新课标中的垂直关系的讲解

垂直关系的判定与性质一.教学目标1.理解空间中的三种垂直关系，掌握空间中三种垂直关系的判定和性质，用空间中三种垂直关系的定义、判定和性质解决垂直问题。2.通过本节课的复习培养学生解决空间中垂直问题的能力，培养学生对知识的归纳总结的能力。3．通过线线、线面、面面关系的转化，渗透化归转化的数学思想方法，通过对几何图形的研究，渗透了数形结合的思想方法。4.通过对几何图形的直观和空间想象，得到直线、平面的关系，发展学生数学直观想象的数学核心素养，通过直线、平面垂直关系的转化，发展学生逻辑推理的数学核心素养。二．教学重点难点重点：掌握并应用空间中三种垂直的判定和性质难点：空间中三种垂直关系的转化及综合应用三．教学过程（一）课前练习1.设𝑚,𝑛为两条不同的直线，𝛼,𝛽,𝛾是三个不同的平面，下列四个命题正确的是（C）A.若𝑙⊥𝑛,𝑚⊥𝑛，𝑚⊂𝛽,𝑙⊂𝛽,𝑛⊂𝛼,则𝛼⊥𝛽B.若𝛼⊥𝛽,𝛽⊥𝛾,则𝛼⊥𝛾C.若𝑙⊥𝛼,𝑙∥𝛽,则𝛼⊥𝛽D.若𝛼⊥𝛽,m⊂𝛼,则𝑚⊥𝛽2.已知𝑚,𝑙是平面𝛼外两条不同的直线，下列三个论断中：①𝑙⊥𝑚,②𝑚∥𝛼,③𝑙⊥𝛼②③⇒①或①③⇒②②③⇒①或①③⇒②方法总结：应用适当的空间模型设计意图：通过课前练习，让学生回顾线面、面面的判定、性质定理，准确把握线线，线面，面面垂直的概念与定理。（二）知识回顾1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α设计意图：熟练掌握直线与平面，平面与平面的判定和性质定理，为解决垂直问题做铺垫，培养学生知识归纳总结的能力。（三）例题讲解例1.(1)在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°SA=AB=BC=,AD=2𝒂.求证：CD⊥平面SAC

证：方法（一）∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴SA⊥CD∵取AD中点E，连接CE.∵∠DAB=∠ABC=90°，BC=𝒂,AD=2𝒂∴四边形ABCE为正方形∴CE=AB=DE=𝒂∴CD=2𝒂在△ACD中，AC=CD=2𝒂,AD=2𝒂QUOTE2∴𝑨𝑪2+𝑪𝑫2=𝑨𝑫2,即CD⊥ACAC⊂平面SAC,SA⊂平面SAC,SA⋂AC=ACD⊥平面SAC方法二：证:∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴SA⊥CD延长CD交AB于P点∵AD=2BC，BC∥AD∴B,C分别为AP,DP的中点，∵∠DAB=∠ABC=90°∴AC⊥DP,即AC⊥CDAC⊂平面SAC,SA⊂平面SAC,SA⋂AC=ACD⊥平面SAC方法总结：用判定定理证明直线与平面垂直判定1.在已知平面中着力寻找两条相交直线(可做辅助线)与已知直线垂直，将线面垂直转化为线线垂直。判定线线垂直线面QUOTE⟹线面垂直2.证明线线垂直可根据题中所给条件应用勾股定理逆定理，等腰三角形底边中线，直径所对圆周角等理论得出。也可根据线面垂直的定义，先证一条直线垂直一个平面，再证另一条直线在这个平面上。例1.(2)如图，已知AB是圆o的直径，C是圆周上不同于AB的点，PA垂直于圆o所在平面，AE⊥PB交于点E，AF⊥PC交于点F.求证：平面AEF⊥平面PAB证：由题可知，PB⊥AE,∵在圆o中AB为直径，∴AC⊥BC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC,∵PA⋂𝐴𝐶=A,PA⊂平面PAC,𝐴𝐶⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC，∵AF⊂平面APC∴BC⊥AF∵AF⊥PC,PC⊂平面PCB,𝐵𝐶⊂平面PCB,PC⋂BC=C∴AF⊥平面PBC,PB⊂平面PBC,∴AF⊥PB,∵AF⊂平面AEF,𝐴𝐸⊂平面AEF,AF⋂AE=A∴PB⊥平面AEF,PB⊂平面PAB∴平面AEF⊥平面PAB方法总结：利用面面垂直的判定定理证明面面垂直判定判定1.根据题目中的已知条件，选择寻找哪个平面的一条直线作为垂线判定判定线线垂直线面垂直面面垂直2.证明线面垂直3.根据面面垂直的判定定理证明四、小结与课堂练习1.课堂小结：面面垂直的判定面面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的定义面面垂直的性质线线垂直线面垂直线面垂直的定义面面垂直的性质(2)数学思想方法数形结合的数学思想方法化归转化的数学思想方法2.课堂练习在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，E为CD的中点。

(1)求证：BD⊥平面PAC

(2)若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE(1)求证：BD⊥平面PAC

证：（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥CD

∵底面ABCD为菱形

∴AC⊥BD

∵AC∩𝐏𝐀=A,

AC,PA⊂平面PAC

∴BD⊥平面PAC