第五章线性时不变系统变换分析

cynP5.1-2所示的序列，即c

0n其

HejHej11Hej11.所以hnsincnnynxnhn

xkhnk

sincnk kxkcsincnk

xk

nkk

cnkynncsincnknkxk

cnk

k xkc

0kc

为某理想低通滤波器的冲击响应，该滤波器带内增益为1，截止频率为4P5.2示出五个系统,LTI+-lp器.对P5.2中每一个系统画出其等效频率响应,并用c标注出通带边+-lplp

lplp

nh nlpd

lp图（a）YejXejXejHlpejH

jj1

H

j

1010c14 14

10c3H10c3H

jYejjj

H

j

4由图可直HejFh ji j

H

Hlpe

Hlp

2He

j2

2

112

2 Hlp

1H1H

2

2Hej

jw121

2

1c21cH

H

2Hej

Hej

ej2

11 xn先进行增采样时频率响

Hej

8

12 12再经过

n后

ejHej

ej

8 2 2

j 828

)H

H

811 在图P5.3-1所示的系统中，假定输入x[n可以表示x[n]s[n]0X(ej就是在0

时，S(ej)0，H(H(ej P5.3- H(ej)1，(如P5.3-2y[ns[n]cos(n (0

H(ej)1

P5.3-图P5.3-3

y[n]s[nnd]cos[0(nnd)0y[ns[nnd]cos[0n1(j

0

P5.3-

()

arg[H(ej而相位延迟的定义为

(()H(ejx[n1 和（b）x[n为窄带的假设下，证明：如果gr()、ph()都是整y[n]s[ngr(0)]cos[0(nx[n而言，(x[ns[n给予的延迟是gr(0)，对载波cos0n的延迟是ph(0)。（d）参照第三章序列非整数延迟的讨论，如何解释gr(0和/或者ph(0不是整数时群

证：H(ej)1H(ej)exp[jsgn()又X(ej1[S(ej(0S(ej(02Y(ej)X(ej)H(ej1[S(ej(0))exp(

)S(ej(0))exp(j0y[n]s[n]cos(0n00H(ej)exp[j(nd0exp[j(nd0Y(ej)X(ej)H(ej1{S(ej(0))exp[j(n

)]S(ej(0))exp[j(n

y[ns[nnd]cos[0(nnd0]又0时，（）（nd00)y[n]s[nnd]cos[0n1]dd群延迟的定义为：gr()darg[H 相位延迟的定义为：ph(证明：x[n]是窄带信号，若gr()、ph()都是整数，则相位条()

gr(0)

(0)为整数0 gr(0)

)nd y[n]s[n

(n

)00s[ngr(0)]cos[0(nph(0若gr(0为非整数时，群延迟等效于带限内插后，新时刻点（对应分数延迟因子的ph(0)不为整数时，相当于cos0n产生了非整数的延迟设一个线性时不变系统的输入x[n]和输出y[n]满足一下二阶差分方y[n1]10y[n]y[n1]3zzz1Y(z10Y(zzY(z)X(z)3YHX

z1103

110z13

z

(11z1)(13z1)1

1/

9/8

1z3

13z11313因为h[nROC1z3311 h[n]Z1{H(z)}

3n1u[n]83 考虑一个线性时不变离散时间系统，其输入xn和输出yn满足下面的二阶差分方程13

yn2xn

133

un3n1un33n2un13

133

133

un1 un3

13zz1Yz1z2YzX3z11z2YzX3 3 HzYz z1 X

z11z3

311z3

1n当z 时3

hn

n1 3

u33

1n z

h3

n1 3

un33两种系统可能的冲激响应函数为（a）和

1n

n

xn

un

un

,其输出是 1n

3n

2yn un u2 4a求该系统的系统函数.画出Hz的零极点图 b求对所有n的系统冲击响应c写出表征该系统的差分方程d该系统稳定吗?因果吗Xz

112

112z1

1z2 112Y

6

13412z（a）Hz

X

2

13z4 4H

482z12 13z 16

103nhn n u 34YXz

212z131 4Yz13z1Xz212z1 34

3因为Hz的收敛域位于唯一z

4y[n]

3

)n

(1)4

ny[n]

3

)n

(1)4

ny[nzY(z)

