专题24 动态几何之双动点形成的函数关系问题

一、选择题1.〔2022年山东临沂3分〕如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t〔s〕，△OEF的面积为s〔cm2〕，那么s〔cm2〕与t〔s〕的函数关系可用图象表示为【】A．B．C．D，2.〔2022年山东烟台3分〕如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．假设P，Q同时开始运动，设运动时间为t〔s〕，△BPQ的面积为y〔cm2〕．y与t的函数图象如图2，那么以下结论错误的选项是【】A．AE=6cmB．C．当0＜t≤10时，D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形设为N，如图，连接NB，NC。此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=。∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形。应选D。3.〔2022年四川南充3分〕如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，y与t的函数关系的图形如图2〔曲线OM为抛物线的一局部〕，那么以下结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④假设△ABE与△QBP相似，那么t=秒。其中正确的结论个数为【】A.4B.3 C.2 D.1∴PF=PBsin∠PBF=t。4.〔2022年福建三明4分〕如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么以下图象能大致刻画S与t之间的关系的是【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图，作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，5.〔2022浙江温州4分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。应选C。6.〔2022四川攀枝花3分〕如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D〔5，4〕，AD=2．假设动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y〔平方单位〕，那么y关于x的函数图象大致为【】A．B．C．D．应选项A．B选项错误。7.〔2022山东临沂3分〕如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x〔单位：s〕，四边形PBDQ的面积为y〔单位：cm2〕，那么y与x〔0≤x≤8〕之间函数关系可以用图象表示为【】A．B．C．D．8.〔2022广西桂林3分〕如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，那么S与t的函数关系的图象是【】9.〔2022年山东临沂3分〕甲、乙两同学同时从400m环形跑道上的同一点出犮，同向而行．甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s．设经过〔单位：s〕后，跑道上此两人间的较短局部的长度为〔单位：m〕．那么与〔0≤≤300〕之间的函数关系可用图象表示为【】A、 B、 C、 D、【答案】C。【考点】函数的图象。【分析】由于相向而行，且二人速度差为6﹣4=2m/s，二人间最长距离为200米，最短距离为0，据此即可进行推理：二人速度差为6﹣4=2m/s，100秒时，二人相距2×100=200米，200秒时，二人相距2×200=400米，较短局部的长度为0，300秒时，二人相距2×300=600米，即甲超过乙600﹣400=200米．由于=2或=400﹣2，函数图象为直线〔线段〕。应选C10.〔2022年山东威海3分〕如图，在正方形ABCD中，AB=3㎝，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止。设△AMN的面积为〔㎝2〕。运动时间为〔秒〕，那么以下图象中能大致反映与之间函数关系的是【】二、填空题1.〔2022年广西河池3分〕如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。那么AF的最小值是▲。【答案】5。【考点】双动点问题，正方形的性质，由实际问题列函数关系式，相似三角形的判定和性质，二次函数最值，勾股定理。【分析】根据题意，要求AF的最小值，只要CF最大即可。设BE=x，CF=y，那么由正方形ABCD的边长为4，得CE=。∵ABCD是正方形，∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°。三、解答题1.〔2022年湖北黄冈15分〕如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A〔6，0〕，B〔3，〕，C〔1，〕，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t〔秒〕.〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；〔2〕当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；〔3〕以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？假设能，请求出t的值，假设不能，请说明理由；〔4〕经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？假设能，请求出此时t的值〔或范围〕，假设不能，请说明理由.【答案】解：〔1〕设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：，把A〔6，0〕，B〔3，〕，C〔1，〕代入得：，解得：。∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：。〔3〕根据题意可知，0≤t≤3。当0≤t≤2时，点Q在BC边上运动，此时，OP=2t，。∵OD=1，CD=，∴。∴。∵，∴假设△OPQ为直角三角形，只能是或。假设，那么，即，解得，或〔舍去〕。假设，那么，即，解得，。当2＜t≤3时，点Q在CO边上运动，此时，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，∴此时，△OPQ不可能为直角三角形。综上所述，当或时，△OPQ为直角三角形。综上所述，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2。【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分式的化简，分类思想的应用。2.〔2022年湖北荆州12分〕如图，：如图①，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动〔运动到O点停止〕；对称轴过点A且顶点为M的抛物线〔a＜0〕始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．〔1〕用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；〔2〕当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；〔3〕当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．【答案】解：〔1〕在直线解析式中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1。∴A〔1，0〕，B〔0，〕，OA=1，OB=。