gs高阶偏导数及泰勒公式课件

由于它们还是x,y

的函数.因此,可继续讨论一、高阶偏导数由于它们还是x,y的函数.因此,可继续讨论一、高阶gs高阶偏导数及泰勒公式课件称为z=f(x,y)的二阶偏导数.称为z=f(x,y)的二阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n

阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n阶偏导数.例1.解:例1.解:若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题:

是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数则定理1若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数分析.按定义分析.按定义gs高阶偏导数及泰勒公式课件f(x0,

y0+y)–

f(x0+x

,

y0)+f(x0,

y0)]同理f(x0+x

,

y0)–

f(x0,

y0+y

)+f(x0,

y0)]f(x0,y0+y)–f(x0+x,证:

分别给x,y

以改变量x,y,使(x0+x

,

y0+y),

(x0+x

,

y0)及(x0,

y0+y)均在U(X0)内.记A=[f(x0+x

,

y0+y)–f(x0+x

,

y0)]–[f(x0,

y0+y)–f(x0,

y0)](x)=f(x,

y0+y

)–f(x

,

y0),有A=(x0+x)–(x0)证:分别给x,y以改变量x,y,使(x0即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.因A=(x0+x)–(x0),(x)=f(x,

y0+y

)–f(x

,

y0),A='(x0+1x)x即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条再对变量y

用拉格朗日中值定理.得另外,A=[f(x0+x

,

y0+y)–f(x0,

y0+y

)]–[f(x0+x,

y0)–f(x0,

y0)]记(y)=f(x0

+x

,

y)–f(x0,

y),从而再对变量y用拉格朗日中值定理.得另外,A=[fA=(y0+y)–(y0)

(由拉格朗日中值定理)A=(y0+y)–(y0)(由拉格朗日中值定故故

1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可

2.若多元函数f(X)在区域D内有(直到)k阶连续偏导.则记为

f(X)Ck(D).k为非负整数.若

f(x,y)Ck(D),则不论求导顺序如何,只要是对x

求导m

次,对y

求导k–m次,都可写成2.若多元函数f(X)在区域D内有(直到)k阶例2.

解:比较知a=1,b=0.例2.解:比较知a=1,b=0.gs高阶偏导数及泰勒公式课件例3.解:

设u=x+y+z,v=xyz,从而w=f(u,v)是x,y,z,的复合函数.由链式法则.例3.解:设u=x+y+z,v=xyz,从而注意：还要用链式法则来求.注意：还要用链式法则来求.gs高阶偏导数及泰勒公式课件例4.

解:例4.解:gs高阶偏导数及泰勒公式课件例5.解:

(1)由隐函数求导公式从而,例5.解:(1)由隐函数求导公式从而,

(2)上式两端对x

求偏导.此时右边的z看作x

的的函数.y要看作常数.有(2)上式两端对x求偏导.此时右边的z看作x的例6.

设方程组解:

(1)先求一阶偏导.注意,u,v看作x,y的函数.得方程两边对x

求偏导.例6.设方程组解:(1)先求一阶偏导.注意,u,从而,从而,(2)从而,(2)从而,例7.

设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)(x2,3lnx,z)=0易见z,u均x

的函数,方程两边对x

求导数.例7.设u=f(x,y,z),y=x3,得从而得从而和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介绍二元函数的高阶微分.若dz

还可微,则记d2z=d(dz),称为z的二阶微分.

