2014成人高考专升本高数二经管类冲刺真题讲义2

2014成人高考专升本《高数二》经管类冲刺真题训练讲义2(微积分部分基本题型)说明：我们根据十多年来专升本考试内容及实体的分析与研究，按考试中出现的知识点及题型进行分类归纳，可以使大家一目了然地看出：哪些知识是必考的，考试题型是什么，此题型在十几年的试卷中考到的概率是多少。备注【11-3】表示2011年试卷笫3题。题目后的【B】代表答案。笫二章一元函数微分学常考知识点一、导数与微分（1）导数的概念及几何意义，用定义域求函数在一点处的导数值。（2）曲线上一点的切线和法线方程。（3）导数的四则运算及复合函数的求导。（4）隐函数的求导及对数求导法。（5）高阶导数的求法。（6）微分法则。二、洛必达法则及导数的应用(1)用洛必达法则求各类不定式的极限。（2）用导数求函数的单调区间。（3）函数的极值最值。（4）曲线的凹凸性，拐点及曲线的水平渐近线与铅直渐近线。（5）证明不等式。三、试卷内容比例本章内容约占试卷总分的30%共计45分。真题训练及常用解题方法与技巧一.求导数、微分与二阶导数1.基本求导表重点记住【11-3.】设函数,则A.B.C.D.[]【答案、B】【10-2.】设函数,则A.B.C.D.[]【答案、C】【09-2.】设,则A.B.C.D.【答案B】【08-22.】设函数,求.【答案.】【08-3.】设函数,则A.B.C.D.[]【答案A】【07-3.】设函数,则A.B.C.D.[]【答案】【06-3】巳知,则A.B.C.D.[]【答案D】【05-2】设,则等于A.B.C.D.【答案.A】04-9.设函数,则=____________.【04-9.】03-9.设函数,则=____________.【03-9.】00-8.设函数,则=______________.【00-8.】2.乘除求导法则：11-22.设函数,求.【11-22.】09-3.设函数,则A.B.C.D.【09-3、C】08-13.设函数则.【08-13.】07-13.设函数则【07-13.】04-19.设函数,求.【04-19.】03-10.设函数,则=____________.【03-10.】02-10.设函数,则=_____________.【02-10.】02-3.设函数可导,若,则等于A.B.C.D.[]【02-3.A】01-22.设函数,求.【01-22.】00-18.设函数,求.【00-18.】3.复合函数求导法则（简单型）(由外到里逐层处理)10-3.设函数,则A.B.C.D.[]【10-3、B】06-2.设函数,则A.B.C.D.[]【06-2.B】05-3.设,则等于A.B.C.D.[]【05-3.】04-18.设函数,求.【04-18.】02-10.设函数,则=_____________.【02-10.】00-10.设函数,则=________________________.【00-10.】00-2.下列函数中,在点处导数等于零的是A.B.C.D.[]【00-2.B】样题-12.设函数,则=____________.【样题-12.】样题-23.设函数，其中可导，求.【样题-23.】(与复合函数记号有关的题型)要点：巳知，怎样求出？（见01-9）命名法：令，解出，原式为，把更名为，得，04-20.设函数,求.【04-20.】02-23.设函数,且,求.【02-23.因为,所以,则】02-11.设函数,则=___________.【02-11.】01-9.设函数,则=________________.【01-9.】样题-13.设函数,则=____________.【样题-13.】4.复合函数与四则运算混合型(由外到里逐层处理)07-22.设函数,求【07-22.】03-18.设函数,求.【03-18.】02-17.设函数,求.【02-17.】5.二阶导数(连续求二次导数)11-14.设函数，则.【11-14.】10-15.设函数则.【10-15.】09-15.函数则.【09-15.】08-14.设函数则.【08-14.】07-14.设函数则.【07-14.】06-15.设函数则.【06-15.】05-14.设函数则.【05-14.】04-21.设函数,求.【04-21.】03-11.设函数,则的50阶导数=___________.【03-11.】02-12.设函数,则=___________.【02-12.2】01-8.设函数,则=_____________________.【01-8.】00-20.若,求.98-10.设(其中,则=______________.【98-10.】【00-20.，】样题-15.设函数的阶导数,则【样题-15.】6.变限积分求导（参见第三章相应条款）7.微分计算(先求导,然后乘上：)11-5.设函数,则[]A.B.C.D.【11-5、C】10-22.设函数,求.【10-22.