高考讲坛2极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，且函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，而往往SKIPIF1<0.如下图所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】不含参数的问题.例1.（2010天津理）已知函数SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0【解析】法一：SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,如图所示.由SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立.由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0法二：欲证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，由法一知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故只需证SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，故也即证SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则等价于证明SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立.由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即已证明SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，故原不等式SKIPIF1<0亦成立.法三：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0…，不妨设SKIPIF1<0，由法一知，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入式，得SKIPIF1<0，反解出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故要证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，等价于证明：SKIPIF1<0…，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0也在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即证式成立，也即原不等式SKIPIF1<0成立.法四：由法三中式，两边同时取以SKIPIF1<0为底的对数，得SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则欲证：SKIPIF1<0，等价于证明：SKIPIF1<0…，构造SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由洛比塔法则知：SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证式成立，也即原不等式SKIPIF1<0成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.含参数的问题.例2.已知函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】思路1：函数SKIPIF1<0的两个零点，等价于方程SKIPIF1<0的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数SKIPIF1<0这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只要证明SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此只要证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再次换元令SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0构造新函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求导SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，因此原不等式SKIPIF1<0获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元SKIPIF1<0的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例3.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，试证明：SKIPIF1<0【解析】法一：消参转化成无参数问题：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，也是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，此问题等价转化成为例1，下略.法二：利用参数SKIPIF1<0作为媒介，换元后构造新函数：不妨设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，欲证明SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴即证SKIPIF1<0，∴原命题等价于证明SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，反解出：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，转化成法二，下同，略.例4.设函数SKIPIF1<0，其图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0.【解析】由SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：∵SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的递增函数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.容易想到，但却是错解的过程：欲证：SKIPIF1<0，即要证：SKIPIF1<0，亦要证SKIPIF1<0，也即证：SKIPIF1<0，很自然会想到：对SKIPIF1<0两式相乘得：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0.考虑用基本不等式SKIPIF1<0，也即只要证：SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0.当取SKIPIF1<0将得到SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.而二元一次不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0不恒成立，故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数SKIPIF1<0满足如下条件：函数在闭区间SKIPIF1<0上连续；函数在开区间SKIPIF1<0内可导，则在SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，因此SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，……由于SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，与已知SKIPIF1<0不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5.（11年，辽宁理）已知函数SKIPIF1<0（I）讨论SKIPIF1<0的单调性；（II）设SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（III）若函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（I）易得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.（II）法一：构造函数SKIPIF1<0，利用函数单调性证明，方法上同，略；法二：构造以SKIPIF1<0为主元的函数，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（III）由（I）知，只有当SKIPIF1<0时，且SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0才会有两个零点，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由（II）得：SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，由（I）知，SKIPIF1<0.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.只证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.不失一般性，可设SKIPIF1<0.证明如下：（I）先证：SKIPIF1<0……不等式SKIPIF1<0构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，从而不等式成立；（II）再证：SKIPIF1<0……不等式SKIPIF1<0构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对SKIPIF1<0，都有对数平均不等式SKIPIF1<0成立，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决例1.（2010天津理）已知函数SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0【解析】法五：由前述方法四，可得SKIPIF1<0，利用对数平均不等式得：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，秒证.说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.例4.设函数SKIPIF1<0，其图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0.【解析】法三：由前述方法可得：SKIPIF1<0，等式两边取以SKIPIF1<0为底的对数，得SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，由对数平均不等式知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故要证SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0显然成立，故原问题得证.例5.（11年，辽宁理）已知函数SKIPIF1<0（I）讨论SKIPIF1<0的单调性；（II）设SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（III）若函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（I）（II）略，（III）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故要证SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.【挑战今年高考压轴题】（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0.【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.要使函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则必须SKIPIF1<0.法一：构造部分对称函数不妨设SKIPIF1<0，由单调性知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故要证：SKIPIF1<0，等价于证明：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：SKIPIF1<0，不难发现SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可整理得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增．设SKIPIF1<0，构造代数式：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调递增，有SKIPIF1<0．因此，对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不可能在SKIPIF1<0的同一个单调区间上，不妨设SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则有SKIPIF