∴tan∠OAB=。∴∠OAB=60°。∴AB=2OA=2。∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°。∴，BF=2EF=2t。∴AF=AB﹣BF=2﹣2t。〔3〕当△ADF是直角三角形时，①假设∠ADF=90°，如答图2所示，此时AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=。∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。∴E〔0，〕，G〔2，〕。设直线BG的解析式为y=kx+b，将B〔0，〕，G〔2，〕代入得：，解得。∴直线BG的解析式为。令x=1，得，∴M〔1，〕。设抛物线解析式为，∵点E〔0，〕在抛物线上，∴，解得。∴抛物线解析式为，即。②假设∠AFD=90°，如答图3所示，此时AD=2AF，即：t=2〔2﹣2t〕，解得：t=。∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。∴E〔0，〕，G〔2，〕。设直线BG的解析式为y=k1x+b1，将B〔0，〕，G〔2，〕代入得：，解得。∴直线BG的解析式为。令x=1，得y=，∴M〔1，〕。设抛物线解析式为，∵点E〔0，〕在抛物线上，∴，解得。∴抛物线解析式为，即。综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：或。3.〔2022年山东济宁12分〕如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．假设运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形〔点P、Q重合除外〕．〔1〕求点P运动的速度是多少？〔2〕当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？〔3〕当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．【答案】解：〔1〕∵直线与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4；y=0时，x=8。∴BO=4，AO=8。∴。当t秒时，QO=FQ=t，那么EP=t，∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP。∴，即。∴AP=2t。∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。〔2〕∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：如图1，当0＜t＜。即点P在点Q右侧时，假设PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t。∴8－3t=t。解得：t=2。如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，假设PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。∴。∴。解得：t=4。∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形。4.〔2022年山东青岛12分〕，如图，ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜1〕，解答以下问题：〔1〕当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？〔2〕设四边形ANPM的面积为y〔cm2〕，求y与t之间的函数关系式；〔3〕是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半，假设存在，求出相应的t值，假设不存在，说明理由〔4〕连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两局部？假设存在，求出相应的t值，假设不存在，说明理由∴。∴y与t之间的函数关系式为〔0＜t＜1〕。〔3〕存在。假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半，那么，即，解得〔舍去〕。∴当时，四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半。【考点】双动点问题，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，数形结合思想、转换思想和分类思想的应用。5.〔2022年江苏淮安12分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，假设P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．〔1〕当t=▲时，点P与点Q相遇；〔2〕在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？〔3〕在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．①求s与ι之间的函数关系式；②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠局部的面积．【答案】解：〔1〕7。〔2〕点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，那么当时，点P在BC上，点Q在CA上，假设△PCQ为等腰三角形，那么一定为等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。当时，点P在BC上，点Q在AB上，假设△PCQ为等腰三角形，那么一定有PQ=PC〔如图1〕，那么点Q在PC的中垂线上。作QH⊥AC，那么QH=PC，△AQH∽△ABC，在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，那么。∵PC=BC﹣BP=3﹣t，∴，解得：。综上所述，在点P从点B到点C的运动过程中，当t=1或时，△PCQ为等腰三角形。〔3〕在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，那么PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。同〔2〕可得：△PCQ中，PC边上的高是：，∴。∴当t=5时，s有最大值，此时，P是AC的中点〔如图2〕。∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，∴PD一定是AC的中垂线。∴AP=CP=AC=2，PD=BC=。∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。如图2，连接DC〔即AD的折叠线〕交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，那么△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠局部的面积。那么QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=。∴EP=，CE=。设FP=x，FO=y，那么CF=。由△CFO∽△CPD得，即，∴。由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：。∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠局部的面积。6.〔2022年江苏连云港12分〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为〔8，0〕、〔0，6〕．