信号检测与估计理论第四章信号波形检测课件

信号检测与估计理论章信号波形的检测信号检测与估计理论章信号波形的检测1引言研究目的：根据性能指标要求，设计与环境相匹配的接收机（检测系统），从噪声污染的接收信号中提取有用的信号；在噪声干扰背景中区别不同特性、不同参量的信号。理论基础：假设检验和似然比检验最佳检测的判决方式（判决表示式）检测系统的结构检测性能分析最佳波形设计引言研究目的：2引言简化的信号流程模型二元数字通信系统波形检测模型把随机过程用正交级数表示，进行统计描述，再应用信号的统计检测理论来处理信号波形的检测问题。引言简化的信号流程模型二元数字通信系统波形检测模型把随机过程3FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入二元信号的模型：若似然比超过门限，即则检测器判断为H1成立。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波4FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入检测信号似然函数：FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波5FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入两边取对数，并转换可以根据不同的准则，确定门限值。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波6FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入上式表明：检验统计量根据信号的值对数据样本进行加权。大的信号样本采用大较大的加权。把接收到的数据和信号的仿形品进行相关运算。检测器称为相关器或仿形-相关器。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波7FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入用FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器模型：令冲击响应为信号的镜像，FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波8FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入用FIR滤波器模型来表达：将信号相对n=0反转，再向右移N-1个样本得到匹配滤波器的冲击响应。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波9FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入WGN中已知的确定性信号的检测问题，利用NP准则与最大SNR准则都可以导出匹配滤波器。对于非高斯噪声，匹配滤波器输出的信噪比最大。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波10匹配滤波器的概念通信、雷达等电子信息系统的接收机模型对信号进行加工、处理，使信噪比最大检测判断（例如与门限值进行比较判断）若线性时不变滤波器输入的信号是确知信号，噪声是加性平稳噪声，则在输入功率信噪比一定的条件下，使输出功率信噪比最大的滤波器，是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器，即匹配滤波器（MF）。匹配滤波器的概念通信、雷达等电子信息系统的接收机模型对信号进11匹配滤波器的设计图4.3线性滤波器匹配滤波器的设计图4.3线性滤波器12匹配滤波器的设计输出噪声的功率谱密度设滤波器输出信号在时刻出现峰值，有匹配滤波器的设计输出噪声的功率谱密度设滤波器输出信号13匹配滤波器的设计输出功率信噪比利用Schwarz不等式，满足式（4.2.12），等号成立。匹配滤波器的设计输出功率信噪比利用Schwarz不等式，满足14匹配滤波器的设计令由有当式（4.2.16）中的等号成立。匹配滤波器的设计令由有当15匹配滤波器的设计噪声为有色噪声时，广义滤波器：当滤波器输入为白噪声时，，有匹配滤波器的设计噪声为有色噪声时，广义滤波器：当滤波器输入为16匹配滤波器的主要特点1.匹配滤波器的脉冲响应与时刻的选择图4.4匹配滤波器的脉冲响应特性在时刻，输入信号s(t)已全部送入滤波器，因此，至少要选择在输入信号s(t)的末尾。匹配滤波器的主要特点1.匹配滤波器的脉冲响应与17匹配滤波器的主要特点2.匹配滤波器的输出功率信噪比若输入信号s(t)的能量为，白噪声n(t)的功率谱密度为，匹配滤波器的输出功率信噪比为与输入信号s(t)的能量有关，与波形无关。匹配滤波器的主要特点2.匹配滤波器的输出功率信噪比若输入信18匹配滤波器的主要特点3.匹配滤波器的适应性对振幅和时延参量具有适应性；对频移信号不具有适应性。匹配滤波器的主要特点3.匹配滤波器的适应性对振幅和时延参量19匹配滤波器的主要特点4.匹配滤波器与相关器的关系对平稳输入信号，自相关器的输出为图4.5自相关器匹配滤波器的主要特点4.匹配滤波器与相关器的关系对平稳输入20匹配滤波器的主要特点图4.6互相关器匹配滤波器的主要特点图4.6互相关器21匹配滤波器的主要特点图4.7输入为正弦信号时，相关器和匹配滤波器的输出波形在时刻，匹配滤波器的输出与相关器的输出信号相等。5.匹配滤波器输出的频谱函数与输入信号频谱函数的关系输入信号s(t)的频谱函数模的平方，称为s(t)的能量频谱。匹配滤波器的主要特点图4.7输入为正弦信号时，在22随机过程的正交级数展开完备的正交函数集及确知信号s(t)的正交级数展开在(0,T)时间内满足式(4.3.1)，则函数集构成相互正交的函数集。