113

114

1

zH(z)z

z1z1 3H

z3

1114

y[n]

y[n1]2（b）H(z)3 2

z1

3z3

4z4h[n]3[n]3

3

n111

4x[n]

u[n]

2zx[nz

32Y(z)

1z21z1)(12Y(z)可能的收敛域是什么（a）X(z)13

11z21ROCx2z21（b）H(z)Y(z)H(z)1z2X

ROChz0又由Y(z)X(zH(z)可知ROCy应该包括ROChROCx，且ROCy中不属于ROChROCxX(zH(z)1ROCy2z21h[n[n[n

1nhn2 u2其输入为xn，利用z变换求在下列输入时系统的响应yn 3nxn5 u4对每一种情况都标出Yz的收敛域2解：Hz

11z25

Xz

13z4YzXzHz

11z113z1

4 4 13z41

11z232

z4

3

1n y

304

2

u

Xz

z

2zY XzH

4z

1z2

1z

11z2yn4nun4un

1

3nLTIx

5u

y

22

4

u a求系统函数Hz，画出Hz的零极点图，并标出收敛域b求对全部n值的系统冲击响c写出表征该系统的差分方程解:zXzYz

1z

z311z 13z4 4 （a）Hz

12X zz

1, 124 124

1z2

13z41n 7 3n

un u2 21

5 47 3n u 52 5 4

Y 1

1z1z11 11z13z2Yz1z48 48 差分方程yn1yn13yn 2z4又因为系统不稳定Hz的收敛域不包含z1,因此Hz的收敛域只能为2zH(z)6H(z)求系统的冲激响应x(t)[5010cos20t采样频率s2(40)rad双重零Z平01312H(zH(z)

(z

1)(z1 H(1)K36K4

（z0.5H(z)

(z

1)(z1) H(z z3

5k2

k2h[n][12(0.5)n8(1)n] X(z)zz1

zY(z)H(z)X(z)

(zkkkk

y[n]3u[n](1)n3x[n为s2(40)radsx(t)[5010cos20t1x[n][50101X(z)

z

1z

1z2H

j2)

2472y[n]3002y[ny[n1y[n2x[n1H(z)Y(zX(z)H(z)求系统的冲激响应h[n]Y(zz1Y(zz2Y(z)z1X(zY

z

zH(zX(z)1z1z

1i2

1i5 1 11i1i5

2

z1 ROC：z

，即：z 61i1i2 21

1

5

1

5nh[n]Z1{H(z)}

5

5

5

1设2

5rej0，其中r

6，

5

h[n]15

5rej0n

125rnsin

u[n]25rn

z

2h[n25rnsinnu[－n－1] 考虑一个输入xn和输出yn满yn12

ynyn1xnzz1Yz5YzzYzX2 HzYz X

z15 z2z12 2 z0z2z12z2 2Hz 2312z

11z1 2 1n

2n 2n2n3 2 312

z22 1

2nun1 3 2 32 1 2nun1 3 2 31z

22 1nhn

2n 3 23已知LTI系统的系统函Hz

2 2 b由上a求得的冲击响应可以分别表示成因果的和非因果的冲击响h1n和h2n之和，求相应的系统函数H1z和H2z。

Hz

11z112z 1z2

12z

1H

z 2 1

nhn u

282u2

2

28

un 因果冲激响应h1nH11

11z2

12非因果冲激响应hn484nun2H2z

14z

z x[nH(z2y[n如P5.15-1H(z)的零极点如P5.15-2所示22H(z)2G(z)G(z)求出并画出系统H(z)的冲激响应h[n]第二个系统如P5.15-12LTIG(z)r[n。问对于任意的输入而言，是否能选择一个G(z)而有y[nr[n，若没有，请说明为什么；若有，请给出G(zM明是怎样的关系（ 限为大于或等 的整数）在z0处为MM20

Z平 单位H(z

（a）H(z)K(z0.5)(z0.5)K(z21)zM h[n]K[n2M]K[nM4X(ej)

