函数的弹性课件

湘潭大学数学与计算科学学院12.7函数的弹性一、函数弹性的定义二、

弹性在经济分析中的应用三、小结湘潭大学数学与计算科学学院12.7湘潭大学数学与计算科学学院21.函数的绝对变化率与相对变化率前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对改变量与绝对变化率.但从实践中得知,仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的,还需要研究函数的相对改变量与相对变化率.一、函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院21.函数的绝对变化率与相对变化湘潭大学数学与计算科学学院3湘潭大学数学与计算科学学院3湘潭大学数学与计算科学学院4设函数y=f(x)可导，当自变量x在

x0处给以增量

时，相应地，函数y有增量称

为函数自变量与因变量的绝对改变量，

而称

为自变量与因变量的相对改变量．称为函数从的相对变化率．湘潭大学数学与计算科学学院4设函数y=f(x)可导，湘潭大学数学与计算科学学院5如

当x由10变到12时,

y由100变到144.

此时，绝对改变量为

而相对改变量为表示当

x由10变到12时，x产生了20%的改变，

而y产生了44%的改变．湘潭大学数学与计算科学学院5如当x由10变到12时,湘潭大学数学与计算科学学院6表示在(10,12)内,x从

x=10,每改变

1%时,y平均改变了2.2%，它为从x=10到x=12时,函数y=x2的相对变化率．且湘潭大学数学与计算科学学院6表示在(10,12)内,x湘潭大学数学与计算科学学院7定义2.7.1

设函数y=f(x)在点

x=x0处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量

之比称为f(x)在点

x=x0到

两点间的相对2.函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院7定义2.7.1设函数y=湘潭大学数学与计算科学学院8变化率，或称为从x=x0到

两点间的弹性．

而当

,两点间相对变化率的极限

称为f(x)在点

x=x0的相对变化率，也称为f(x)在x0的弹性.

记作且湘潭大学数学与计算科学学院8变化率，或称为从x=x0到湘潭大学数学与计算科学学院9一般的，如果y=f(x)可导，称为f(x)的弹性函数．

函数f(x)在点

x的弹性

反映了函数

f(x)随自变量的变化而变化的幅度大小(灵敏度):当

x变化1%时，函数y变化了

湘潭大学数学与计算科学学院9一般的，如果y=f(x)湘潭大学数学与计算科学学院10由边际函数

平均函数

即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商．注意两点间的弹性是有方向性的,因为“相对性”是对初始值而言的.也就是说:两点间的弹性是不同的.湘潭大学数学与计算科学学院10由边际函数平均函数即，弹性湘潭大学数学与计算科学学院11即指数函数的弹性为线性函数．例2

求函数

的弹性函数

解

例1

求函数

的弹性函数解

即幂函数的弹性为其幂指数b.

湘潭大学数学与计算科学学院11即指数函数的弹性为线性函数．例湘潭大学数学与计算科学学院12二、弹性在经济分析中的应用1.需求弹性与供给弹性定义2.7.2

设某商品的需求函数为

Q=f(P),在

处可导，称为需求函数Q=f(P)在P=P0与

两点间

的需求价格弹性，

记作

(2.7.3)湘潭大学数学与计算科学学院12二、弹性在经济分析中的应用1.湘潭大学数学与计算科学学院13而称为需求函数Q=f(P)在P=P0处的需求(价格)弹性，

记作

(2.7.4)价格从

每

湘潭大学数学与计算科学学院13而称为需求函数Q=f(P)在湘潭大学数学与计算科学学院14表示:当商品价格为P0时,若价格上涨(下降)1%时，

当把定义中的P0换成

P时，所得结果分别称为需及需求的(价格)弹性函数

湘潭大学数学与计算科学学院14表示:当商品价格为P0时,湘潭大学数学与计算科学学院15说明需求弹性是刻画当商品价格变动时,需求

变动的强弱.由于需求函数Q＝f(P)是单调减少函数,则△P与

△Q

异号,而P0,Q0是正数,于是都是负数.为了用正数表示需求弹性,于是采用需求函数相对变化率的反号来定义需求弹性.湘潭大学数学与计算科学学院15说明需求弹性是刻画当商品价湘潭大学数学与计算科学学院16例3