若不存在另一个函数g(t)，使，则正交函数集是完备的正交函数集。展开系数随机过程的正交级数展开完备的正交函数集及确知信号s(t)23随机过程的正交级数展开接收信号用正交级数展开随机过程x(t)完全由其展开系数确定。随机过程的卡亨南洛维展开：根据噪声干扰的特点，正确选择正交函数集，以使展开系数之间是互不相关的随机变量。随机过程的正交级数展开接收信号24随机过程的卡亨南-洛维展开展开系数的均值：若要求展开系数互不相关，有：随机过程的卡亨南-洛维展开展开系数的均值：若要求展开系数25随机过程的卡亨南-洛维展开正交函数集每个函数需满足积分方程：根据平稳噪声n(t)的自相关函数，求解上式的积分方程，得到特征函数，作为正交函数集的坐标，对平稳随机过程进行展开，展开系数之间是互不相关的。核函数特征函数特征值随机过程的卡亨南-洛维展开正交函数集每个函数26白噪声情况下正交函数集的任意性任意取正交函数集，x(t)的展开系数协方差当时，协方差。n(t)是白噪声的条件下，取任意正交函数集对平稳随机过程x(t)进行展开，展开系数之间都是互不相关的。白噪声情况下正交函数集的任意性任意取正交函数集27参量信号随机过程的正交级数展开把参量信号看作以为条件的信号，有其中，有展开系数互不相关，应满足参量信号随机过程的正交级数展开把参量信号28高斯白噪声中确知信号波形的检测主要内容：简单二元信号波形的检测一般二元信号波形的检测M元信号波形的检测高斯有色噪声中确知信号波形的检测技术路线分析信号模型推导信号状态的判决表示式设计检测系统分析检测性能研究最佳波形设计高斯白噪声中确知信号波形的检测主要内容：29简单二元信号波形的检测1.信号模型接收信号中的信号分量是能量为的确知信号，n(t)是均值为零，功率谱密度为的高斯白噪声。2.判决表示式用正交级数展开式表示接收信号简单二元信号波形的检测1.信号模型接收信号中的信号分量30简单二元信号波形的检测2.判决表示式第一步，用正交级数展开式表示接收信号假设下，有简单二元信号波形的检测2.判决表示式第一步，用正交级数展开31第二步，简单二元信号波形的检测2.判决表示式假设下，有假设下和假设下，展开系数的概率密度函数为：第二步，取前N项，构成似然比检验。第二步，简单二元信号波形的检测2.判决表示式假设32简单二元信号的波形检测2.判决表示式简单二元信号的波形检测2.判决表示式33简单二元信号的波形检测2.判决表示式第二步，第三步，取的极限，将离散判决表示式变成连续形式的判决表示式。简单二元信号的波形检测2.判决表示式第二步，第三步，取34简单二元信号的波形检测3.检测系统的结构图4.8相关检测系统结构（相关接收机）图4.9匹配滤波器检测系统结构简单二元信号的波形检测3.检测系统的结构图4.8相关检测系35简单二元信号的波形检测4.检测性能分析检验统计量在假设H0或假设H1下，都是高斯随机变量。通过分析两种假设下的均值和方差，计算判决概率，并据此分析检测性能。可以得到，，，简单二元信号的波形检测4.检测性能分析检验统计量36简单二元信号的波形检测偏移系数：简单二元信号的波形检测偏移系数：37简单二元信号的波形检测5.最佳信号波形设计在高斯白噪声条件下，简单二元确知信号波形的检测性能由偏移系数d2决定，d2取决于信号的能量Es，与信号波形无关。图4.10接收机工作特性图4.11检测概率PD与参数d的关系简单二元信号的波形检测5.最佳信号波形设计在高斯白噪声条件38简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法第一个坐标函数选择为确知信号的归一化函数第一个展开系数两种假设下其余展开系数在两种假设下因此，展开系数x1是充分统计量。参考《线性代数的几何意义》page133/174简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法第一个坐标函39简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法利用充分统计量x1构造似然比检验x1是高斯随机变量，有返回简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法利用充分统计40一般二元信号波形的检测1.信号模型2.判决表示式用正交级数展开系数表示接收信号：一般二元信号波形的检测1.信号模型2.判决表示式用正交级41一般二元信号波形的检测2.判决表示式取展开系数的前N项一般二元信号波形的检测2.判决表示式取展开系数的前N项42一般二元信号波形的检测2.判决表示式一般二元信号波形的检测2.判决表示式43一般二元信号波形的检测3.检测系统的结构图4.12双路相关检测系统结构图4.13双路匹配滤波器检测系统结构一般二元信号波形的检测3.检测系统的结构图4.12双路相关44一般二元信号波形的检测4.检测性能分析定义两个信号波形的相关系数为一般二元信号波形的检测4.检测性能分析定义两个信号波形的相45一般二元信号波形的检测4.检测性能分析一般二元信号波形的检测4.检测性能分析46一般二元信号波形的检测5.最佳信号波形设计信号的检测性能随偏移系数d2的增加而增大。因此，信号的检测性能与以下两个因素有关。（1）信号相对于噪声的能量大小；（2）信号之间的波形差异。两个信号反相：，，两个信号正交：，两个信号满足：，，。一般二元信号波形的检测5.最佳信号波形设计信号的检测性能随47一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法(1)选择正交函数集中的第一个坐标函数为：(2)根据Gram-Schmidt正交化方法，构造第二个坐标函数为：一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法(1)选择48一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法由x1与x2构成的二维矢量是充分统计量。