M1X[exp(ji

Mdjd

j(M=2

(ej)0.5{X

2)Xd(e 对于Z平面有Xd(z)0.5{X(z2X(z2 Xd(z)G(z)0.5{X(z2)H(z2)X(z2)H(z2MG(zK(z0.25z2为固定的表达式设一线性时不变系统的系统函数有如P5.16所示的零极点分布图，并且该系统是因果的。那么该系统的逆系统Hi(z)也是因果且稳定的吗？证明你的结论。提示：H(z)Hi(z)1单位Z平 H(z)H(zz1H(z H1(z)H1(zzH1(z H(z)H1(zz，即可得到h[nh[n1] 此时，若h[00，则必有h[10，此时系统hi[n考虑一个线性时不变系统，其系统函数HzHz

z。2 2 假设系统已知是稳定的，求当输入xn为阶跃序列时的输出ynHzzxnP5.17所示时，求n2yn假定想用一个冲激响应为hin的LTI系统来处理yn，以便从yn中恢复xn，问hinHz的收敛域有关吗？1

Hzz1,20z

z2121

zxnun，所以XzYzXzHz

1z1

81

252 81n 5 252 5 HzzHzzHz

z2 2 3z1

1

11 系统的冲激响应为hn2n23nun n0时，hn03 yn

hkxnkky2x2h0 YzXzHzHizX HzHizHizHz的逆系即hnhin要满足这个条件HzHiz的收敛域必须重

hinHz的收敛某一稳定的LTI系统的变换是纯实数且如图P5.18所示问该系统是否有一个稳HH图解:设逆系统频率响应为Hej HejHej00取0的任意小则limHej00,Hej0 iiHej0hnejw0nii

hin 序列y[n]是一个LTI系统在输入x[n]时的输出，x[n]为零均值的声，系统有下 y[n]aky[nk]bkx[nk

b0k k自相关函数yy[n]的z变换yy(z)y[n]以使y[n]的频谱“白化也就是说要找到一个系统，在输入为y[n]时，其输出的功率谱是平坦的。假设已知自相关函数yy[nz变换yy(z)，但是不知道系数ak和bk。Hw(z) y[n]aky[nk]bkx[nk]k kx而x[n]为零均值的声，设[n]2xyy

(z)

H(z1)2H(z)HxbxbkN其中H(z)k Nk1azkkk xw2H(z)H(z1)xw

(z)

(z1)K

xxHw(z)

(z)

H

(z)

HHw(z)其中a0

x[n]s[n]e8as[n求系统函数H(z)X(z)，并画出它的零极点分布图 S(z)设计一个LTIx[ns[nH(z)Y(z)y[ns[n X

求出所有可能的冲激响应h2[n

y[ns[n[n（P5.20-H(z)X(z)1e8a

a0 S

e8ai2k/8eaik4kd0，八阶极点。零极点分布如5.2081ROCz0

H1(z)

。1e8az112zea，其中ea1H(z22zea，同样ea1H(z222h[n]22

(zx[nX(zx[n

n

k且y[n]

y[nX(z8 Y(z)y[n]zny[8n]z8nx[n](z8nX(z8 设H'(z) ，则有

1e8az2h'[n]e8anu[n]，2

8a2hne8anu[n1z8a。2h'[n n kh[n2 ，，

h1[n]8(ea)h1[n]8

n k ， ，

h2[n]8(ea)nu[h2[n]8

n k

s[n[nx[n][ne8a[n8]2若通过h1[n]，则2y[n]eanu[n]e8aean8u[n8]ean

nu[n n8k，ky[n[ns[n

u[ 8 82若通过h2[n]2y[n]eanu[n1]e8aean8u[n81]eanu[n]u[n1]88 88 n8k，ky[n[ns[nP2521-1所示的线性滤波运算来模仿这个污损过程，这里污损冲激响应如图P5.21-2ynxn的办法。

nM1010n0M-n从yn恢复xn的一种办法是用逆滤波器，即yn用频率响Hej HejHejhn的变换。针对图P5.21-2所示冲激响应ynxn5.21-3ynnn中可n的复本。冲激响应1和2n如图5.21-4所示。请详nn。[提示：考虑从xnwn整个系统的冲激响应。

h2h2现在想把这一方法推广到任何有限长污损了的冲激响应hn上去，也即假

n0及nM再进一步假设h1n和图P5.21-4相同。H2zHz必须有怎样的关系才能工作得和(b)H2z能实现为一个因果系统，必须满足什05.22LTIh5.22LTIhnh