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t〔秒〕〔0＜t≤5〕．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．〔1〕求当t为何值时，点Q与点D重合？〔2〕设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？〔3〕假设⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．〔2〕，即，解得。①点Q、D重合前，即时，，∴△QCD的面积为。∵，∴当t=时，S有最大值为。②点Q、D重合后，即时，，∴△QCD的面积为。∵，∴当时，S随t的增大而增大。∴当t=5时，S有最大值为：。综上所述，S与t的函数关系式为。∵15＞，∴S的最大值为15。〔3〕或。7.〔2022年江苏无锡10分〕如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t〔s〕．△APQ的面积S〔cm2〕与t〔s〕之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．〔1〕求点Q运动的速度；〔2〕求图2中线段FG的函数关系式；〔3〕问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两局部？假设存在，求出这样的t的值；假设不存在，请说明理由．∴FG段的函数表达式为：〔6≤t≤9〕。〔3〕存在。8.〔2022年贵州遵义12分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t〔单位：秒，0＜t＜〕．〔1〕当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？〔2〕是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？假设存在，求S的最小值；假设不存在，请说明理由．【考点】多动点问题，相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例的性质，勾股定理，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，分类思想的应用。【分析】根据勾股定理求得AB=5cm。〔1〕分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值。〔2〕如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH〞列出S与t的关系式，那么由二次函数最值的求法即可得到S的最小值。9.〔2022年四川攀枝花12分〕如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B〔10，0〕，C〔7，4〕．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒〔t＞0〕，△MPQ的面积为S．〔1〕点A的坐标为▲，直线l的解析式为▲；〔2〕试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；〔3〕试求〔2〕中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；〔4〕随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：〔1〕〔﹣4，0〕；y=x+4。〔2〕在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，那么CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。过点Q作QE⊥x轴于点E，那么BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。∴PE=PB﹣BE=〔14﹣2t〕﹣3t=14﹣5t，S=PM•PE=×2t×〔14﹣5t〕=﹣5t2+14t。②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，那么CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣〔5t﹣5〕=16﹣7t。S=PM•PE=×2t×〔16﹣7t〕=﹣7t2+16t。③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即〔2t﹣4〕+〔5t﹣5〕=7，解得t=。当2＜t＜时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣〔2t﹣4〕﹣〔5t﹣5〕=16﹣7t，S=PM•MQ=×4×〔16﹣7t〕=﹣14t+32。综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为。〔3〕①当0＜t≤1时，，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大。∴当t=1时，S有最大值，最大值为9。②当1＜t≤2时，，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，∴当t=时，S有最大值，最大值为。③当2＜t＜时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小。又∵当t=2时，S=4；当t=时，S=0，∴0＜S＜4。综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为。〔4〕t=或t=时，△QMN为等腰三角形。②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=。∴当t=或t=时，△QMN为等腰三角形。10.〔2022福建龙岩14分〕如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．〔1〕求菱形ABCD的周长；〔2〕记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；〔3〕当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？假设存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；假设不存在，请说明理由．【答案】解：〔1〕在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。∴菱形ABCD的周长为200。〔2〕过点M作MP⊥AD，垂足为点P．①当0＜t≤40时，如答图1，∵，∴MP=AM•sin∠OAD=t。〔3〕存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，那么NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18。∴OF=12。∴。作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，那么FG=GH。∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=〔OF+ON〕•FG。∴。∴。设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，∴。∴PK=。根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。∴存在两个点P到OD的距离都是。由①、②可得：。∴PE=PI+IE=。根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件。∴存在两个点P，到OD的距离都是。11.〔2022年青海西宁12分〕．