自控课件考研请加第7

1第七章离散控制系统2013年5月2离散系统1.离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码3.计算机控制系统的优缺点：2.离散系统类型：采样系统—时间离散，数值连续数字系统—时间离散，数值量化(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；(2)抗干扰性强；(3)一机多用，利用率高；(4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能会有所下降；(2)需附加A/D,D/A转换装置。第一节引言3采样系统4计算机控制系统计算机控制系统analogdigital5（2）计算过程描述零阶保持器(ZOH)（3）D/A过程6计算机控制系统的描述方法7一、信号采样与保持1信号采样(1)理想采样序列第二节信号的采样与复现8例1，求解例2，求解9(3)傅氏变换：是周期函数,可展开为傅氏级数10例3，求解：例4，求解：11①给出E*(s)与e(t)在采样点上取值之间的关系；②一般可写成封闭形式；③用于求e*(t)的z变换或系统的时间响应。①给出E*(s)与E(s)之间的联系；②一般写不成封闭形式；③用于e*(t)的频谱分析。12连续信号离散信号F连续信号e(t)与离散信号e*(t)的频谱分析F频谱频谱—信号按频率分解后的表达式三、采样定理(Shannon)—信号完全复现的必要条件13理想滤波器采样开关14四、零阶保持器15零阶保持器对系统的影响：16例1，求解例2，求解第三节z变换与z反变换17注：一、z变换定义z变换只对离散信号而言E(z)只对应唯一的e*(t)，不对应唯一的e(t)§6.3.2z变换方法级数求和法（定义法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）18例4例3(1)级数求和法19例5解.20常见函数的z变换⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻见P285表7-121解.例6,求E(z)=?(2)查表法（部分分式展开法）22解(3)留数法（反演积分法）例7已知，试求相应的。231.线性性质二、z变换的基本定理2.实位移定理①延迟定理证：242.实位移定理②超前定理证：25例9例8263.复位移定理证：例10274.初值定理证：例11285.终值定理证：例12296.卷积定理设：则：(证明略)三、Z反变换幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）以的形式展开30解法I:例13，分别用三种方法求e*(t)。(长除法)31解法II:(查表法—部分分式展开法)例13，分别用三种方法求e*(t)。32解法III:(留数法—反演积分法)例13，分别用三种方法求e*(t)。33例14，分别用查表法、留数法求e*(t)。查表法：34留数法：例14，分别用查表法、留数法求e*(t)。35例15，用留数法求e*(t)。解.36§6.3.2z变换方法⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻§6.3.1z变换定义级数求和法查表法留数法小结：371.线性性质§6.3.3z变换的基本定理2.实位移定理延迟定理3.复位移定理超前定理4.初值定理5.终值定理6.卷积定理38§6.3.5Z变换的局限性(1)只反映采样点上的信息(2)一定条件下，输出的连续信号在采样点处会有跳变§6.3.4Z反变换幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）以的形式展开39线性常系数差分方程及其解法(1)差分定义e(kT)简记为e(k)前向差分1阶前向差分2阶前向差分n阶前向差分后向差分1阶后向差分2阶后向差分n阶后向差分第五节差分方程40(2)差分方程n阶线性定常离散系统(前向)差分方程离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式(3)差分方程的解法：迭代法Z变换法n阶线性定常离散系统(后向)差分方程41解：例1已知连续系统微分方程：现将其离散化，采用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程并解之。42解．差分方程解法I——迭代法43解．差分方程解法II—z变换法44例7-15求解下列差分方程解：已知因为所以K=0,1,2…自动控制理论45已知例7-16求解下列差分方程解：已知,将代入方程得,对方程等号两边取Z变换,得其中因为所以或K=0,1,2…46图7-29例7-16x(k+1)和x(k)的响应曲线自动控制理论47第四节脉冲传递函数1.定义：零初始条件下离散系统输出z变换对输入z变换之比卷积公式—单位脉冲响应序列的z变换482.脉冲传递函数的性质：(1)G(z)~z的复函数；(2)G(z)~系统的结构参数；(3)G(z)~系统差分方程；(4)G(z)~Z[k*(t)]；(5)G(z)~z平面零极点图。3.脉冲传递函数的局限性：(1)原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息；(2)一般只适合描述单输入单输出离散系统；(3)只适合用于描述线性定常离散系统。