x1和x2都是高斯随机变量，且相互统计独立。（4.4.53）（4.4.54）（4.4.55）一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法由x1与x249一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法50一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法51一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法52一般二元信号波形的检测例题4.4.1图4.14超越方程的解一般二元信号波形的检测例题4.4.1图4.14超越方程53一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（1）对于高斯白噪声背景的接收信号，进行正交展开的函数集可以任意选择，展开系数xk是相互统计独立的高斯随机变量。采用格拉姆-施密特正交化方法生成的正交函数集，可以获得有限维且与假设Hj有关的充分统计量。（2）检验统计量是高斯分布，因此判决概率P(HiIHj)完全由偏移系数d2决定，即有效功率信噪比决定。对于简单二元信号波形检测，

对于一般二元信号波形检测，

因此，的信号互补关系是最佳的波形。一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（1）对于高54一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）采用充分统计量分析方法的判决表示式：图4.15判决域划分示意图一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）采用充55一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）分界线：直线的斜率：原信号差矢量的斜率：有：判决域分界线是垂直于信号间连线的直线！一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）分界线56一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（4）若二元信号假设的先验概率相等，采用最小平均错误概率准则，则判决域分界线满足：分界线是两信号连线的垂直平分线。若进一步，两信号的能量相等，有分界线是两信号连线的垂直平分线，并通过判决域的原点。一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（4）若二元57一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳返回一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳返回58M元信号波形的检测系统每次发送M个可能信号的一个，接收信号x(t)后，判断M个可能信号的哪一个。

M元信号的检测模式识别中的分类或辨识一般采用最小平均错误概率准则或一般贝叶斯准则。（4.4.73）M元信号波形的检测系统每次发送M个可能信号的一个，（4.459M元信号波形的检测（1）根据格拉姆—施密特正交化方法：正交函数集中，的坐标函数不必设计。考虑到M个信号中，可能有N个是线性不相关的，只需构造N个正交函数集。M元信号波形的检测（1）根据格拉姆—施密特正交化方法：正交函60M元信号波形的检测（2）转换为N维随机矢量问题M元信号波形的检测（2）转换为N维随机矢量问题61M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则由于是N维联合高斯概率密度函数，有判决假设Hi成立。两边取对数；注意：C为对角阵M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验62M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则若各假设的先验概率相等，有判决假设Hi成立。即M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验63M元信号波形的检测例4.4.3图4.16四元信号检测判决域划分图4.17四元信号检测系统结构返回M元信号波形的检测例4.4.3图4.16四元信号检测判决域64高斯有色噪声中确知信号波形的检测加性高斯有色噪声背景中二元确知信号波形检测1卡亨南-洛维展开法根据噪声的自相关函数选择合适的正交函数集。2将接收信号先通过白化滤波器，其输出端噪声变为白噪声。有色噪声：噪声过程的功率谱密度在频域上的分布不均匀。一般采用高斯功率谱密度的模型。白色包含了所有的颜色，因此白噪声的特点就是包含各种噪声。白噪声定义为在无限频率范围内功率谱密度为常数的信号，这就意味着还存在其它“颜色”的噪声，即，其功率谱密度函数不平坦。大多数的音频噪声，如移动汽车的噪声，电钻的噪声，周围人们走路的噪声等等，其频谱主要都是非白色低频段频谱。而且，通过信道的白噪声受信道频率的影响而变为有色的。高斯有色噪声中确知信号波形的检测加性高斯有色噪声背景中二元确65高斯有色噪声中确知信号波形的检测1信号模型及其统计特性均值为零，自相关函数为的高斯有色噪声。2信号检测的判决表示式展开系数：高斯有色噪声中确知信号波形的检测1信号模型及其统计特性66高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式展开系数之间的协方差函数：目的要得到正交函数集的坐标函数，当时，协方差函数，展开式中各展开系数之间互不相关。