〔1〕求反比例函数关系式；〔2〕假设动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．假设运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？〔3〕当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔2〕∵运动时间为t，动点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒2个单位，∴AE=t，BF。∵AB=4，∴BE=。∴。∴S关于t的函数关系式为；当时，△BEF的面积最大。12.〔2022年内蒙古呼和浩特12分〕如图，二次函数的图象经过点A〔6，0〕、B〔﹣2，0〕和点C〔0，﹣8〕．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕设该二次函数图象的顶点为M，假设点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为▲；〔3〕连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？假设存在，请求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．【答案】解：〔1〕∵二次函数的图象经过点A〔6，0〕、B〔﹣2，0〕，∴设二次函数的解析式为y=a〔x+2〕〔x﹣6〕。∵图象过点〔0，﹣8〕，∴﹣8=a〔0+2〕〔0﹣6〕，解得a=。∴二次函数的解析式为y=〔x+2〕〔x﹣6〕，即。〔2〕〔，0〕。〔3〕①不存在PQ∥OC，假设PQ∥OC，那么点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2。∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC。∴。∵AP=6﹣3t，AQ=18﹣8t，∴，解得t=。∵t=＞2不满足1＜t＜2，∴不存在PQ∥OC。②分三种情况讨论如下，情况1：当0≤t≤1时，如图1，∴点K的坐标为〔，0〕。13.〔2022年吉林长春12分〕如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t〔秒〕．连结PQ．〔1〕当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长〔用含t的代数式表示〕．〔2〕连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．〔3〕过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形〔阴影局部〕被线段BR分成面积相等的两局部时t的值．〔4〕设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．〔3〕当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。当0＜t≤1时，如图③，∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM。∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。在△BPM和△RQM中，，∴△BPM≌△RQM〔AAS〕。∴BP=RQ。∵RQ=AB，∴BP=AB。∴13t=13，解得：t=1。当1＜t≤时，如图④，∵BR平分阴影局部面积，∴P与点R重合。∴t=。当＜t≤时，如图⑤，∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR。∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两局部。综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形〔阴影局部〕被线段BR分成面积相等的两局部。〔4〕当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC。∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。14.〔2022广东梅州11分〕如图，矩形OABC中，A〔6，0〕、C〔0，2〕、D〔0，3〕，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．〔1〕①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为；〔直接写出答案〕〔2〕设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？假设存在，请直接写出点P的横坐标为m；假设不存在，请说明理由．〔3〕设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠局部的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】解：〔1〕①〔6，2〕。②30。③〔3，3〕。〔2〕存在。m=0或m=3﹣或m=2。〔3〕当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得，∴EF=〔3+x〕，此时重叠局部是梯形，其面积为：当3＜x≤5时，如图2，当5＜x≤9时，如图3，当x＞9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为：。【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】〔1〕①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A〔6，0〕、C〔0，2〕，∴点B的坐标为：〔6，2〕。②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D〔0，3〕，∴PE=3。∴。∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为〔3，3〕。〔2〕分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：情况①：MN=AN=3，那么∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°。∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。∴点P与D重合。∴此时m=0。情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600又，∴，解得：m=3﹣。情况③AM=NM，此时M的横坐标是，过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，∴MG=。∴。∴KG=3﹣=，AG=AN=。∴OK=2。∴m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。〔3〕分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。15.〔2022广东湛江12分〕如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为〔6，0〕，点B的坐标为〔0，8〕．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒〔t＞0〕．〔1〕当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；〔2〕在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由；〔3〕当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？