第二章函数与基本初等

数学A（理）§2.9

函数模型及其应用第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝

＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种函数模型的性质

函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调

单调

单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行随x的增大逐渐表现为与

平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<axy轴x轴2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(

)(2)幂函数增长比直线增长更快.(

)(3)不存在x0，使.(

)×××(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%.(

)(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(

)(6)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x).(

)×√√返回题号答案解析1234DAAB

Enter解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，题型一二次函数模型例1

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系.(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；解析思维升华解由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；解析思维升华将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；解析思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定要注意函数的定义域.(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；解析思维升华(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围.解析思维升华解将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4得ah2＝－1，所以a＝－

.由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解.令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－

[x－(2＋h)]2＋4，(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围.解析思维升华则f(5)＝－

(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－

(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤.所以达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，

].(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围.解析思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定要注意函数的定义域.(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围.解析思维升华跟踪训练1某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(

)A.100台 B.120台

C.150台 D.180台解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*).令f(x)≥0，得x≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台.C例2

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)解析答案思维升华题型二指数函数模型设经过x小时才能开车.由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.解析答案思维升华例2

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)题型二指数函数模型设经过x小时才能开车.由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.解析答案思维升华例2

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)题型二指数函数模型5一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.解析答案思维升华例2

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)题型二指数函数模型5例2

(2)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.()A.6

1000 B.4

1000C.6

10000 D.4

10000解析答案思维升华由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，例2

(2)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.()A.6

1000 B.4

1000C.6

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10000解析答案思维升华＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.例2

(2)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.()A.6

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10000解析答案思维升华＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.例2

(2)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.()A.6

1000 B.4

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10000C解析答案思维升华一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.例2

(2)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.()A.6

1000 B.4

1000C.6

10000 D.4

10000C解析答案思维升华跟踪训练2某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝

，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.2ln21024题型三分段函数模型例3

中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强国.为响应中央号召.某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足f(x)＝4(1＋

)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足g(x)＝104－|x－23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；解析思维升华解由题意知p(x)＝f(x)g(x)＝4(1＋

)(104－|x－23|)(1≤x≤30，x∈N*).(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；解析思维升华(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同.分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏.(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；解析思维升华温馨提醒解析(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.温馨提醒解析(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.所以h(x)在(23,30]上为减函数，温馨提醒解析(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.则p(x)在(23,30]上也是减函数，所以当x＝30时，所以当x＝9时，p(x)取得最小值400万元.温馨提醒解析(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%＝648>600，所以600万元的投资可以在两年内收回.温馨提醒解析(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同.分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏.温馨提醒解析跟踪训练3某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝

现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多(

)A.600元 B.900元

C.1600元 D.1700元解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元).又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元).故选D.D典例：(12分)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x(x∈N*,80≤x≤100)件之间的关系如下表所示：答题模板系列2函数应用问题日产量x808182…x…9899100次品率p…p(x)…其中p(x)＝

(a为常数).已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失

元(k为给定常数).(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数；思维点拨解析温馨提醒(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数；首先根据图表确定次品率p(x)，利用“日盈利额＝正品盈利总额－次品损失总额”求出y关于x的函数；思维点拨解析温馨提醒(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数；解根据列表数据可得a＝108，2分

3分

思维点拨解析温馨提醒(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数；5分

6分

思维点拨解析温馨提醒(1)求出a，并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的函数；(1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p(x)，再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.思维点拨解析温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？思维点拨解析答题模板温馨提醒求第(1)步建立函数模型的最大值.思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？解令t＝108－x，t∈[8,28]，t∈N*.7分

10分

思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？答为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件.12分

思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？解函数应用题的一般程序第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量

关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知

识建立相应的数学模型；思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问

题的意义；第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？(1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p(x)，再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.思维点拨解析答题模板温馨提醒(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？返回方法与技巧1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.返回234567891101.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(

)A.118元 B.105元

C.106元 D.108元23456789101解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.D2.若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为(

)34567891102解析根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.B245678911033.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝

－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为(

)A.240吨 B.200吨C.180吨 D.160吨24567891103因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.答案B235678911044.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差(

)A.10元 B.20元

C.30元 D.元解析设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，23567891104当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝

，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.答案A5.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(

)A.10.5万元 B.11万元

C.43万元 D.43.025万元23467891105解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，23467891105所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－

)2＋0.1×＋32.因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.答案C6.如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v＝v(t)的图象，则该质点运动的总路程为________cm.23457891106117.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.23456891107解析当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝

a，∴e－8b＝

，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，23456891107所以再经过16min.答案16即y＝ae－bt＝

a，e－bt＝

＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.23456791108解析设出租车行驶xkm时，付费y元，23456791108由y＝22.6，解得x＝9.答案99.某地上

年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元)成反比例.又当x＝0.65时，y＝0.8.23456781109(1)求y与x之间的函数关系式；23456781109解∵y与(x－0.4)成反比例，(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]23456781109＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根.∵x的取值范围是0.55～0.75，故x＝0.5不符合题意，应舍去.∴x＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.2345678110910.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.23456789110(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；23456789110解由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，23456789110(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.23456789110解设年生长量为f(x)千克/立方米，当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；23456789110所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.121314151111.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(

)A.上午10：00 B.中午12：00C.下午4：00 D.下午6：001213141511解析当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分别代入1213141511∴y＝400－20x.1213141511由y≥240，解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.答案C121314151112.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为(

)A.2 B.6 C.8 D.1012131415111213141511解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112