二、高阶微分和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介下边推导z

的k

阶微分的计算公式.设以x,y

为自变量的函数z=f(x,y)Ck.由于x,y

为自变量,故dx=x,dy=y,与x,y的取值无关.固定x,y,,(即将它们看作常数),求dz的微分.下边推导z的k阶微分的计算公式.设以x,y为自且d2z=d(dz)且d2z=d(dz)记引进记号.这相当于规定了"将字母z移到括号外"的方法。记引进记号.这相当于规定了"将字母z移到括号外"实际上，它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.若记这个映射为g,则实际上，它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母g

而已.即,我们把这个映射称为一阶微分算子.比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母类似,记类似,记并规定:并规定:gs高阶偏导数及泰勒公式课件故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子g

复合二次.只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子g复合二次.一般,若形式上规定.一般,若形式上规定.gs高阶偏导数及泰勒公式课件(1)当z=f(x,y)Ck时,z

有k

阶微分.(2)只有把它按上述规定,展开后,再将各项"乘"以z(即,将z

补写在k后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.注(1)当z=f(x,y)Ck时,z有k(3)它本质上是一个映射.它将

Ck中的元素z

映成dkz.(4)若x,y

不是自变量,dkz一般不具有上述形式.(3)它本质上是一个映射.它将Ck中的元素z映成§1－8方向导数§1－8方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),如图xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f(x)一、方向导数的概念函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),如图xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f(x)表示在x0处沿x

轴正方向的变化率.表示在x0处沿x

轴负方向的变化率.xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f又比如,z=f(x,y),偏导数分别表示函数在点(x0,y0)沿x轴方向,沿y轴方向的变化率.又比如,z=f(x,y),偏导数分别表示函数在点如图xoyzx0(x0,y0)y如图xoyzx0(x0,y0)y表示在(x0,y0)处沿y

轴正方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y

轴负方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y轴正方向的变化率.表示在但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0

沿任何方向的变化率.比如,设f(X)表示某物体内部点X处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进f(X)在X0

沿一给定方向的方向导数.但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0沿任把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即f'x

(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11

:z=f(x,y0)1y0把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=yxzoz=f(x,y)M0X022

:z=f(x0,y)即f'y

(x0,y0)表示x=x0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2yxzoz=f(x,y)M0X022:z=如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,

y0+y)MN如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+设z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的某邻域U(x0)内有定义.以X0为端点引射线l,其单位方向向量为e=(cos,cos),设X=(x0+x,

y0+y)是l上另一点.xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,

y0+y)MN定义设z=f(X)=f(x,y)在点X0=若当X沿l趋于X0时,对应的函数改变量与线段X0X的长||X0X||的比值X=(x0+x,

y0+y)xoyzM0lX0=(x0,y0)MN则称它为z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)沿l的方向导数.若当X沿l趋于X0时,对应的函数改变量与线段xoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+x,

y0+y)沿l沿lxoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+

1.定义中要求点X只取在l的正向上,且X沿l趋向于X0.的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0,y0)lX=(x0+x,

y0+y)yx注1.定义中要求点X只取在l的正向上,且X沿2.若z=f(X)=f(x,y)在X0=(x0,y0)处偏导存在.则在X0处沿x

轴正向的方向导数,2.若z=f(X)=f(x,y)在X0=在X0处沿x

轴负方向的方向导数,同样可得沿y

轴正向的方向导数为f'y(x0,y0),而沿y

轴负方向的方向导数为–f'y(x0,y0).在X0处沿x轴负方向的方向导数,同样可得沿y轴正3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量为e=(cos,cos),从而l的参数式方程为x=x0+tcosy=y0+tcost>0或(x,y)=(x0,y0)+t(cos,cos),而XX0

就是

t

0+.即X=X0+te3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量从而这正是教材中给出的定义式.沿l从而这正是教材中给出的定义式.沿l若z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)可微,则z=f(X)在X0沿任一方向e=(cos,cos)的方向导数存在.e为单位向量.且=Jf(X0)·e.(最后两式为数量积)

二、方向导数的计算定理4若z=f(X)=f(x,y)在点X0=证:

如图xoyX0=(x0,y0)

eyxlX0=(x0+x,y0+y)在射线l上取点X

=(x0+x,y0+y)其中,X=(x,y)因向量X=

X

–X0=X0X//e,

故X=

te,(t>0),

X=X0+te,||X0X||=||X||=t=X0+X证:如图xoyX0=(x0,y0)eyxlX由方向导数定义看f(X0+te)–f(X0).沿l由方向导数定义看f(X0+te)–f(X因f(X)在X0可微,知

z=

f(X0+X)–f(X0)=

f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)由定理1=Jf(X0)·X+0(||X||)因f(X)在X0可微,知z=f(X0+上式对任何x,y都成立.特别,当X=X0+X在射线l上时,当然成立.即,当X0+X=X0+te