则】09-22.设函数,求.【09-22.则】08-5.设函数,则[]A.B.C.D.【08-5.D】07-5.设函数,则[]A.B.C.D.【07-5.C】06-22.设函数,求【06-22.,】05-22.设函数,求.【05-22.,.】03-19.设函数,求.【03-19.】01-7.设函数,则=____________.【01-7.】00-9.设函数,则=____________________.【00-9.，也可写成.注意】8.**幂指函数求导（对数求导法或e-ln法）**01-23.设函数,求.【01-23.笫2项那个导数属幂指函数求导问题，采用对数求导法，先记,两边取对数，然后对求导，得即，代回（*）式，得.】二.隐函数求导数与微分(做法分两步：（1）原式两边对求导，注意把视为的抽象函数；（2）解出)注：一元隐函数求导数与微分的题目在2000-2011年中皆没有出现，这里只找了94-99年的3个题目作参考.学员务必把精力集中到第四章二元隐函数求偏导数和全微分上，因为连续多年都有一个这样的大题目。99-19.设函数由方程所确定,试求.【99-19.解法1，原式两边对变量求导，并注意到是的函数:，得到,解法2,记，】98-20.设函数由方程确定,试求.【98-20.,关于求导,，解出.另一解法:令,,】94-20.求由方程所确定的隐函数的微分.【94-20.】三.导数应用1.斜率与切线(记住公式：（1）斜率；（2）点斜式直线方程；（3）法线斜率与切线斜率是负倒数关系。)11-13.曲线在点处的切线方程为.【11-13.】11-2.已知函数的导函数,则曲线在处切线的斜率是A.B.C.D.[]【11-2、C】10-16.设曲线在处的切线斜率为2,则.【10-16.】09-14.已知在处的切线平行于直线，则.【09-14.】06-16.曲线在点处的切线方程为【06-16.】05-15.曲线在点处的切线斜率___________.【05-15.】04-10.曲线在点处的切线的斜率为____________.【04-10.】03-26.己知曲线为,直线为.(2)求曲线的平行于直线的切线方程.【03-26.(1)由,得,故所求面积为(2)设曲线上的切点为,因为的斜率,所以得,故切点为,切线方程为即】03-20.求曲线在点处的法线方程.【03-20.由求得，所以切线斜率，法线斜率，所以法线方程为】2.单调与极值(主要用到一阶导数，由其正负号确定单调性,又通过求一阶导数为零的那些点(称为驻点)寻找极值点)要点：核心是找一阶导数为零的那些点(称为驻点)（1）怎样找单调区间？利用上述驻点把定义域分成多个区间，然后在每个区间中由一阶导数正负号确定单调性。（2）怎样找极值与极值点？在上述驻点（或导数不存在的点）中寻找极值点，有二种检验方法，详见教科书。11-15.函数的单调增加区间是.【11-15.】11-4.已知函数在区间单调增加，则使成立的的取值范围是A.B.C.D.[]【11-4、A】10-4.下列函数在区间内单调减少的是A.B.C.D.[]【10-4、D】09-4.函数在上连续，且在内则下列不等式成立的是A.B.C.D.[]【09-4．因为，单调递增,这样由得到，故选B】08-28.设函数在处取得极大值.（1）求常数和.（2）求函数的极小值.【08-28.(1).根椐题意解得(2)】08-4.巳知在区间内为单调减函数，且，则的取值范围是A.B.C.D.[]【08-4.B】07-15.函数的单调增加区间是___________.【07-15.(注：写成也对)】07-4.设函数在处连续，当时，；当时，，则A.是极小值B.是极大值C.不是极值D.既是极大值又是极小值[]【07-4.A】06-26.求函数的单调区间与极值.【06-26.函数的定义域为，,令,得驻点;列表函数的单调增区间为函数的单调减区间为;为极大值，为极小值；注：如果将写成写成,写成也对。】06-14.函数的极值点为.【06-14.】06-4.下列函数在内单调增A.B.C.D.[]【06-4.A】05-26.求函数的单调区间和极值.【05-26.列表】05-13.函数的驻点为.【05-13.找一阶导数为零的点，得驻点为】04-26.求函数的单调区间和极值.【04-26.】04-5.函数在点处的二阶导数存在且，则下列结论正确的是A.不是函数的驻点B.不是函数的极值点C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点[]【04-5.C】01-10.设函数,则其单调递增区间为________________.【01-10.】样题-3.函数在点处的二阶导数存在且，则下列结论正确的是A.是函数的极小值点B.是函数的极大值点C.不是函数的驻点D.不是函数的极值点[]【04-5.A】3.