2018年北京市海淀区高三年级第一学期期中数学理试题带答案201711

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2017.11第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则 （）（A） （B） （C） （D）（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （）（A） （B） （C） （D）（3）已知向量，，则 （）（A） （B） （C） （D）（4）已知数列满足，则 （）（A） （B） （C） （D）（5）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）（A） （B）（C） （D）（6）设，则“是第一象限角”是“”的 （）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）设（），则下列说法不正确的是 （）（A）为上偶函数 （B）为的一个周期（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减（8）已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为 （）（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）定积分的值等于．（10）设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．（11）能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为．（12）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则①；②若，则．（13）已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则，．（14）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．①；②若的值域是，则的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．（16）（本小题13分）已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．（17）（本小题13分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）（18）（本小题13分）如图，在四边形中，，且为正三角形.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求和的长.（19）（本小题14分）已知函数（），（）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）（20）（本小题14分）若数列：，，…，（）中（）且对任意的恒成立，则称数列为“数列”．（Ⅰ）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；（Ⅱ）若“数列”：，，…，中，，，求的最大值；（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，…，，记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2017.11数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项CADDBCDA二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9． 010．8111．212．（1） （2）13．，14．（1） （2）三、解答题:本大题共4小题，共44分.15．（本题13分）解：（Ⅰ）因为……1分……2分……3分（Ⅱ）……4分……8分（一个公式2分） ……10分 因为， 所以……11分 所以故 当即时，有最大值当即时，有最小值……13分（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）16．（本题13分）解：（Ⅰ）设数列的公比为，则 ……2分解得， ……3分 所以， ……5分 令，则 ……7分 ……9分（Ⅱ） …13分（分组求和，每组求对给2分）17．（本题13分）解：（Ⅰ）当时，，，………………1分此时，，，……2分故曲线在点处的切线方程为．……3分（Ⅱ）的定义域为……4分 ……5分令得，或 ……6分当时，对任意的，，在上单调递增…………7分 ……8分②当时0↘极小↗……10分 ……11分当时，对任意的，，在上单调递减…………12分 ……13分由①、②、③可知，18．（本题13分）解：（Ⅰ）因为， 所以 ……2分（没写角取值范围的扣1分）所以……4分 ……6分 （Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得…10分（每个公式给2分）代入得 解得或（舍）即， ……13分19．（本题14分）解：（Ⅰ）因为……2分 令，得 因为，所以……3分当变化时，，的变化情况如下：极大值……5分故的单调递增区间为，的单调递减区间为 ……6分（Ⅱ）证明：（），……7分设，则故在是单调递增函数， ……8分又，故方程只有唯一实根 ……10分当变化时，，的变化情况如下：1极小值……12分故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点.（Ⅲ） ……14分20．（本题14分）解：（Ⅰ），或 ……3分

（Ⅱ）的最大值为，理由如下 ……4分一方面，注意到：对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立． （★）当，时，注意到，得（） 此时即，解得：，故………………7分 另一方面，取（），则对任意的，，故数