某商品的需求函数为

求（2）P=30的需求弹性．解（1）

说明价格从30降至

20，在此区间内，价格每降

1%,需求量从40平均增加

1.5%.湘潭大学数学与计算科学学院16例3某商品的需求函数为求湘潭大学数学与计算科学学院17（2）

则

需求的弹性函数为常数，说明在任何价格

P处，弹性都不变，称为不变弹性函数,即价格上涨（下降）1%需求量就会下降（上涨）

1%.湘潭大学数学与计算科学学院17（2）则需求的弹性函数为常湘潭大学数学与计算科学学院18例4

某商品的需求函数为

求（1）需求弹性函数；（2）P=3,5,6时的需求弹性．

解（1）

（2）

湘潭大学数学与计算科学学院18例4某商品的需求函数为求湘潭大学数学与计算科学学院19说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度．

即P=3时，价格上涨（下降）1%，需求量下降(上涨)0.6%.

一般的,当

时,称商品需求在此处缺乏弹性．说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同,称商品需求在此处具有单位弹性．说明当P=6时需求变动幅度大于价格湘潭大学数学与计算科学学院19说明需求变动的幅度小于价格变动湘潭大学数学与计算科学学院20变动幅度．即

P=6时，价格上涨（下降）1%,需求量下降（上涨）1.2%.一般的，若

商品需求在此处富有弹性．则称下面讨论供给弹性:湘潭大学数学与计算科学学院20变动幅度．即P=6时，价格湘潭大学数学与计算科学学院21定义2.7.3

设某商品的供给函数为

Q=g(P),在处可导，称为供给函数

Q=g(P)在P=P0与

两点间的

供给弹性，

记作

湘潭大学数学与计算科学学院21定义2.7.3设某商品的供湘潭大学数学与计算科学学院22而称为供给函数Q＝g(P)在P＝P0处的供给弹性，

记作

2.需求弹性与总收益总收益=商品的价格×需求量商品的需求弹性会引起总收益如何变化?由于湘潭大学数学与计算科学学院22而称为供给函数Q＝g(P)在湘潭大学数学与计算科学学院23即

湘潭大学数学与计算科学学院23即湘潭大学数学与计算科学学院24可以看出:

即该商品为缺乏弹性商品时，

价格上涨,总收益会增加;价格下降,总收益会减少;

需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等，价格的变动不会引起总收益变化．

即该商品为单位弹性商品时，

湘潭大学数学与计算科学学院24可以看出:即该商品为缺乏弹性湘潭大学数学与计算科学学院25即该商品为富有弹性商品时，

价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增加．

综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化.一般来说,富有弹性商品降低价格可以增大收益,缺乏弹性商品提高价格可以增大收益.下面讨论总收益的变化率问题.湘潭大学数学与计算科学学院25即该商品为富有弹性商品时，价湘潭大学数学与计算科学学院26由

则

例5

某商品的需求函数为说明当价格变化1%时,总收益将变化湘潭大学数学与计算科学学院26由则例5某商品的需求函湘潭大学数学与计算科学学院27

（1）求需求弹性函数；（2）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义；

（3）当P=3时，若价格上涨

1%，总收益如何变化？解（1）

（2）

湘潭大学数学与计算科学学院27（1）求需求弹性函数；（2）湘潭大学数学与计算科学学院28经济意义为:当价格P=3时，若价格上涨（下降）1%商品的需求量将下降（上涨）0.176%.

（3）

P=3时，若价格上涨1%,由于

则总收益增加，且增加的幅度为

即增加

湘潭大学数学与计算科学学院28经济意义为:当价格P=3时，湘潭大学数学与计算科学学院293.需求弹性与边际收益若将商品的价格P看成需求量Q的函数

,则

总收益为

边际收益为又湘潭大学数学与计算科学学院293.需求弹性与边际收益若将商湘潭大学数学与计算科学学院30从中可以看出：对富有弹性商品，增加产品的销售量可使总收益增加，而对缺乏弹性的商品，减少产品的销售量可使总收益增加．湘潭大学数学与计算科学学院30从中可以看出：对富有弹性商品，湘潭大学数学与计算科学学院31例6