49例离散系统结构图如图所示(T=1),试确定：1）系统的脉冲传递函数；2）系统在z平面的零极点分布图；3）系统的差分方程。解.(1)(3)(2)系统z平面零极点图50§6.4.3开环系统脉冲传递函数(1)环节之间有开关时(2)环节之间无开关时5152(3)有ZOH时,则所以由于53注：加ZOH不改变系统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。54例7-13：求图7-25所示系统的闭环脉冲传递函数55例7-14：求图7-25所示系统的单位阶跃响应，图中a=1,k=1,T=1s.解把代入,得5657闭环系统脉冲传递函数F(z)(求F(z)一般不能用Mason公式)例3.58例4.59例5.求60例5.求61以下两种情况可以利用Mason公式求F(z)或C(z)I.单回路（无前馈通道）离散系统，在前向通道存在至少一个实际的采样开关时II.离散系统结构图中各环节之间均有或者等效有采样开关时62东大2009,海事200463646566671差分方程及其解法(1)差分定义①前向差分②后向差分小结(2)差分方程及其解法：①迭代法②Z变换法2脉冲传递函数(1)定义(2)性质(3)局限性3开环系统脉冲传递函数(1)环节间有采样开关时(2)环节间无采样开关时(3)有零阶保持器时4闭环系统脉冲传递函数(1)推导法(2)利用梅逊公式68s→z映射§6.6.1离散系统的稳定性分析离散系统稳定的充分必要条件——F(z)的全部极点均严格位于z平面的单位圆内证明：—充分性—必要性第六节离散控制系统的性能分析69离散系统的稳定性判据（1）w变换及w域的劳斯稳定判裾w变换设[w]虚轴[z]单位圆对应w平面z平面单位圆内外的点7071例１已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。(1)w域中的劳斯稳定判据系统不稳定72例4离散系统结构图如图所示，T=1,求使系统稳定的K值范围。解法I—w域中的Routh判据73例2已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。(2)z域中的朱利(Jurry)稳定判据系统不稳定例3已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。系统稳定例4离散系统结构图如图所示，T=1,求使系统稳定的K值范围。解法I—w域中的Routh判据解法II—z域中的朱利(Jurry)稳定判据解法III—z域中的根轨迹法分离点整理得设A点应有例5系统结构图如图所示,T=0.25,求使系统稳定的K值范围。①②③④82例7-19已知,试用劳斯稳定判据确定该系统稳定时K值范围。解令代入上式83劳斯表0.3161.2642.376-0.316k02.376-0.316k2.376-0.316k>0,0<k<0.866采样具有降低系统稳定性作用。84858687海事20058889二、闭环极点与瞬态响应的关系设令则假设无重极点,则901、实数极点位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交替变化的衰减过程。2、共轭极点设一对共轭极点为令自动控制理论一对共轭极点所产生的瞬态分量呈振荡形式。当|p|<1,对应衰减的振荡函数，极点p距坐标原点越近，瞬态分量衰减得越快；当|p|>1,对应的瞬态分量呈发散状态，此时系统不稳定。91图7-33s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应自动控制理论92下面分析s平面上不同闭环极点与其脉冲响应间的对应关系。⑴图7-33a中示出了实部不同，虚部均为的4对共轭极点和4个实极点。图7-33a中所示的极点均映射到Z平面的正实轴上，为图7-33b所示。由图可见，虽然脉冲响应具有振荡性质，但经过采样后，都变成了单调的变化过程，这是因为振荡频率和采样频率相等的缘故。在一个完整的振荡周期内只采一次，因而采样后的脉冲序列不能反映原有脉冲响应的变化规律。自动控制理论93图7-34s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应由于即自动控制理论⑵在一个完整的振荡周期内，每隔180°采一次，采样后的输出为正负交替的脉冲序列。94自动控制理论图7-35s、z平面上的极点分布与其脉冲响应的对应关系⑶结论：闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近(这样采样角频率小，一个周期内采样次数多，得到的信息丰富)，且距坐标原点的距离越小越好（衰减得快）。在一个完整的周期内采样的次数分别为8次、4次和3次。§6.6.1一般方法（利用终值定理）设计算稳态误差的步骤（1）判定稳定性（2）求误差脉冲传递函数（3）用终值定理求例１已知离散系统,K=2,T=1;分别求r(t)=1(t),t,t2/2时的e(∞)。解．例１已知离散系统,K=2,T=1;分别求r(t)=1(t),t,t2/2时的e(∞)。解．