：垒内：解可写成为物理条件：x>a无反向波先考虑，设第8节

势垒贯穿—隧道效应—求解定态薛定谔方程例子解定义反射系数和透射系数同理可得在边界连续隧道效应（tunneleffect）粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象。它是粒子具有波动性的表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的波动图象。0aV(x)xV0入射波+反射波透射波第8节

势垒贯穿—隧道效应—求解定态薛定谔方程例子注意这两种情况都与经典质点的结果不同！近似结果:通常推广例1:入射粒子为电子。设E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功地说明了放射性元素的α衰变现象。例2:入射粒子换成质子。(1)扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一项技术上的重大发明，用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。原理：隧道效应1986年Nobel：鲁斯卡（E.Ruska）

1932发明电子显微镜毕宁（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM隧道效应的应用1991年，恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子拼成了字母IBM，每个字母长5纳米！“原子和分子的观察与操纵”“量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”

48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。(2）金属电子的场致发射（冷发射）图（a）欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。但是，施加一个外电场，金属中的电子所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。图（b）第2章习题1、(p522.1题)证明在定态中，几率流密度与时间无关。定态2、若A是常数，计算几率密度和几率流密度。3、(p522.2题)由下列定态波函数计算