凹凸与拐点(主要用到二阶导数，由其正负号确定凹凸性,又通过求二阶导数为零的那些点找寻拐点)要点：核心是找二阶导数为零的那些点(称为嫌疑拐点)（1）由二阶导数正负号确定凹凸性；（2）通过求二阶导数为零的那些点(嫌疑拐点)找寻拐点，注意拐点答案中必须同时写出横坐标与纵坐标，10-14.曲线的拐点坐标为【10-14.】09-16.曲线的拐点坐标.【09-16.】08-15.曲线的拐点坐标.【08-15.】05-4.曲线的拐点坐标是A.B.C.D.[]【05-4.B】03-21.求曲线的拐点.【03-21.函数的定义域为，.令，得.列表-所以曲线的拐点坐标为】样题-14.曲线的拐点坐标是___________.【样题-14.】单调极值，凹凸拐点综合题11-26.求函数的单调区间、极值和曲线的凹凸区间.【11-26.函数的定义域为，，令，得。，得。函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，曲线的凸区间为，曲线的凹区间为】09-26.求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.【09-26.的定义域，,令,得，令,得所以函数的单调减少区间为;单调增加区间为,为极小值,函数的凹区间为;凸区间为,拐点坐标为】02-26.求函数的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.【02-26.函数的定义域为.令,得.令,得,列表得()12+0--0+--0++所以，单调递增区间为;单调递减区间为(0,2);极大值为;极小值为.曲线的凹区间为;凸区间为;拐点为(1，-3)】样题-4.设函数在区间内满足且，则函数在此区间内()A.是单调减少且凹的;B.是单调减少且凸的;C.是单调增加且凹的;D.是单调增加且凸的.【样题-4.D】样题-26.求函数的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点、水平和铅直渐近线.【样题-26.函数的定义城为..令,得;令,得,列表得所以函数的单调增加区间为,函数的单调减少区间为,为函数的极大值.函数曲线的凸区间为,函数曲线的凹区间为,函数曲线的拐点为.因为,所以为曲线的水平渐近线,为曲线的铅直渐近线.】4.最大值与最小值,应用题11-27.在抛物线与轴所围成的平面区域内，作一内接矩形，其一条边在轴上（如图所示).设长为,矩形面积为.(1)写出的表达式;(2)求的最大值.【11-27(1）.(2).令，解得(舍去)。,,则为极大值,由于驻点唯一,且实际问题有最大值,所以为最大值】10-26.在半径为R的半圆内作一个内接矩形,其中的一边在直径上,另外两个顶点在圆周上(如图所示).当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大?最大值是多少?【10-26.如图,设轴通过半圆的直径,轴垂直且平分直径.设,则，矩形面积.令,得(舍去负值).由于只有唯一驻点,根据实际问题,必为所求.则，所以,当矩形的长为,宽为时矩形面积最大,且最大值】08-26.设抛物线与轴的交点为、，在它们所围成的平面区域内，以线段为下底作内接等腰梯形（如图所示）.设梯形上底长为，面积为.（1）写出的表达式；（2）求的最大值.【08-26..】07-26.上半部为等边三角形下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为12米，为使窗户的面积达到最大，矩形的宽应为多少米？.【07-26.依题意由(1)得，代入(2)得令，得由所给问题的实际意义知（米）即为所求。】01-28.将边长为的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分),然后将其沿虚线折起,做成一个无盖的正三棱柱盒子,当图中的取何值时,该盒子的容积最大？【01-28.由于边长为的等边三角形面积为,于是三棱柱体体积为,其中,驻点为(舍).为极大点,又因唯一,故为最大值点.答:当时容积最大,为.】00-19.求函数在区间上的最大值与最小值.【00-19.,驻点边界点..答:最小值,最大值】5.用导数求极限(洛必达法则)(见第一章相应条款)(对于,型,直接用洛必达公式,对于型,设法化为,型)6．不等式证明（利用单调性方法）10-27.证明:当时,.【10-27.设，则当时,.则单调上升,所以,当时,，即，得.】03-28.证明当时,【03-28.令.当时,所以,当时均单调递增.因为,所以,当时,，即.综上可知】00-26.证明().【00-26.记在严格单调增加.这样,时成立,即】四.涉及导数定义与性质的题型(导数=增量之比的极限,注意自变量增量与增量中的自变量增量必须匹配,)08-2.巳知在处可导，且,则A.B.