§6.6.2静态误差系数法——r(t)作用时e(∞)的计算规律(适用于系统稳定,r(t)作用,对误差采样的线性离散系统)设静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数解．例2稳定离散系统的结构图如图所示，已知r(t)=2t,试讨论有或没有ZOH时的e(∞)。无ZOH时有ZOH时—与T有关—与T无关例3已知采样系统,T=0.25,r(t)=2·1(t)+t,使e(∞)<0.5,求K范围。解.系统稳定条件：例3已知采样系统,T=0.25,r(t)=2·1(t)+t,使e(∞)<0.5,求K范围。解.K的稳定范围为：104海事2006105海事2009，有答案离散系统的动态性能分析设1计算动态性能的一般步骤（1）求系统脉冲传递函数（2）求（3）（4）确定动态指标。例4系统结构图如图所示,T=K=1,求系统动态指标(σ%,ts)。解．用长除法求系统单位阶跃响应序列h(k)．例4系统结构图如图所示,T=K=1,求系统动态指标(σ%,ts)。解．解(1)例5采样系统结构图如图所示（T=1）。(1)绘制当时系统的根轨迹；(2)确定使系统稳定的K值范围；(3)定性分析变化时系统动态性能的变化趋势。分离点：解(2)解(3)单调收敛振荡收敛振铃现象振荡发散系统稳定不稳定112在离散系统中既有连续信号又有离散信号，因此，对这种系统的校正，可用两种方法来实现。一种是模拟化设计方法，它是按照第六章中所述连续系统的设计方法设计校正装置D(s)，并把它变换为离散形式的D(z)。为了使D(z)的特性接近于D(s)，应选取较小的采样周期T。另一种是离散化设计方法，又称直接数字设计法。这种方法是把系统中连续部分的数学模型离散化，然后在z域中设计相应的数字控制器D(z)。由于后者比较简便，且能实现较复杂的控制规律，因而被广泛应用。第七节离散控制系统的数字校正113数字控制器脉冲函数D(z)设一离散控制系统如图7-37所示。图中，D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(s)为零阶保持器与被控对象的广义传递函数。由图7-37求得该系统的闭环脉冲传递函数。图7-37离散控制系统自动控制理论114根据式（7-68）和式（7-69），求得数字控制器脉冲传递函数D（z）的两种表示形式：由式（7-68）和式（7-69）可知由此得出离散系统数字控制器的设计步骤是:根据对离散系统性能指标的要求,确定闭环脉冲传递函数T（z）和Te（Z）按式（7-70）或式（7-71）设计数字控制器D（z）自动控制理论115上述仅是从理论上导求数字控制器，要使所求的D（z）能在实际中能付诸实施，还必须满足下列条件：D（z）必须是稳定的。D（z）必须满足物理上可实现的条件。116最少拍系统的基本概念最少拍系统是指在典型输入信号作用下,能以有限拍的时间结束其响应过程。并在采样点上实现无稳态误差。图7-38s平面与z平面的映射关系由S平面与Z平面间的映射关系可知：S平面虚轴左方的等线，映射到Z平面上是一半径为，圆心在坐标原点的圆，如图7-38所示。当时,，即闭环极点位于Z平面的坐标原点处，相当于连续系统的极点位于S平面左半平面的无穷远处，这种系统能以最短的时间到达稳态值，故称其为最少拍控制系统。自动控制理论117最少拍系统设计1.典型输入的统一描述设计条件：设计原则：G(z)中无单位圆上或外的点,若有,需在的零点中包含。零极选择F(z)，使系统经最少拍后能在采样点上准确跟踪典型输入，由此确定满足条件的GD(z)。118自动控制理论由式（7-69）可知（7-77）根据终值定理，得（7-78）119图7-39a为最少拍系统的单位阶跃响应曲线。自动控制理论下面具体讨论在3种典型输入信号作用下的最少拍系统设计。（1）单位阶跃函数输入于是由式（7-70）求得:系统的输出响应为120（2）单位斜坡函数输入据此，求得系统对应的D（z）为:系统的输出:或写作:图3-39b为最少拍系统的单位斜坡响应序列121自动控制理论（3）单位加速度函数输入据此，求得系统对应的系统的输出图7-39c为最少拍系统单位加速度函数的响应序列122图7-39最少拍系统的响应曲线自动控制理论1232.最少拍系统设计步骤①求G(z)—设G(z)没有在单位圆上及外的零、极点②针对特定的典型输入选择Te(z)③确定④写出124最少拍系统设计结果125解.例3系统如图(T=1),针对r(t)=1(t)、t分别设计最小拍控制器GD(z)。—无单位圆上、外的零极点126选利用设计结果，针对进行设计127128129130131选若针对进行设计132133134最少拍系统在给定的典型输入下能在有限拍内结束响应过程，准确跟踪输入信号。但存在以下局限：对控制输入的适应性不强。在采样点上能准确跟踪，但有波纹。控制信号波动大。135136结论：（1）最少拍系统不仅动态响应快，而且无稳态误差，其设计方法简单，所求的数字控制器D（z）易于在计算机上实现。（2）最少拍系统是针对某一典型输入信号而设计，因而所求的数字控制器D（z）只适用于该输入信号，对于其他的输入信号，系统就不再具有最少拍系统的特性，因而这种设计方法对输入信号的适应性较差。自动控制理论137例7-20现有一按单位斜坡输入设计的最少拍系统，由表7-5可知，其闭环脉冲传递函数为检验该系统在单位阶跃和单位加速度信号输入时的响应特性。解单位阶跃输入为即138系统的输出为单位加速度输入为即图7-40和图7-41所示分别为单位