2021考研数学三历年真题及详解

2021考研数学三历年真题及详解10550只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。2.函数，在x＝0处（）。A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。因为即故选D项。3.设函数2b/aA．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。即2个零点，则－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。4.设函数则df（1，1）＝（A．dx＋dyB．dx－dyC．dy）。D．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。5.二次型）。性指数和负惯性指数依次为（A．2，0B．1，1C．2，1D．1，2【答案】B【考点】二次型的特征值；【解析】f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2x3＋2x3x1所以故特征多项式为令上式等于1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。6.设→→→→的通解x＝（，k表示任意常数，则线性方程组Bx＝β→）。A．α→2＋α→3＋α→4＋kα→12B．α→1＋α→3＋α→4＋kα→C．α→1＋α→2＋α→4＋kα→34D．α→1＋α→2＋α→3＋kα→【答案】D【考点】线性方程组的通解；【解析】因为→→→→α→→→→是一组标准正交向量组，则r（B）＝3，又所以齐次线性方程组Bx＝0的通解是kα4。而→故线性方程组Bx＝β→的通解x＝α→1＋α→2＋α→3＋kα4，其中k为任意常数。→7.已知矩阵，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，）。使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（A．B．C．D．【答案】C【考点】对角矩阵的求解；【解析】由增广矩阵得则又故选C项。8.设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（）。A．若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜B．若P（A｜B）＞P（A），则P（A｜B）＝P（B），则P（A｜B）＞P（A）A｜A∪B），则P（A）＞P（B）————C．若P（A｜B）＞P（A｜—D．若P（A｜A∪B）＞P（—【答案】D【考点】条件概率公式；【解析】由条件概率公式以及和事件的运算公式得因为P（A|A∪B）＞P|A∪B），故有P（A）＞P（B）－P（AB），故选D项。（A—9.设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）是来自总体N（μ1，μ2，σ12，σ22，ρ）的简单随机样本，令，则（）。A．θ^是θ的无偏估计，不是θ的无偏估计，是θ的无偏估计，不是θ的无偏估计，B．θ^C．θ^D．θ^【答案】C【考点】无偏估计；【解析】因为X，Y是二维正态分布，所以X—与Y—也服从二维正态分布，则X—－Y也服从二维正态分布，即—则θ是θ的无偏估计。^又由方差公式得故选C项。10.设总体X的概率分布/4，利用来自总体的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估计值为（）。A．1/4B．3/8C．1/2D．5/2【答案】A【考点】最大似然估计；【解析】由题知，似然函数为取对数求导得θ＝1/4，故选A项。二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上）1．若，则。【答案】【考点】函数的导数计算；【解析】求导得2．，则。。【答案】6【考点】定积分的计算；【解析】3．设平面区域D由曲线与xD绕x轴旋转所成旋转体的体积为。【答案】π/4【考点】定积分的简单应用；【解析】令则4．差分方程Δyt＝t的通解为。【答案】y＝t2/2－t/2＋C，C为任意常数【考点】差分方程的通解；【解析】设差分方程的通解为y＝y*＋y—，其中y＝C，y*＝t（at＋b），则Δyt＝（t＋1）—[a（t＋1）＋b]－t（at＋b）＝t，即2at＋a＋b＝t，解得a＝1/2，b＝－1/2，则通解为y＝y*＋y＝t2/2－t/2＋C，C为任意常数。—5．多项式中x3项的系数为。【答案】－5【考点】行列式的计算；【解析】所以展开式中含x3项的有－x3，－4x3，即x3项的系数为－5。6．甲乙两个盒子中各装有2个红球和2分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数。【答案】1/5【考点】二维离散随机变量的相关系数；【解析】X，Y的联合分布律为X的分布律为Y的分布律为根据协方差的定义式计算得Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝3/10－1/2×1/2＝1/20，又DX＝1/4，DY＝1/4，由计算得ρXY＝1/5。三、解答题（本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（本题满分10分）已知存在，求α的值。【答案】要想极限存在，则左右极限相等，即从而即【考点】极限存在的条件；2.（本题满分12分）求函数的极值。【答案】令即求得驻点（－1，0），（1/2，0）C＝1，AC－B2＝3＞0，A＞0，故f（x，y）在（－1，0）处取得极小值2；驻点（1/2，0）处，A＝24，B＝0，C＝4，AC－B2＝96＞0，A＞0，故f（x，y）在（1/2，0）处取得极小值1/2－2ln2。【考点】多元函数的极值；3.（本题满分12分）设有界区域D是x2＋y2＝1和直线y＝x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分。【答案】使用极坐标化简得令则【考点】二重积分的计算；4.（本题满分12分）设n为正整数，y＝yn（x）是微分方程xy′－（n＋1）y＝0满足条件的解。（1）求yn（x）。（2）求级数的收敛域及和函数。【答案】（1）微分方程化简得，解为，将。代入，有，所以（2）设的收敛域为[－1，1]又因为S（x）在[－1，1]上连续，所以所以【考点】齐次线性微分方程的解，级数的收敛域及和函数；5.（本题满分12分）设矩阵仅有2个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵。【答案】令则b分情况（1）当b＝3时，由A相似于对角矩阵可知，二重根λ1＝λ2＝3至少对应存在两个线性无关的特征向量，则由得a＝－1，此时λ1＝λ2＝3所对应特征向量为（2）当b＝1时，由A相似对角化可知，二重根λ1＝λ2＝1至少对应存在两个线性无关的特征向量，则由得a＝1，此时λ1＝λ2＝1所对应特征向量为λ3＝3所对应特征向量为【考点】相似对角化；6.（本题满分12分）在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长