21.3.1双曲线及其标准方程2

迪拜双曲线建筑生活中的双曲线双曲线型自然通风冷却塔生活中的双曲线可口可乐的下半部玉枕的形状2.3.1双曲线及其标准方程1.说出椭圆的第一定义以及定义中需要注意的问题稍加思考，举手回答和等于常数2a(2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹叫做椭圆.即平面内与两定点F1、F2的距离的

2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)点M的轨迹是椭圆

若2a=2c,点M的轨迹是线段F1F2；若2a＜2c，点M的轨迹不存在。一.复习旧知导入新知数学试验演示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？二.群策群力探知寻规（一）用心观察，小组共探（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）数学试验演示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？二.群策群力探知寻规

观察AB两图探究双曲线的定义①如图(A)，

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，

|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a

（差的绝对值）上面两条合起来叫做双曲线（一）用心观察，小组共探（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？先独立思考1分钟，再同桌讨论，代表总结发言①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（0<2a<2c）；oF2F1M1、双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.|

|MF1|-|MF2|

|

=2a

(0<2a<|F1F2|)双曲线定义的符号表述：二.群策群力探知寻规2、讨论：定义当中条件2a<|F1F2|=2c如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？（要求：类比椭圆，请同学先独立思考半分钟，然后小组讨论，踊跃举手发表你们的观点.）定义中需要注意什么?思考：两条射线F1P、F2Q。F2F1PMQM无轨迹。线段F1F2的垂直平分线。|MF1|=|MF2|F1F2MoF2F1M（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？小试身手：请说出下列方程对应曲线的名称：（认真思考，举手回答）（3）

（4）

（两条射线）（双曲线）（双曲线）

（双曲线右支）二.群策群力探知寻规（一）齐思共想，推导方程1.回顾椭圆标准方程的推导过程中的建系原则？2.回顾推导椭圆标准方程的推导步骤及方法？3.在推导过程中如何换元？二.群策群力探知寻规（要求：请同学们在思考下列问题的基础上，独立完成，并且推导出双曲线的标准方程）4.利用选好的坐标系，来推导双曲线的标准方程？F2F1MxOy以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)求点M轨迹方程。|MF1|-|MF2|=±2a二.群策群力探知寻规建系标准：简洁、对称xyoF1F2MP={M

||MF1

|-|MF2|

=+2a}

_cx-a2=±a

(x-c)2+y2

移项平方整理得再次平方，得：(c2-a2)

x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：=x2a2-y2b21(a>0,b>0)二.群策群力探知寻规（二）自我展示，大家共赏（自由发言，其他小组仔细观察、听取推导过程，如有不同见解及时补充。）xyoF1F2M=x2a2-y2b21(a>0,b>0)方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2二.群策群力探知寻规（三）提炼精华，总结方程当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？思考：F1F2xyF1F2oxy（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上－=1－=1F1（-c,0）、F2（c,0）F1（0,-c）、F2（0,c）根据系数正负来判断焦点位置。c2=a2＋b2(a>0,b>0)二.群策群力探知寻规（三）提炼精华，总结方程看前的系数，哪一个为正，焦点就在那根轴上。o定义图象方程焦点a.b.c的关系确定焦点位置||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)看系数正负，右边等于1时，哪个系数正，焦点就在对应坐标轴上定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2-b2=c2双曲线与椭圆区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）二.群策群力探知寻规（±5，0）（0，±5

）三.知识迁移深化认知（一）基础练习，规范格式1.判断下列双曲线的焦点在哪个轴上，并且写出焦点坐标及其焦距？（要求：请学生自己独立思考完成，并且将结果写在笔记本上，举手自由发言，其他同学有不同意见及时补充完整.）2.已知a=4,b=3,焦点在x轴上，求双曲线的方程;3.已知焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)，求双曲线的方程。例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.∵2a=6,c=5∴a=3,c=5∴b2=52-32=16所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为：解:三.知识迁移深化认知三.知识迁移深化认知三.知识迁移深化认知例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_____________.思考：三.知识迁移深化认知再上一个台阶方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是______.AB<0(3)应用P55，2,3题作业(1)定义:||MF1|-|MF2||=2a（0<2a<|F1F2|）返回小结小结回顾定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)作业：课本55页2,3题使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:

由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的