1n

1n uu是零，但一般对0n可以不是零。要想计算0n109yn，特别想要ynFIRIIR滤波器的效果。a求将输入xn和yn联系起来的IIR系统的线性常系数差分方1b求最短LTIFIR滤波器的冲击响应，其输出yn在0n109内与yn1c给出与上面b的FIR滤波器有关的线性常系数差分方程

所要求的算术 1n

1n解:（a）hn un

u2z

3 12

11325z 15z11z

25zY

X

15z11z

6

6

6M（b）y1nxnhnxkhnkMk对某一特定的MMk9M>109,对于ynxk

kxk

k1k

M109MMxkhn0kkn0M

它为9yn0xkhn0kk1M109时,对于y1091

k0n9（c）y1nxkhnkkk9FIR:y1nxkhnkk可知在0n109ynIIRFIRH(z和实冲激响应的LTI系统，H(zzej的取值如P5.23所示。2020lgH(ej55 说明从P5.23H(z零说明()是否线性 exp zexp(为H(z)的极点 j5zexp(j2),

exp(j2)为H(z)的零5H(z单位

5 555

Z平由于H(z)存在极点，冲激响应h[n]为无限冲激响应序列H(ej的相位(H(z)(1z1)(10.7jz1)(10.7jzH(ej 对于大的n频率响应幅度在近似4H(z)

10.6z12.35z20.9z1z10.49z20.49z

y[n]y[n1]0.49y[n2]0.49y[n3]x[n]0.6x[n1]2.35x[n2]0.9x[n(12z1)(10.5z1)(10.9zH(z(1z1)(1j0.7z1)(1j0.7z1)

1（ii）（i）（iva

Hz

1a1z，1az12(b)a12对于a

求系统冲激响应hna

Hz

1a1z1az

YX 1az1Yz1a1z1X

ynayn1xna1xn（b）Hzza1z z当0a1

a2

z12×a2a

Hz

1a1z1az

1a2a21az11az1a2

1az

hn1a2anuna2

1a1e1ae

a

jaej11ajaej1aeaej1ae

acos1jasinH a

1acosjasinaaZ平。单位a系统是稳定的

图b系统是因果的

d如果系统是稳定的那就一定有一个双边的冲击响应z变换，因子(zz0

0(zz0令H(z)z1，a为实数且0a1，画出系统的零极点图 在za的零极点。求系统的相位()令G(zH(zH(z极点的共轭倒数位置0和G(z)G(ej的相位()，并证明它与H(ej)的相位()相设h1[n]、h2[n…、hM[n]MNn0或n时，hk[n]0，其中1kM。这些序列的变换幅度相同，且序列之间不是MM z111z144Xz

11z6 6 问为何值时，nxn才是一个实的最小相位序列解：n

znxnnxnzn 44X1z z2

，z4

116z5z所以要使nxn是一个实的最小相位序列 1

,,5,6 a两个最小相位序列的卷积也是最小相位的解:（a）设x1nx2n为两个最小相位序XzX1zX2X1z,X2z所有零极点均在单位圆内，设其组成点集uu的子集。无论何种情况Xz的所有零极点均在单位圆内xn仍为最小相位序列

Xz中有零极X1zX2z

1110.8zXzX1zX2 10.1z

z10.8zz1.243zz0.1z12Xz10.9z Xz112一序列r[nr[n] m其中h[n]为最小相位序列，而r[n]如下r[n]4(1)nu[n]42nu[n3 R(z求该最小相位序列h[n]（可包括1的幅度因子并求其z变换H(z)。解：定义r[n]h[nh[n]h[n为最小相位序列（a）r[n]4(1)nu[n]42nu[n3 R(z)4 31

