2022-2023学年人教A版 必修第二册 余弦定理、正弦定理 第3课时 学案

6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.预习导入阅读课本48-51页，填写。1、实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方位角从正北的方向线按时针到目标方向线所转过的水平角1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（）A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°4.如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A，C两地的距离为________km.题型一测量高度问题例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)跟踪训练一1、乙两楼相距200m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？题型二测量角度问题例2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？跟踪训练二1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？题型三测量距离问题例3如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．例4如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km2．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<eq\f(π,2)，则水塔CD的高度为()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα) B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ) D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30m B.eq\f(15\r(3),2)mC．15eq\r(3)m D．45m4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.5．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．C.3．B.4.3eq\r(2).自主探究例1【答案】泉城广场上泉标的高约为38m.【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.跟踪训练一1、【答案】甲楼高为200eq\r(3)m，乙楼高为eq\f(400\r(3),3)m.【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200eq\r(3)，AC＝200÷sin30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD为等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq\f(4002,3)，AD＝eq\f(400\r(3),3).故甲楼高为200eq\r(3)m，乙楼高为eq\f(400\r(3),3)m.例2【答案】救援船到达D点需要的时间为1h.【解析】由题意，知AB＝5(3＋eq\r(3))nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即BD＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq\r(3)nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC)＝eq\r(300＋1200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2))＝30nmile，则救援船到达D点需要的时间为eq\f(30,30)＝1h.跟踪训练二1、【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.例3【答案】A，B两点间的距离为200eq\r(7)m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B两点间的距离为200eq\r(7)m例4【答案】20eq\r(6).【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B两点间的距离为20eq\r(6)跟踪训练三1.【答案】A，B两点间的距离为eq\f(\r(6),4)km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8