〔3〕在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N〔6﹣t，〕。16.〔2022江苏连云港12分〕如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．(2)由〔1〕知，当t≤时，△OMN不相似△OBA。当t＞时，OM＝4t－2，ON＝4t－6，由解得t＝2＞，∴当t＝2时，△OMN∽△OBA。(3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。17.〔2022福建漳州14分〕如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.假设以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．∵①②中S随t的增加而增加，③中，S随t的增加而减小，∴当t=8时，S最大。18.〔2022湖南衡阳10分〕如图，A、B两点的坐标分别是〔8，0〕、〔0，6〕，点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO〔O为坐标原点〕方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，假设设运动时间为t〔0＜t＜〕秒．解答如下问题：〔1〕当t为何值时，PQ∥BO？〔2〕设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②假设我们规定：点P、Q的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，那么新坐标〔x2﹣x1，y2﹣y1〕称为“向量PQ〞的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ〞的坐标．②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，那么OD=OA=4。∴P〔4，3〕。又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q〔，0〕。依题意，“向量PQ〞的坐标为〔﹣4，0﹣3〕，即〔，﹣3〕．∴当S取最大值时，“向量PQ〞的坐标为〔，﹣3〕。19.〔2022贵州安顺14分〕如下图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．综上所述，点R坐标为〔3，﹣18〕。20.〔2022山东青岛12分〕如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答以下问题：(1)当t为何值时，PQ⊥AB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两局部的面积之比为＝1∶29？假设存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；假设不存在，请说明理由．【答案】解：〔1〕如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴。∵点D、E分别是AC、AB的中点，∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=900。又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。∴△PQE∽△ABC。∴。由题意，得PE=4－t，QE=2t－5，∴，解得。∴当时，PQ⊥AB。〔2〕过点P作PM⊥AB于点M。由△PME∽△ABC，得，∴，即。∴，。∴。当时，PQ分四边形BCDE所成的两局部的面积之比为＝1∶29，此时点E到PQ的距离h。【考点】动点问题，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，求二次函数关系式。【分析】〔1〕由△PQE∽△ABC可列式求解。〔2〕由△PME∽△ABC可求得，根据可求关系式。〔3〕假设存在，由＝1∶29可得，即可求出，进一步由求出。21.〔2022广西桂林12分〕如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)假设E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。【分析】〔1〕由推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。〔2〕由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。〔3〕由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。22.〔2022吉林省10分〕如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合局部的面积为Scm2．〔1〕当t=s时，点P与点Q重合；〔2〕当t=s时，点D在QF上；〔3〕当点P在Q，B两点之间〔不包括Q，B两点〕时，求S与t之间的函数关系式．【答案】解：〔1〕1。〔2〕。〔3〕当P、Q重合时，由〔1〕知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。进一步分析可知此时点E与点F重合。当点P到达B点时，此时t=2。因此当P点在Q，B两点之间〔不包括Q，B两点〕时，其运动过程可分析如下：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合局部为梯形PDGQ。此时AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合局部为一个多边形．面积S由关系式“〞求出。23.〔2022年重庆市12分〕如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2QUOTE3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒〔t≥0〕．〔1〕当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠局部的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；〔3〕设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？假设存大，求出对应的t的值；假设不存在，请说明理由．当4≤t＜6时，S=QUOTE3t2﹣12QUOTE3t+36QUOTE3。综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣QUOTE3，t=3+QUOTE3，t=2，t=4，t=0。24.〔2022年山西省14分〕如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为〔8，0〕，点B的坐标为〔11，4〕，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒〔t＞0〕．△MPQ的面积为S．〔1〕点C的坐标为，直线l的解析式为．〔2〕试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．〔3〕试求题〔2〕中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．〔4〕随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【考点】动点问题，平行四边形的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，一、二次函数的增减性和最值，等腰三角形的判定。25.