高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式展开67高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式取前N个展开系数构造N维矢量的似然比检验：再取的极限，求信号波形下的判决表示式。高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式取前68高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式N维随机矢量分别求解在两个假设下的概率密度函数：高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式N维69高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式由前N项构成的似然比函数为：高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式由前70高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式由前N项构成的似然比函数为：高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式由前71高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式72高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的等效判决表示式若，即高斯白噪声环境高斯白噪声环境下的结果是高斯有色噪声结果的特例。高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的等效判决表示式73高斯有色噪声中确知信号波形的检测3检测系统的结构双路相关器检测系统结构高斯有色噪声中确知信号波形的检测3检测系统的结构双路相关器74高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析检验统计量：均值与方差：高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析检验统计量：75高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析确定函数与：带入上页均值函数，有：高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析确定函数76高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析统计量的方差：统计量的均值：高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析统计量的方差77高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析偏移系数：检测性能随着的增大而增大。高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析偏移系数78高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析高斯白噪声背景下：变为：对比：高斯有色噪声中确知信号波形的检测4检测性能分析高斯白噪声背79高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计在一定条件下，寻找使达到最大的信号波形。构造辅助函数：高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计在一定条80高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计若与分别代表与的最佳波形：求偏微分，并令偏微分的值为0：高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计若81高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计上式说明需满足条件：信号间的波形相关系数。接下来确定信号的函数形式：高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计上式说明82高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计等号左边的积分：有：信号是上述齐次积分方程的特征函数，响应的特征值为。高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计等号左边83高斯白噪声情况下，，只要满足。高斯有色噪声中确知信号波形的检测5最佳信号波形设计当约束条件为：信号能量之和为常数，积分方程中最小的特征值对应的特征函数为最佳信号，同时。返回高斯白噪声情况下，84高斯白噪声中随机参量信号波形的检测一般二元信号波形检测（带随机参量）1利用参量的先验概率密度函数，通过统计平均方法转换为无条件概率密度函数。高斯白噪声中随机参量信号波形的检测一般二元信号波形检测（带随85高斯白噪声中随机参量信号波形的检测一般二元信号波形检测（带随机参量）1利用参量的先验概率密度函数，通过统计平均方法转换为无条件概率密度函数。2求得参量的最大似然估计量，替代信号中的随机参量或未知参量。