某商品的价格P与销售量Q的函数关系为

而成本函数为

当边际收益

需求弹性

时，利润

最大．（1）求利润最大时的产量；（2）求a,b的值．

湘潭大学数学与计算科学学院31例6某商品的价格P与销售量湘潭大学数学与计算科学学院32解（1）由最大利润原则有解得

因为

而

则

又

因此

湘潭大学数学与计算科学学院32解（1）由最大利润原则有解得湘潭大学数学与计算科学学院33又因为

得

则只有Q=11满足

因此，产量为11时，利润最大．（2）由需求弹性与边际收益的关系且

由已知，

湘潭大学数学与计算科学学院33又因为得则只有Q=11满足湘潭大学数学与计算科学学院34时，利润最大，而由（1）知，此时产量为Q=11,

代入上述条件，有解方程组得

湘潭大学数学与计算科学学院34时，利润最大，而由（1）知，此湘潭大学数学与计算科学学院35内容小结1.函数弹性的定义2.弹性在经济分析中的应用需求弹性与供给弹性需求弹性与总收益、边际收益的关系湘潭大学数学与计算科学学院35内容小结1.函数弹性的定义2湘潭大学数学与计算科学学院36作业

湘潭大学数学与计算科学学院36作业湘潭大学数学与计算科学学院372.7函数的弹性一、函数弹性的定义二、

弹性在经济分析中的应用三、小结湘潭大学数学与计算科学学院12.7湘潭大学数学与计算科学学院381.函数的绝对变化率与相对变化率前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对改变量与绝对变化率.但从实践中得知,仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的,还需要研究函数的相对改变量与相对变化率.一、函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院21.函数的绝对变化率与相对变化湘潭大学数学与计算科学学院39湘潭大学数学与计算科学学院3湘潭大学数学与计算科学学院40设函数y=f(x)可导，当自变量x在

x0处给以增量

时，相应地，函数y有增量称

为函数自变量与因变量的绝对改变量，

而称

为自变量与因变量的相对改变量．称为函数从的相对变化率．湘潭大学数学与计算科学学院4设函数y=f(x)可导，湘潭大学数学与计算科学学院41如

当x由10变到12时,

y由100变到144.

此时，绝对改变量为

而相对改变量为表示当

x由10变到12时，x产生了20%的改变，

而y产生了44%的改变．湘潭大学数学与计算科学学院5如当x由10变到12时,湘潭大学数学与计算科学学院42表示在(10,12)内,x从

x=10,每改变

1%时,y平均改变了2.2%，它为从x=10到x=12时,函数y=x2的相对变化率．且湘潭大学数学与计算科学学院6表示在(10,12)内,x湘潭大学数学与计算科学学院43定义2.7.1

设函数y=f(x)在点

x=x0处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量

之比称为f(x)在点

x=x0到

两点间的相对2.函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院7定义2.7.1设函数y=湘潭大学数学与计算科学学院44变化率，或称为从x=x0到

两点间的弹性．

而当

,两点间相对变化率的极限

称为f(x)在点

x=x0的相对变化率，也称为f(x)在x0的弹性.

记作且湘潭大学数学与计算科学学院8变化率，或称为从x=x0到湘潭大学数学与计算科学学院45一般的，如果y=f(x)可导，称为f(x)的弹性函数．

函数f(x)在点

x的弹性

反映了函数

f(x)随自变量的变化而变化的幅度大小(灵敏度):当

x变化1%时，函数y变化了

湘潭大学数学与计算科学学院9一般的，如果y=f(x)湘潭大学数学与计算科学学院46由边际函数

平均函数

即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商．注意两点间的弹性是有方向性的,因为“相对性”是对初始值而言的.也就是说:两点间的弹性是不同的.湘潭大学数学与计算科学学院10由边际函数平均函数即，弹性湘潭大学数学与计算科学学院47即指数函数的弹性为线性函数．例2

求函数

的弹性函数

解

例1

求函数

的弹性函数解

即幂函数的弹性为其幂指数b.

