2022-2023学年人教A版必修第一册 5.1.1 任意角 学案

5.1.1任意角课程标准(1)了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．(2)理解象限角的概念．(3)理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条__________绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：________，终边：__________，顶点O.3.角的分类❶：名称定义图示正角一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角负角❷一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角零角一条射线__________做任何旋转形成的角要点二角的加法与减法(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是____________．(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，于是有α－β＝____________．要点三象限角❸把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与________________重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几________；如果角的终边在____________，就认为这个角不属于任何一个象限．要点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________❹，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．助学批注批注❶要注意由旋转方向来确定角的符号．批注❷正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．批注❸象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小．批注❹(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α).基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)第一象限角都是锐角．()(2)第二象限角是钝角．()(3)终边与始边重合的角为零角．()(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.()2．手表时针走1小时转过的角度是()A．60°B．－60°C．30°D．－30°3．与53°角终边相同的角是()A．127°B．233°C．－307°D．－127°4．2022°是第________象限角．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1任意角的概念例1(1)(多选)下列说法，不正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是()A．10°B．15°C．30°D．－30°方法归纳解决与角的概念有关问题的策略巩固训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°题型2终边相同角的表示例2(1)与－2022°终边相同的最小正角是()A．138°B．132°C．58°D．42°(2)写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．方法归纳在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤巩固训练2(1)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z(2)终边落在x轴上的角的集合为____________．题型3象限角及区域角的表示例3(1)(多选)若α是第一象限角，则角α2在(A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．方法归纳1．确定角nα或αn所在象限的22．表示区域角的一般步骤巩固训练3(1)已知α是锐角，那么2α是()A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角(2)写出角α的终边在下列位置时的集合S.ⅰ.角α的终边在如图①所示的阴影中(包括边界)；ⅱ.角α的终边在如图②示的阴影中(包括边界).5.1.1任意角新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．射线2．OAOB3．逆时针顺时针没有要点二α＋βα＋(－β)要点三x轴的非负半轴象限角坐标轴上要点四{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：－112×360°＝－30°.故选答案：D3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.故选C.答案：C4．解析：∵2022°＝360°×5＋222°，180°<222°<270°.∴2022°是第三象限角．答案：三题型探究·课堂解透例1解析：(1)A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．故选ACD.(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以124×360°＝答案：(1)ACD(2)B巩固训练1解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－答案：B例2解析：(1)由－2022°＝－360°×6＋138°，所以与－2022°终边相同的最小正角是138°.(2)60°终边所在的集合S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．k＝－1时，β＝－300°；k＝0时，β＝60°；k＝1时，β＝420°；S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β为－300°，60°，420°.答案：(1)A(2)见解析巩固训练2解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z答案：(1)C(2){β|β＝k·180°，k∈Z}例3解析：(1)(法一)∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)．∴k·180°<α2<k·180°＋45°(k∈Z)①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°<α2<n·360°＋45°(n∈Z)，这表明α2②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<α2<n·360°＋225°(n∈Z)，这表明α2综合①②知，α2是第一或第三象限角(法二)如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即α2的终边所在的区域，故α2(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．巩固训练3解析：(1)因为α是锐角，所以α∈0，π2，所以2α∈(0，π)，满足小于其中D选项不包括90°，故错误．故选C.(2)ⅰ.角的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)