高斯白噪声中随机参量信号波形的检测一般二元信号波形检测（带随86信号检测与估计理论章信号波形的检测信号检测与估计理论章信号波形的检测87引言研究目的：根据性能指标要求，设计与环境相匹配的接收机（检测系统），从噪声污染的接收信号中提取有用的信号；在噪声干扰背景中区别不同特性、不同参量的信号。理论基础：假设检验和似然比检验最佳检测的判决方式（判决表示式）检测系统的结构检测性能分析最佳波形设计引言研究目的：88引言简化的信号流程模型二元数字通信系统波形检测模型把随机过程用正交级数表示，进行统计描述，再应用信号的统计检测理论来处理信号波形的检测问题。引言简化的信号流程模型二元数字通信系统波形检测模型把随机过程89FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入二元信号的模型：若似然比超过门限，即则检测器判断为H1成立。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波90FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入检测信号似然函数：FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波91FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入两边取对数，并转换可以根据不同的准则，确定门限值。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波92FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入上式表明：检验统计量根据信号的值对数据样本进行加权。大的信号样本采用大较大的加权。把接收到的数据和信号的仿形品进行相关运算。检测器称为相关器或仿形-相关器。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波93FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入用FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器模型：令冲击响应为信号的镜像，FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波94FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入用FIR滤波器模型来表达：将信号相对n=0反转，再向右移N-1个样本得到匹配滤波器的冲击响应。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波95FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波器的引入WGN中已知的确定性信号的检测问题，利用NP准则与最大SNR准则都可以导出匹配滤波器。对于非高斯噪声，匹配滤波器输出的信噪比最大。FromStevenM.Kay检测器的建立——匹配滤波96匹配滤波器的概念通信、雷达等电子信息系统的接收机模型对信号进行加工、处理，使信噪比最大检测判断（例如与门限值进行比较判断）若线性时不变滤波器输入的信号是确知信号，噪声是加性平稳噪声，则在输入功率信噪比一定的条件下，使输出功率信噪比最大的滤波器，是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器，即匹配滤波器（MF）。匹配滤波器的概念通信、雷达等电子信息系统的接收机模型对信号进97匹配滤波器的设计图4.3线性滤波器匹配滤波器的设计图4.3线性滤波器98匹配滤波器的设计输出噪声的功率谱密度设滤波器输出信号在时刻出现峰值，有匹配滤波器的设计输出噪声的功率谱密度设滤波器输出信号99匹配滤波器的设计输出功率信噪比利用Schwarz不等式，满足式（4.2.12），等号成立。匹配滤波器的设计输出功率信噪比利用Schwarz不等式，满足100匹配滤波器的设计令由有当式（4.2.16）中的等号成立。匹配滤波器的设计令由有当101匹配滤波器的设计噪声为有色噪声时，广义滤波器：当滤波器输入为白噪声时，，有匹配滤波器的设计噪声为有色噪声时，广义滤波器：当滤波器输入为102匹配滤波器的主要特点1.匹配滤波器的脉冲响应与时刻的选择图4.4匹配滤波器的脉冲响应特性在时刻，输入信号s(t)已全部送入滤波器，因此，至少要选择在输入信号s(t)的末尾。匹配滤波器的主要特点1.匹配滤波器的脉冲响应与103匹配滤波器的主要特点2.匹配滤波器的输出功率信噪比若输入信号s(t)的能量为，白噪声n(t)的功率谱密度为，匹配滤波器的输出功率信噪比为与输入信号s(t)的能量有关，与波形无关。匹配滤波器的主要特点2.匹配滤波器的输出功率信噪比若输入信104匹配滤波器的主要特点3.匹配滤波器的适应性对振幅和时延参量具有适应性；对频移信号不具有适应性。匹配滤波器的主要特点3.匹配滤波器的适应性对振幅和时延参量105匹配滤波器的主要特点4.匹配滤波器与相关器的关系对平稳输入信号，自相关器的输出为图4.5自相关器匹配滤波器的主要特点4.匹配滤波器与相关器的关系对平稳输入106匹配滤波器的主要特点图4.6互相关器匹配滤波器的主要特点图4.6互相关器107匹配滤波器的主要特点图4.7输入为正弦信号时，相关器和匹配滤波器的输出波形在时刻，匹配滤波器的输出与相关器的输出信号相等。5.匹配滤波器输出的频谱函数与输入信号频谱函数的关系输入信号s(t)的频谱函数模的平方，称为s(t)的能量频谱。匹配滤波器的主要特点图4.7输入为正弦信号时，在108随机过程的正交级数展开完备的正交函数集及确知信号s(t)的正交级数展开在(0,T)时间内满足式(4.3.1)，则函数集构成相互正交的函数集。