湘潭大学数学与计算科学学院11即指数函数的弹性为线性函数．例湘潭大学数学与计算科学学院48二、弹性在经济分析中的应用1.需求弹性与供给弹性定义2.7.2

设某商品的需求函数为

Q=f(P),在

处可导，称为需求函数Q=f(P)在P=P0与

两点间

的需求价格弹性，

记作

(2.7.3)湘潭大学数学与计算科学学院12二、弹性在经济分析中的应用1.湘潭大学数学与计算科学学院49而称为需求函数Q=f(P)在P=P0处的需求(价格)弹性，

记作

(2.7.4)价格从

每

湘潭大学数学与计算科学学院13而称为需求函数Q=f(P)在湘潭大学数学与计算科学学院50表示:当商品价格为P0时,若价格上涨(下降)1%时，

当把定义中的P0换成

P时，所得结果分别称为需及需求的(价格)弹性函数

湘潭大学数学与计算科学学院14表示:当商品价格为P0时,湘潭大学数学与计算科学学院51说明需求弹性是刻画当商品价格变动时,需求

变动的强弱.由于需求函数Q＝f(P)是单调减少函数,则△P与

△Q

异号,而P0,Q0是正数,于是都是负数.为了用正数表示需求弹性,于是采用需求函数相对变化率的反号来定义需求弹性.湘潭大学数学与计算科学学院15说明需求弹性是刻画当商品价湘潭大学数学与计算科学学院52例3

某商品的需求函数为

求（2）P=30的需求弹性．解（1）

说明价格从30降至

20，在此区间内，价格每降

1%,需求量从40平均增加

1.5%.湘潭大学数学与计算科学学院16例3某商品的需求函数为求湘潭大学数学与计算科学学院53（2）

则

需求的弹性函数为常数，说明在任何价格

P处，弹性都不变，称为不变弹性函数,即价格上涨（下降）1%需求量就会下降（上涨）

1%.湘潭大学数学与计算科学学院17（2）则需求的弹性函数为常湘潭大学数学与计算科学学院54例4

某商品的需求函数为

求（1）需求弹性函数；（2）P=3,5,6时的需求弹性．

解（1）

（2）

湘潭大学数学与计算科学学院18例4某商品的需求函数为求湘潭大学数学与计算科学学院55说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度．

即P=3时，价格上涨（下降）1%，需求量下降(上涨)0.6%.

一般的,当

时,称商品需求在此处缺乏弹性．说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同,称商品需求在此处具有单位弹性．说明当P=6时需求变动幅度大于价格湘潭大学数学与计算科学学院19说明需求变动的幅度小于价格变动湘潭大学数学与计算科学学院56变动幅度．即

P=6时，价格上涨（下降）1%,需求量下降（上涨）1.2%.一般的，若

商品需求在此处富有弹性．则称下面讨论供给弹性:湘潭大学数学与计算科学学院20变动幅度．即P=6时，价格湘潭大学数学与计算科学学院57定义2.7.3

设某商品的供给函数为

Q=g(P),在处可导，称为供给函数

Q=g(P)在P=P0与

两点间的

供给弹性，

记作

湘潭大学数学与计算科学学院21定义2.7.3设某商品的供湘潭大学数学与计算科学学院58而称为供给函数Q＝g(P)在P＝P0处的供给弹性，

记作

2.需求弹性与总收益总收益=商品的价格×需求量商品的需求弹性会引起总收益如何变化?由于湘潭大学数学与计算科学学院22而称为供给函数Q＝g(P)在湘潭大学数学与计算科学学院59即

湘潭大学数学与计算科学学院23即湘潭大学数学与计算科学学院60可以看出:

即该商品为缺乏弹性商品时，

价格上涨,总收益会增加;价格下降,总收益会减少;

需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等，价格的变动不会引起总收益变化．

即该商品为单位弹性商品时，

湘潭大学数学与计算科学学院24可以看出:即该商品为缺乏弹性湘潭大学数学与计算科学学院61即该商品为富有弹性商品时，

价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增加．

综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化.一般来说,富有弹性商品降低价格可以增大收益,缺乏弹性商品提高价格可以增大收益.下面讨论总收益的变化率问题.湘潭大学数学与计算科学学院25即该商品为富有弹性商品时，价湘潭大学数学与计算科学学院62由

则

例5

某商品的需求函数为说明当价格变化1%时,总收益将变化湘潭大学数学与计算科学学院26由则例5某商品的需求函湘潭大学数学与计算科学学院63

（1）求需求弹性函数；（2）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义；

（3）当P=3时，若价格上涨

1%，总收益如何变化？解（1）

（2）

湘潭大学数学与计算科学学院27（1）求需求弹性函数；（2