直角三角形的性质

直角三角形的性质初中数学骨干教师工作坊C1906第七组谢桃平1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明；2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．一、情景导入感受新知问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为__38°__．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有__∠A，∠BCD__，与∠A相等的角有__∠BCD__，与∠B相等的角有__∠DCA__．(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？解：斜边的长为10.二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P102－103的内容，探究下列问题：问题1：(1)画一个直角三角形；(2)量一量斜边AB的长度；(3)找到斜边的中点，用字母D表示；(4)画出斜边上的中线；(5)量一量斜边上的中线的长度．猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有什么关系？经过画图和测量，我们知道：斜边上的中线等于斜边的一半．【合作探究】问题2：请试用演绎推理证明你的猜想已知，如图在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝eq\f(1,2)AB.证明：延长CD到点E，使DE＝CD，连结AE，BE.∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DB.又∵CD＝DE.∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(1,2)AB.结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【师生活动】①明了学情：关注学生对直角三角形的性质的理解与掌握情况．②差异指导：对学生在探究中产生的困惑及时引导，点拨．③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析运用新知【合作探究】【例】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝eq\f(1,2)AB.证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝eq\f(1,2)AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形．∴BC＝BD＝eq\f(1,2)AB.结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【变式迁移】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AB交AB于E，交BC于F.求证：BF＝eq\f(1,2)FC.证明：连结AF.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF.∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠FAC＝120°－∠BAF＝90°，在Rt△AFC中，∠C＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)CF，∴BF＝eq\f(1,2)FC.四、课堂小结回顾新知通过本节课的学习，你对直角三角形又有了哪些新的认识？你对本节课的知识还存在哪些疑惑？请谈一谈你的想法和同学们一起分享．五、检测反馈落实新知1．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角等于(A)A．75°或15°B．30°或150°C．75°D．30°2．已知△ABC中，∠A＋∠B＝∠C.若∠A是∠B的3倍，则∠B＝°__．3．如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC边上的中线BD的长为.,(第3题图)),(第4题图))4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，CD⊥AB于D，则CD＝．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．证明：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠DEA＝∠C，∵AD平分∠CAB