〔2022年江苏淮安12分〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒〔＞0〕，正方形EFGH与△ABC重叠局部面积为S.〔1〕当＝1时，正方形EFGH的边长是；当＝3时，正方形EFGH的边长是；〔2〕当0＜≤2时，求S与的函数关系式；〔3〕直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？又∵AP＝2，∴AF＝AP＋PF＝2＋。仿上有，△ABC∽△AGF。∴，∴。因此，0＜≤2分为三局部讨论：=1\*GB3①当0＜≤时〔如图3〕，S与的函数关系式是：＝(2)2＝42；=2\*GB3②当＜≤时〔如图4〕，S与的函数关系式是：＝4t2－··[2-(2－)]2＝2＋－；=3\*GB3③当＜≤2时〔如图5〕，求S与t的函数关系式是：∵AE＝－2，TE＝，HT＝,HS＝，∴。∵FB＝8－，YF＝，GY＝，XG＝，26.〔2022年江苏扬州12分〕在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为秒〔〕．〔1〕△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由；〔2〕假设∠ABC＝600，AB＝4厘米①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S〔平方厘米〕，求S与的函数关系式；〔3〕探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．【答案】解：〔1〕△PBM∽△QNM。理由如下：如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC，∴。∴。∵，∴。∴△PBM∽△QNM。〔2〕∵，∴cm。又∵MN垂直平分BC，∴cm。∵，∴＝4cm。①设Q点的运动速度为cm/s，当时，如图１，由〔1〕知△PBM∽△QNM，∴，即。∴。当时，如图2，同样可证△PBM∽△QNM，得到。综上所述，Q点运动速度为1cm/s．②∵AB＝4cm，cm，∴由勾股定理可得，AC＝12cm。∴AN＝AC－NC＝12－8＝4cm∴当时，如图1，AP＝，AQ＝。∴。当时，如图2，AP＝,AQ＝,∴。综上所述，。〔3〕。理由如下：如图3，延长QM至D，使MD＝MQ，连结BD、PD。∵MQ⊥MP，MD＝MQ，∴PQ＝PD。又∵MD＝MQ，∠BMD＝∠CMQ，BM＝CM，∴△BDM≌△CQM〔SAS〕。∴BD＝CQ，∠MBD＝∠C。∴BD∥AC。又∵，∴。∴在中，，即。【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】〔1〕可以证明两个三角形中的两个角对应相等，那么两个三角形一定相似。〔2〕①由于∠ABC＝600，AB＝4厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒，从而应分两种情况和分别讨论。②分两种情况和，把AP和BP分别用的关系式表示，求出面积即可。〔3〕要探求三者之间的数量关系就要把放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MD＝MQ，连结BD、PD得到PQ＝PD，BD＝CQ，从而在中，，从而得证。27.〔2022年甘肃兰州12分〕如下图，在平面直角坐标系XOY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D〔4，〕.〔1〕求抛物线的表达式.〔2〕如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=PQ2().①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.〔3〕在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.【答案】解：〔1〕∵正方形的边长2，∴点A的坐标是〔0，﹣2〕，点B的坐标〔2，﹣2〕，把A〔0，﹣2〕，B〔2，﹣2〕，D〔4，〕代入得：，解得。∴抛物线的解析式为：。〔2〕①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，∴S=PQ2=PB2+BQ2，=〔2﹣2t〕2+t2，即S=5t2﹣8t+4〔0≤t≤1〕。〔3〕∵抛物线QUOTEy=16x2﹣13x﹣2∴由轴对称的性质，M′B=M′A。∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M。设直线BD的解析式为，把B、D的坐标代入得，，解得QUOTE&2k+b=﹣2&4k+b=﹣23。∴直线BD的解析式为。把=1代入得，。∴M的坐标为〔1，〕。28.〔2022年广西北海12分〕如图，抛物线：与轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行．当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒EQ\F(3,2)个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．〔3〕解：〔Ⅰ〕当时，△AMP∽△AOC，∴，。∴∵当时，S随的增加而增加，∴当时，S的最大值为8。〔Ⅱ〕当时，作PF⊥y轴于F，有△COB∽△CFP，又CO＝OB，∴FP＝FC＝，∴∴当时，S的最大值为。综上所述，S的最大值为。29.〔2022年广西梧州12分〕如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．〔1〕求CD的长；〔2〕假设点P以1cm/s速度运动，点Q以2eq\r(,2)cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S〔cm2〕，点P、Q运动的时间为t〔s〕，求S与t的函数关系式，并写出t〔3〕假设点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为cm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出的取值范围．【答案】解：〔1〕过D点作DH⊥BC，垂足为点H，那么有DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝6cm。∴CH＝BC－BH＝14－6＝8cm。在Rt△DCH中，CD＝eq\r(,DH2+CH2)＝8eq\r(,2)cm．〔2〕当点P、Q运动的时间为t〔s〕，那么PC＝t。①当Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，〔3〕要使运动过程中出现PQ∥DC，的取值范围是≥1＋eq\f(4,3)eq\r(,2)。30.〔2022年吉林省10分〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q分别从点A,B同时出发，运动速度均为1cm/s,动点P沿A--B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，PAQ的面积为ycm2，〔这里规定：线段是面积为0的三角形)解答以下问题：(1)当x=2s时，y=_____cm2;当=s时，y=_______cm2

(2〕当5≤x≤14时，求y与之间的函数关系式。(3〕当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时的值。〔4〕直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．【答案】解：〔1〕2，9。〔2〕分三种情况：①当5≤≤9时〔如图〕，y=S梯形ABCQ–S△ABP–S△PCQ。②当9＜≤13时〔如图〕，③当13＜≤14时〔如图〕，〔3〕当动点P在线段BC上运动时，