1Roc:0.5z(z0.5)(zZ012H(zH(z)K(zz

H(zH(z1)H(z)

zHz

z

1.e

z

并且都具有实的冲激响应，具有相同长度的冲激响应长度（总共有四种这样的系统函数。直接那个最小相系统，个是大位系统（包括某延迟。n对（b）中所得到的结果，分别计算并画出0n5nE[n]H1()(1.9

j

H2(z)(z10.9ej06)(z10.9ej06)(11.25ej08z1)(11.25ej08z1)H3(z)(10.9ej06z1)(10.9ej06z1)(z11.25ej08)(z11.25ej08) H(z)(z10.9ej06)(z10.9ej06)(z11.25ej08)(z11.25ej08 H3(z)H2(z（b）H(z)(1az1)(1a*z1)(1bz1)(1b*z1)z反变换通式，求解过程如H(z)(1az1)(1a*z1)(1bz1)(1b*z 2Re(b)a22Re(a)b2[n3]a2b2[nHi(zai和bih2[n]h3[n]hh4[n]证明最大相位序列是反因果的，即n0FIR最大相位序列可用包括某一有限量的延迟实现为因果的具有给定变换幅度的有限长因果最大相位序列可以用一个最小相位序列z变换的全部零点反射z变换表示为HmaxzHminzHapz z

k证明Hmaxz可表示 zzM z1 利用c的结果用mnn表示最大相位列maxn。解：a) 最大位序列一稳定列 ROC又在ROC内hnznz1z1

n0时hn

z的零点为zc

kMz1ck z

01

z1k

k

M1k

Mz1c zk M1k

z

kzM

z

0M1czzM

k

kk其零点为zc1，均在单位圆外，所以为最大相位序k zzM

H

mmz

nzH

zzM

MMz

MMk

nn k

kMzMM

Mkzk hmaxkhminMkHz的非最小相位线性时不变离散时间系统HczP5.34所示。HzHzHca应如何选择Hcz，使得Hcz本身是稳定和因果的，而且要使整个有效频率响

Hz总是可以表示成HzHapzHminb相应的系统函数Hcz和Gzc假设Hz

e

ej

Hminz,Hapz,Hcz和Gz，并对每个系统函数画出零极点图。解:（a）HzHzHapzHminz其中Hapz为全通系统Hminz为最小相位系统由此可选Hcz

1

Hcz为稳定因果的HmincGejHejHejcHapHap

HGejHej1（b）Hcz 1HminGzHap=

min

1

2

j

z

e

e

z

1

。

和

单位 4阶极44阶极4阶零 。 。

等于Hmin(ej，证明：h[0]zH(z)Hmin(z)HapHap(z)为因果稳定的全通系Mrz1

Mc(z1e)(z1e可以写成Hap(z) k kk11k

z1)(1e limHap

(dk)(ekz

k

kh[0]limHap(z)limHmin(z)limHmin(z)z

z

zh[0]最小相位系统的重要性质之一就是最小能量延迟，即在具有相同变换幅度函H(ejnnE[n]

h[m]h[nn0hmin[n]zHmin(z的最小相位序列，zkHmin(zHmin(z) (z)Q(z)(1z

z

H(z)Q(z)(1z*其 还是最小相位的然后考虑另外一个z变换

hmin[n]

H(z)

Hmin

z1/k用Q(zH(zkz变换为Q(z的最小相位序列q[n]来表示h[n

[n]nnnn

2

2nn

(1zk

2q[m2

nn

h[m]2

2，对于全部k（a）H(z)Q(z)(z1z*kk（b）h[n]Z1H(z)q[n1]z*k

Z

(z)q[n]

q[n1]2zkajb，则2nn

2

nn

2

nn

h[m]2nnnn

(1a2b2)q2[m]q2[mn n（d）zk1，0

即对于全部的n

h[m]一个因果全通Hapz有输入xn和输出ynxn为实最小相位序列（这也意味着n0xn0，利用式nnk

xk2k

yk2即使xn不是最小相位序列，但对n0为零，证明式（P5.37）仍成立a

Yej

1

j2

1

j2y

Y

Xmin 2nnk

xk2k

2（b）使xn不是最小相位序列仍可表示 Xej nn但仍满足k

xk2k

2 P5.38图示出八种不同的有限长序列.每种长度都为4点.对全部八种序列其变换的幅度都是一样的.z变换的全部零点是在单位圆内?21

. .

. .2

21

. .-6.67-

--

-

-

. .

2121-3.n

. .n2-

-

-d

-

-f21

. .

