高三数学一轮复习 2.3 函数的单调性及最值 理 大纲人教

............................................................一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知f(x)是定义在［0,10］上的函数，则f(0)＜f(1)是f(x)为增函数的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选C.若f(0)＜f(1)，则f(x)在［0,10］上不一定是增函数；若f(x)在［0,10］上是增函数，则一定有f(0)＜f(1)..2.若函数f(x)对任意x1、x2∈R,x1≠x2，恒有(x1-x2)·［f(x1)-f(x2)］＞0,则f(x)在R上是（）（A）增函数（B）减函数（C）先增后减（D）无法确定【解析】选A.设x1＜x2,则x1-x2＜0,∴由(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］＞0得f(x1)＜f(x2),∴f(x)为R上的增函数..3.(2010·兰州模拟)不等式x3+log2(x+1)＜2的解集是（）（A）（-1,0)（B）(-1,1)（C）(0,1)（D）(0,2)【解析】选B.设f(x)=x3+log2(x+1),易知f(x)是(-1,+∞)上的增函数,f(1)=2,∴原不等式等价于f(x)＜f(1),∴-1＜x＜1..4.(2009·天津高考）已知函数f(x)=，若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是（）（A）(-∞,-1)∪(2,+∞)（B）(-1,2)（C）(-2,1)（D）(-∞,-2)∪(1,+∞)【解题提示】首先根据二次函数的图象判断出函数f(x)的单调性，再求解.【解析】选C.f(x)=,由f(x)的x2+4xx≥04x-x2x＜0

x2+4x=(x+2)2-4(x≥0)4x-x2=-(x-2)2+4(x＜0)

.图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数，由f(2-a2)＞f(a)得2-a2＞a，即a2+a-2＜0,解得-2＜a＜1..2x+3(x≤0)5.函数y=x+3(0<x≤1)的最大值是()-x+5(x>1)(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选C.当x≤0时，y≤3；当0<x≤1时,3<y≤4;当x>1时，y<4,∴y≤4,即函数的最大值为4..二、填空题（每小题3分，共9分）6.函数y=在（-2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是____.【解析】y==1-,依题意,得函数的单调增区间为（-∞,-a)、(-a,+∞),要使y=在（-2，+∞）上为增函数，只要-2≥-a,即a≥2即可.答案:a≥2.7.已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间［0,3］上的最大值为2,则t=____.【解析】令g(x)=x2-2x-t，x=1是函数g(x)的对称轴,在区间［0,3］上，当x=3时，g(x)有最大值3-t,当x=1时,g(x)有最小值-1-t,当g(1)+g(3)≥0时，y=|g(x)|在x=3时有最大值，此时3-t=2，得t=1,当g(1)+g(3)≤0时，y=|g(x)|在x=1时有最大值,此时-1-t=-2,得t=1，故t=1.答案:1.8.（2010·内江模拟）已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调递减，那么实数a的取值范围是____.【解析】易知0＜a＜1,且,∴≤a＜.答案：≤a＜

(3a-2)x+6a-1(x＜1)ax(x≥1)3a-2＜0a≤(3a-2)×1+6a-1.三、解答题（共16分）9.（8分）（2010·眉山模拟）已知函数f(x)=-x+log2.(1)求f()+f(-)的值；(2)当x∈(-a,a］(其中a∈(-1,1),且a为常数）时，f(x)是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)的定义域为(-1,1),∵f(-x)=-(-x)+log2

=-(-x+log2)=-f(x),∴f(x)为奇函数,.∴f()+f(-)=0.(2)f(x)在(-a,a］上有最小值，设-1＜x1＜x2＜1,f(x2)-f(x1)∵x1-x2＜0,.1+x1-x2-x1x2-(1+x2-x1-x1x2)=2(x1-x2)＜0,∴0＜1+x1-x2-x1x2＜1+x2-x1-x1x2,∴0＜＜1.∴log2＜0,∴f(x2)-f(x1)＜0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减,a∈(-1,1),当x∈(-a,a］时有最小值，且最小值为f(a),f(a)=-a+log2..10.（8分）已知f(x)=ax2+2bx+4c(a,b,c∈R).(1)若a+c=0，且||＞2,求f(x)在［-2,2］上的最大值与最小值;(2)当b=4,c=时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M(a)使得x∈［0,M(a)］时，都有|f(x)|≤5,问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a).【解题提示】解本题（2）时注意借助图形来解决二次函数的最值问题.【解析】（1）∵||＞2,所以区间［-2,2］在对称轴x=-的左侧或右侧，f(x)在［-2,2］上是单调函数，∴f(x)max=4|b|.f(x)min=-4|b|..(2)当b=4,c=时，f(x)=ax2+8x+3=a(x+)2+3-.∵a＜0,∴f(x)max=3-.①当3-＞5,即-8＜a＜0时，如图1，此时0＜M(a)＜-,∴M(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根，∴M(a)==.②当3-≤5,即a≤-8时，如图2，此时M(a)＞-,∴M(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根，∴M(a)=