∵，∴，即²－14+49=0。解得1=2=7。∴当=7时，。〔4〕。31.〔2022年黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西10分〕直线与轴、轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与轴交于点C．〔1〕试确定直线BC的解析式．〔2〕假设动点P从A点出发沿AC向点C运动〔不与A、C重合〕，同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动〔不与C、A重合〕，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．〔3〕在〔2〕的条件下，当△APQ的面积最大时，轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？假设存在，请直接写出N点的坐标；假设不存在，请说明理由．∵BO=4，CB=8，CQ=2t，∴。∴QH=t。又∵AP=t，∴S△APQ=AP•QH=t•t=t2﹙0＜t≤4﹚。当P点在OC之间运动时，4＜t＜8，Q点在BA之间运动。同理可得，BO=4，AB=8，AQ=16－2t，∴QH=8－t，AP=t。∴S△APQ=AP•QH=t•﹙8－t﹚=﹙4＜t＜8﹚。综上所述，S=。〔3〕存在。N点的坐标为〔4，0〕，〔－4，8〕〔－4，－8〕〔－4，〕。32.〔2022年湖北恩施12分〕如图，在平面直角坐标系中，直线AC：QUOTEy=43x+8与轴交于点A，与轴交于点C，抛物线过点A、点C，且与轴的另一交点为B〔0，0〕，其中0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．〔1〕求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；〔2〕假设△PAC周长的最小值为QUOTE10+241，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；〔3〕如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动〔M不与端点C、O重合〕，过点M作MH∥CB交轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；〔4〕在〔3〕的条件下，当S=QUOTES=7532时，过M作轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．〔备用图图3〕【答案】解：〔1〕在中，令=0得，=-6,即(－6，0)如图，连接CB与直线交于点为所作。〔2〕由〔1〕知，△的周长最小，〔3〕如图，连接CH,由题设得，又由△OBC∽三△CMN，得，得，∴∙=-，0<<4。∴当t=2时，面积的最大值为10。〔4〕当时，过E、F、C三点的圆与直线CN能相切于点C.此时圆心坐标为。证明如下：如图3①，由〔3〕知-，解得或。①当时，如图，M的坐标为。因此，得△ECF是直角三角形，故过E、F、C三点的圆的圆心是EF的中点，求得的坐标为。此时，，,,那么有。即⊥，过E、F、C三点的圆与直线CN相切于点C。综上可知，当时，过E、F、C三点的圆与直线CN相切于点C，圆心坐标为。33.〔2022年湖南郴州10分〕如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．〔1〕求证：△PQE∽△PMF；〔2〕当点P、Q运动时，请猜测线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜测；〔3〕设BP=，△PEM的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来．34.(2022年湖南湘西20分)如图.抛物线与轴相交于点A和点B,与轴交于点C.(1)求点A、点B和点C的坐标.(2)求直线AC的解析式.(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且S△MAB=6求点M的坐标.(4)假设点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少?(4)由题意，得AB=4，PB=4－t,AQ=2t，∵AO=3，CO=3，∴△ABC是等腰直角三角形。由AQ=2t和Q点在上，得Q点的纵坐标为t。 ∴S=。又∵S=∴当t=2时△APQ最大，最大面积是2。35.〔2022年新疆乌鲁木齐12分〕如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B〔1〕①当t=秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数关系式；〔2〕在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；〔3〕以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。【答案】解：〔1〕①过点P作PD⊥BC于D。在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8∴由勾股定理，得AC=10由题意得：AP=2t，CP=10－2t。∵t=，∴AP=2×=5，QC=。∴此时，点P是AC的中点，∴PD=AB=3，∴S=×QC×PD=〔平方米〕。②过点P作PF⊥BC于点F，那么有△PCF∽△ACB。∴。∵AP=2t，∴PC=10－2t。又AB=6，AC=10，∴，即∴S=。【考点】动点问题，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两圆相切的条件，解一元二次方程。【分析】〔1〕①由勾股定理求得AC，求出AP，得点P为AC中点，过点P作PD⊥BC，由三角形中位线定理求出PD，即可求出当t=秒时，△CPQ的面积。②过点P作PF⊥BC，由相似三角形的判定和性质，即可求出△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数关系式。〔2〕根据PC=QC，PQ=QC，PQ=PC三种情况分别求出。〔3〕根据两圆相切的条件，两圆外切时，两圆圆心距离等于两圆半径之和；两圆内切时，两圆圆心距离等于两圆半径之差。分外切，内切两种情况讨论。36.〔2022年辽宁本溪14分〕如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A〔10，0〕和点B〔2，2〕，在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE〔正方形QCDE随点Q运动〕．〔1〕求这条抛物线的函数表达式；〔2〕设正方形QCDE的面积为S，P点坐标〔m，0〕求S与m之间的函数关系式；〔3〕过点P作轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH〔正方形PFGH随点P运动〕，当点P运动到点〔2，0〕时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．①那么此时两个正方形中在直线AB下方的阴影局部面积的和是多少？②假设点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．37.〔2022年云南昆明12分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．〔1〕求AC、BC的长；〔2〕设点P的运动时间为x〔秒〕，△PBQ的面积为y〔cm2〕，当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；〔4〕当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，假设存在，求出最小周长，假设不存在，请说明理由．∴y与x的函数关系式为：y=QUOTE&﹣45x2+8x（38.〔2022年山东济南9分〕如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线经过点A、C，与AB交于点