1132.---g

-图相位序列,z变换的全部零点是在单位圆内的.相位是不可能的。然而在许多滤波应用中，滤波器的冲激响应在n0时也不必要一定常用的技术就是数据向前处理，然后通过同一滤波器向后处理。令h[n]是具有任意x[n]为要处理的数据 y[n]g[n]求关于x[n]和s[n]的总冲激响应h[n]，并证明它有零相位特性 H(ejH(ej和(H(ej 方法B：如图P5.39-2所示通过滤波器h[n处理x[n得到g[n]。另外，通h[n向后处理x[n得到r[n，输出y[ng[n]r[n，这一混合运算可以用一个混合滤波器来表示，该滤波器的输入是x[n]，输出是y[n]，冲激响应是h2[n]。

s[n]证明该混合滤波器h2[n]H2(ejH(ej和(H2(ej 另外，假定给定该带通滤波器的h[n]，其频率响应如图P5.39-3所示，它ABH(ejH(ej。从这些结果中，说明，若h[n]有所要求的幅度，但是一个非线性相位特性，哪法用 H(eH(ej10(0（1）

S(z)R(z1)X(z)H(z)H1H(z)H(z)H(z1)11H(ejH(ej2111（1）证：由系统框图可得：h2[n]h[n]

h[n为因果2H(ej)为实函数，因而具有零相位22H(ej)H(ej)H(ej2 H(ej)H(ej)2cos[( 2H(ej)H(ej)2愿意用A方法实现带通滤波，B方法最然实现了零相位特性，但

h

，使H(ej)

H(ej)ejaH(ej)是aH(ej)A(ej)ejaja和，并是否也是线性相位滤波器。3232131122221

0

1 -

（a）0，（c）0，0，12 （e） 或 ，1 图P5.41中每一零极点图，连同给出的收敛域一起，描述了系统函数为Hz的系统有稳定的逆Hiz单位单位× 1 单位z平× 2 ROC

z2

ROC

z2z12 z34 解：(a) HiP5.42-1示出两种不同的三个系统的互联.冲击响应h1nh2n和h3

示.A和/B有广义线性相位h3h3h2图P5.42-+h3h2图P5.42-

x2

x3.. 0

2..n2n.b3a .2..n2n.b3 Hejaej2bej

图P5.42-bejaej

解 c12b1cos2a1cosHej

ejej5bej2ej4cej

cos2

cos

2Ae2Hejaej2ej2bejej

2 HejHejHejH

A1

A2

A3 所以A为广义线性相位系统 HejHejHejH

j3 e331H(z)H(z)H(z1)，那么它将有1H(ej可以表示H(ej)A(ej)ej()A(ejA(ej和(对下列a，画出相应的h[n]（i）a31a 2a314H(ej)A(ej)eja

A(ej为实函数。在下列的a情况下，关于h[na整数aM2M为奇整一般a。X(eX(ej1

XXc(T YY(jΩ)ejaTΩT YY(ejω)e1

H(ej)A(ejejA(ej1，()a1A(ejω

φ(ejω h[nZ1eja[na

（i）a11a32

a34

FIRhn为实；在n0nMhn0

hnhMnHejAejejj其中Aej是的实函数，是实常数也是实常数对于下列表格，证明Aej具有 的形式，并求出和的值类 对称 滤波器长度

M对I奇M对I奇2对

M22反M反2 称

n反

Mdnsindnsin2M

M2Hej2

hn

jn

h

nejMn

ejM2对Ⅱ类滤波器首先写出HejM

MHej

hn

jn

h

nejM

jM2hnhMnM k

k

k M M

jMk

jMk

M

Hej

hnejn

22 ke 22

ke

利用hn的对称性

k1

k1

2MHejejM2k

h

k

jkejkhMejM 2

M M 2 kcosk2 k MMk这里ak2h a0hM 2

k

k1,2,,2MM

0M2MM对Ⅱ型滤波器，满足对称条件hnhMn，且M为奇数，hn关于半整数 2M

M

M

k

k

k M

2M2M M

M

jM1k

M

jM1kHe

hnejn

22k

k

k

k利用hn的对称性

M22

M

1

1Hej

k

k

j e 2

j e 2

M

M

1 2

kcosk

k

2 M2HejejM22

1bk

cos 2 2这里，bk2h