不等式证明的基本方法 竞赛讲义

不等式证明的基本方法及例题讲解【学习目标】熟练掌握不等式的几个基本性质应用不等式的基本性质解题、证明问题等【重点、难点】不等式的几个基本性质应用不等式的基本性质解题、证明问题【教学过程】知识内容梳理不等式的基本性质（1）（2）注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）（4）（5）（6）2、（1）等号成立条件当且仅当（2）等号成立条件当且仅当（3.），其中等号成立当且仅当二、不等式证明的基本方法：1.差值比较.欲证只需证明2.商值比较.欲证,只需证明三、例题讲解：1.设求证：思路：没有拆项而言，只有分析证明：欲证，只需证明即证因为所以2.设求证：思路：没有拆项而言，只有分析证明：欲证，只需证明即证因为所以3.设，求证：思路1：函数法，所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有，两式相加即可完成证明。证明1：将所证不等式两边同取对数可得：所证不等式为轮换对称式不妨设可得：即证明不等式小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。思路2：商值比较法，由指数函数的图像与性质比较大小.证明2：，设，则.4.已知（1）若，求的最小值（2）求证：思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而解：（1）由柯西不等式可得，.此题可用做差法解题，做差后配方得5.已知正实数满足则的最小值是____________解：思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：a，验证等号成立条件答案：26.设求证：思路：从所求出发，由可得，对i进行累次相加可以证明所求不等式.证明：.7.设证明：证明：先通分，再差值比较因为..①①式正确因为下列2式成立.,AM-GM可得，8.设，证明：思路：分析结构，代换字母式子.证明：设相加得9.已知正数满足（1）求的最大值（2）证明：（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由得，则，下面考虑将进行转化，向靠拢，利用基本不等式进行放缩，可得：，再求关于的表达式的最大值即可。解：的最大值为，此时（2）思路：由（1）可知的最大值为，且所证不等式的左边分母含有项，所以考虑向的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：，可得：，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式解：由柯西不等式可得：由（1）知等号成立条件：设是三角形三边，m>0，求证：证明：差值比较法：应用三角形边长定理习题演练设求证：2.设是钝角三角形三边，m>0，求证：3.已知正实数满足则的最小值是____________4.正实数满足的最