若不存在另一个函数g(t)，使，则正交函数集是完备的正交函数集。展开系数随机过程的正交级数展开完备的正交函数集及确知信号s(t)109随机过程的正交级数展开接收信号用正交级数展开随机过程x(t)完全由其展开系数确定。随机过程的卡亨南洛维展开：根据噪声干扰的特点，正确选择正交函数集，以使展开系数之间是互不相关的随机变量。随机过程的正交级数展开接收信号110随机过程的卡亨南-洛维展开展开系数的均值：若要求展开系数互不相关，有：随机过程的卡亨南-洛维展开展开系数的均值：若要求展开系数111随机过程的卡亨南-洛维展开正交函数集每个函数需满足积分方程：根据平稳噪声n(t)的自相关函数，求解上式的积分方程，得到特征函数，作为正交函数集的坐标，对平稳随机过程进行展开，展开系数之间是互不相关的。核函数特征函数特征值随机过程的卡亨南-洛维展开正交函数集每个函数112白噪声情况下正交函数集的任意性任意取正交函数集，x(t)的展开系数协方差当时，协方差。n(t)是白噪声的条件下，取任意正交函数集对平稳随机过程x(t)进行展开，展开系数之间都是互不相关的。白噪声情况下正交函数集的任意性任意取正交函数集113参量信号随机过程的正交级数展开把参量信号看作以为条件的信号，有其中，有展开系数互不相关，应满足参量信号随机过程的正交级数展开把参量信号114高斯白噪声中确知信号波形的检测主要内容：简单二元信号波形的检测一般二元信号波形的检测M元信号波形的检测高斯有色噪声中确知信号波形的检测技术路线分析信号模型推导信号状态的判决表示式设计检测系统分析检测性能研究最佳波形设计高斯白噪声中确知信号波形的检测主要内容：115简单二元信号波形的检测1.信号模型接收信号中的信号分量是能量为的确知信号，n(t)是均值为零，功率谱密度为的高斯白噪声。2.判决表示式用正交级数展开式表示接收信号简单二元信号波形的检测1.信号模型接收信号中的信号分量116简单二元信号波形的检测2.判决表示式第一步，用正交级数展开式表示接收信号假设下，有简单二元信号波形的检测2.判决表示式第一步，用正交级数展开117第二步，简单二元信号波形的检测2.判决表示式假设下，有假设下和假设下，展开系数的概率密度函数为：第二步，取前N项，构成似然比检验。第二步，简单二元信号波形的检测2.判决表示式假设118简单二元信号的波形检测2.判决表示式简单二元信号的波形检测2.判决表示式119简单二元信号的波形检测2.判决表示式第二步，第三步，取的极限，将离散判决表示式变成连续形式的判决表示式。简单二元信号的波形检测2.判决表示式第二步，第三步，取120简单二元信号的波形检测3.检测系统的结构图4.8相关检测系统结构（相关接收机）图4.9匹配滤波器检测系统结构简单二元信号的波形检测3.检测系统的结构图4.8相关检测系121简单二元信号的波形检测4.检测性能分析检验统计量在假设H0或假设H1下，都是高斯随机变量。通过分析两种假设下的均值和方差，计算判决概率，并据此分析检测性能。可以得到，，，简单二元信号的波形检测4.检测性能分析检验统计量122简单二元信号的波形检测偏移系数：简单二元信号的波形检测偏移系数：123简单二元信号的波形检测5.最佳信号波形设计在高斯白噪声条件下，简单二元确知信号波形的检测性能由偏移系数d2决定，d2取决于信号的能量Es，与信号波形无关。图4.10接收机工作特性图4.11检测概率PD与参数d的关系简单二元信号的波形检测5.最佳信号波形设计在高斯白噪声条件124简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法第一个坐标函数选择为确知信号的归一化函数第一个展开系数两种假设下其余展开系数在两种假设下因此，展开系数x1是充分统计量。参考《线性代数的几何意义》page133/174简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法第一个坐标函125简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法利用充分统计量x1构造似然比检验x1是高斯随机变量，有返回简单二元信号的波形检测6.充分统计量的分析方法利用充分统计126一般二元信号波形的检测1.信号模型2.判决表示式用正交级数展开系数表示接收信号：一般二元信号波形的检测1.信号模型2.判决表示式用正交级127一般二元信号波形的检测2.判决表示式取展开系数的前N项一般二元信号波形的检测2.判决表示式取展开系数的前N项128一般二元信号波形的检测2.判决表示式一般二元信号波形的检测2.判决表示式129一般二元信号波形的检测3.检测系统的结构图4.12双路相关检测系统结构图4.13双路匹配滤波器检测系统结构一般二元信号波形的检测3.检测系统的结构图4.12双路相关130一般二元信号波形的检测4.检测性能分析定义两个信号波形的相关系数为一般二元信号波形的检测4.检测性能分析定义两个信号波形的相131一般二元信号波形的检测4.检测性能分析一般二元信号波形的检测4.检测性能分析132一般二元信号波形的检测5.最佳信号波形设计信号的检测性能随偏移系数d2的增加而增大。因此，信号的检测性能与以下两个因素有关。（1）信号相对于噪声的能量大小；（2）信号之间的波形差异。两个信号反相：，，两个信号正交：，两个信号满足：，，。一般二元信号波形的检测5.最佳信号波形设计信号的检测性能随133一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法(1)选择正交函数集中的第一个坐标函数为：(2)根据Gram-Schmidt正交化方法，构造第二个坐标函数为：一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法(1)选择134一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法由x1与x2构成的二维矢量是充分统计量。