当且仅当a=-8时，等号成立.又＞,∴当且仅当a=-8时，M(a)取最大值..（10分）已知f(x)=|x2-4|+ax，其中a≥0，求函数f(x)的单调区间.【解析】∵f(x)=,(1)当0≤＜2时，∵y=x2+ax-4的对称轴为x=-∈(-2,0］,∴f(x)在(-∞,-2)上递减，在［2,+∞)上递增，又∵y=-x2+ax+4的对称轴是x=∈［0,2),∴f(x)在［-2,)上递增，在［,2)上递减.(2)当≥2时，由(1)的分析可知f(x)在(-∞,-)上递减，x2+ax-4x≤-2或x≥2-x2+ax+4-2＜x＜2

.在［-,-2)、［-2,2)、［2,+∞)上递增，综合(1)(2)可知当0≤a＜4时，函数f(x)的增区间为［-2,),［2,+∞)，减区间为［,2),(-∞,-2).当a≥4时，函数f(x)的增区间为［-,+∞),减区间为(-∞,-)...一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知f(x)是定义在［0,10］上的函数，则f(0)＜f(1)是f(x)为增函数的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选C.若f(0)＜f(1)，则f(x)在［0,10］上不一定是增函数；若f(x)在［0,10］上是增函数，则一定有f(0)＜f(1)..2.若函数f(x)对任意x1、x2∈R,x1≠x2，恒有(x1-x2)·［f(x1)-f(x2)］＞0,则f(x)在R上是（）（A）增函数（B）减函数（C）先增后减（D）无法确定【解析】选A.设x1＜x2,则x1-x2＜0,∴由(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］＞0得f(x1)＜f(x2),∴f(x)为R上的增函数..3.(2010·兰州模拟)不等式x3+log2(x+1)＜2的解集是（）（A）(-1,0)（B）(-1,1)（C）(0,1)（D）(0,2)【解析】选B.设f(x)=x3+log2(x+1),易知f(x)是(-1,+∞)上的增函数,f(1)=2,∴原不等式等价于f(x)＜f(1),∴-1＜x＜1..4.(2009·天津高考）已知函数f(x)=x2+4xx≥04x-x2x＜0，若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是（）（A）(-∞,-1)∪(2,+∞)（B）(-1,2)（C）(-2,1)（D）(-∞,-2)∪(1,+∞)【解题提示】首先根据二次函数的图象判断出函数f(x)的单调性，再求解..【解析】选C.f(x)=x2+4x=(x+2)2-4(x≥0)4x-x2=-(x-2)2+4(x＜0),由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数，由f(2-a2)＞f(a)得2-a2＞a，即a2+a-2＜0,解得-2＜a＜1..【解析】选C.当x≤0时，y≤3；当0<x≤1时,3<y≤4;当x>1时，y<4,∴y≤4,即函数的最大值为4..二、填空题（每小题3分，共9分）6.函数y=在（-2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是____.【解析】y==1-,依题意,得函数的单调增区间为（-∞,-a)、(-a,+∞),要使y=在（-2，+∞）上为增函数，只要-2≥-a,即a≥2即可.答案:a≥2.7.已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间［0,3］上的最大值为2,则t=_____.【解析】令g(x)=x2-2x-t，x=1是函数g(x)的对称轴,在区间［0,3］上，当x=3时，g(x)有最大值3-t,当x=1时,g(x)有最小值-1-t,当g(1)+g(3)≥0时，y=|g(x)|在x=3时有最大值，此时3-t=2，得t=1,当g(1)+g(3)≤0时，y=|g(x)|在x=1时有最大值,此时-1-t=-2,得t=1，故t=1.答案:1.8.（2010·内江模拟）已知函数f(x)=(3a-2)x+6a-1(x＜1)ax(x≥1)在(-∞,+∞)上单调递减，那么实数a的取值范围是____.【误区警示】【解析】 答案：.三、解答题（共16分）9.（8分）（2010·眉山模拟）已知函数f(x)=-x+log2.(1)求f()+f(-)的值；(2)当x∈(-a,a］(其中a∈(-1,1),且a为常数）时，f(x)是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由..【解析】 ...10.（8分）已知f(x)=ax2+2bx+4c(a,b,c∈R).(1)若a+c=0，且||＞2,求f(x)在［-2,2］上的最大值与最小值;(2)当b=4,c=时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M(a)使得x∈［0,M(a)］时，都有|f(x)|≤5,问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a).【解题提示】解本题（2）时注意借助图形来解决二次函数的最值问题..【解析】 ....【规律方法】.（10分）已知f(x)=|x2-4|+ax，其中a≥0，求函数f(x)的单调区间.【解析】∵f(x)=x2+ax-4x≤-2或x≥2-x2+ax+4-2＜x＜2,(1)当0≤＜2时，∵y=x2+ax-4的对称轴为x=-∈(-2,0］,∴f(x)在(-∞,-2)上递减