x1和x2都是高斯随机变量，且相互统计独立。（4.4.53）（4.4.54）（4.4.55）一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法由x1与x2135一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法136一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法137一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法一般二元信号波形的检测6.充分统计量的分析方法138一般二元信号波形的检测例题4.4.1图4.14超越方程的解一般二元信号波形的检测例题4.4.1图4.14超越方程139一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（1）对于高斯白噪声背景的接收信号，进行正交展开的函数集可以任意选择，展开系数xk是相互统计独立的高斯随机变量。采用格拉姆-施密特正交化方法生成的正交函数集，可以获得有限维且与假设Hj有关的充分统计量。（2）检验统计量是高斯分布，因此判决概率P(HiIHj)完全由偏移系数d2决定，即有效功率信噪比决定。对于简单二元信号波形检测，

对于一般二元信号波形检测，

因此，的信号互补关系是最佳的波形。一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（1）对于高140一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）采用充分统计量分析方法的判决表示式：图4.15判决域划分示意图一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）采用充141一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）分界线：直线的斜率：原信号差矢量的斜率：有：判决域分界线是垂直于信号间连线的直线！一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（3）分界线142一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（4）若二元信号假设的先验概率相等，采用最小平均错误概率准则，则判决域分界线满足：分界线是两信号连线的垂直平分线。若进一步，两信号的能量相等，有分界线是两信号连线的垂直平分线，并通过判决域的原点。一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳（4）若二元143一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳返回一般二元信号波形的检测7.二元信号波形检测归纳返回144M元信号波形的检测系统每次发送M个可能信号的一个，接收信号x(t)后，判断M个可能信号的哪一个。

M元信号的检测模式识别中的分类或辨识一般采用最小平均错误概率准则或一般贝叶斯准则。（4.4.73）M元信号波形的检测系统每次发送M个可能信号的一个，（4.4145M元信号波形的检测（1）根据格拉姆—施密特正交化方法：正交函数集中，的坐标函数不必设计。考虑到M个信号中，可能有N个是线性不相关的，只需构造N个正交函数集。M元信号波形的检测（1）根据格拉姆—施密特正交化方法：正交函146M元信号波形的检测（2）转换为N维随机矢量问题M元信号波形的检测（2）转换为N维随机矢量问题147M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则由于是N维联合高斯概率密度函数，有判决假设Hi成立。两边取对数；注意：C为对角阵M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验148M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验概率准则若各假设的先验概率相等，有判决假设Hi成立。即M元信号波形的检测（3）平均错误概率最小的准则等价为最大后验149M元信号波形的检测例4.4.3图4.16四元信号检测判决域划分图4.17四元信号检测系统结构返回M元信号波形的检测例4.4.3图4.16四元信号检测判决域150高斯有色噪声中确知信号波形的检测加性高斯有色噪声背景中二元确知信号波形检测1卡亨南-洛维展开法根据噪声的自相关函数选择合适的正交函数集。2将接收信号先通过白化滤波器，其输出端噪声变为白噪声。有色噪声：噪声过程的功率谱密度在频域上的分布不均匀。一般采用高斯功率谱密度的模型。白色包含了所有的颜色，因此白噪声的特点就是包含各种噪声。白噪声定义为在无限频率范围内功率谱密度为常数的信号，这就意味着还存在其它“颜色”的噪声，即，其功率谱密度函数不平坦。大多数的音频噪声，如移动汽车的噪声，电钻的噪声，周围人们走路的噪声等等，其频谱主要都是非白色低频段频谱。而且，通过信道的白噪声受信道频率的影响而变为有色的。高斯有色噪声中确知信号波形的检测加性高斯有色噪声背景中二元确151高斯有色噪声中确知信号波形的检测1信号模型及其统计特性均值为零，自相关函数为的高斯有色噪声。2信号检测的判决表示式展开系数：高斯有色噪声中确知信号波形的检测1信号模型及其统计特性152高斯有色噪声中确知信号波形的检测2信号检测的判决表示式展开系数之间的协方差函数：目的要得到正交函数集的坐标函数，当时，协方差函数，展开式中各展开系数之间互不相关。高斯有色噪