时,有f(X0+te)–f(X0)=Jf(X0)·(te)+0(||te||)=t[(Jf(X0)·e]+0(t)除以t>0,并令t

0+,有

即z=

f(X0+X)–f(X0)=Jf(X0)·X+0(||X||)上式对任何x,y都成立.特别,当X=X0=Jf(X0)·e

=Jf(X0)·e即,若u=f(x,y,z)在点X0=(x0,y0,z0)可微,则u

在该点处沿任何方向e=(cos,cos,cos)的方向导数存在=Jf(X0)·e

且公式可推广到三元函数中去.即,若u=f(x,y,z)在点X0=例5.求u=xyz

在点X0=(1,1,1)处沿从该点到点X1=(1,2,2)方向的方向导数.解:

(1)先求出这个方向上的单位向量e.向量X0X1=(0,1,1)从而与X0X1

同向单位向量例5.求u=xyz在点X0=(1,1,1)(2)求u在X0=(1,1,1)处偏导数.(3)由公式得方向导数(2)求u在X0=(1,1,1)处偏导数.(

1.若z=f(X)=f(x,y)在区域D内存在一阶连续偏导.X0=(x0,y0)是D内一点.知z

在X0

沿任何方向e=(cos,cos)的方向导数其中||e||=1.问,注1.若z=f(X)=f(x,y)在区域故最大值为||Jf(X0)||.函数沿Jf(X0)的方向增长最快.故最大值为||Jf(X0)||.函数沿Jf(X0)的(2)即(2)即

(3)记gradf(X)=Jf(X)=(f'x(x,y),f'y(x,y))称为f(X)在点X处的梯度.(3)记gradf(X)=Jf(X)=

2.设z=f(X)=f(x,y),考察z在点X0=(x0,y0)处连续;存在两偏导;沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.(1)(反之如何?)可微连续,可微存在两偏导,(反之不对)可微沿任何方向的方向导数存在.2.设z=f(X)=f(x,y),考

(2)若

z=f(X)=f(x,y)在区域D内的两偏导不仅存在,而且连续,则z

在D内可微,进而在D内连续,在D内每点处沿任何方向的方向导数存在.(2)若z=f(X)=f(x,y)在区

3.当z=f(X)=f(x,y)在

X0=(x0,y0)可微时,沿e=(cos,cos)的方向导数3.当z=f(X)=f(x,y)在X该公式有另外的形式.记为从x

轴到e的转角(不一定在[0,]之间),则该公式有另外的形式.记为从x轴到e的转角(由于它们还是x,y

的函数.因此,可继续讨论一、高阶偏导数由于它们还是x,y的函数.因此,可继续讨论一、高阶gs高阶偏导数及泰勒公式课件称为z=f(x,y)的二阶偏导数.称为z=f(x,y)的二阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n

阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n阶偏导数.例1.解:例1.解:若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题:

是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数则定理1若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数分析.按定义分析.按定义gs高阶偏导数及泰勒公式课件f(x0,

y0+y)–

f(x0+x

,

y0)+f(x0,

y0)]同理f(x0+x

,

y0)–

f(x0,

y0+y

)+f(x0,

y0)]f(x0,y0+y)–f(x0+x,证:

分别给x,y

以改变量x,y,使(x0+x

,

y0+y),

(x0+x

,

y0)及(x0,

y0+y)均在U(X0)内.记A=[f(x0+x

,

y0+y)–f(x0+x

,

y0)]–[f(x0,

y0+y)–f(x0,

y0)](x)=f(x,

y0+y

)–f(x

,

y0),有A=(x0+x)–(x0)证:分别给x,y以改变量x,y,使(x0即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.因A=(x0+x)–(x0),(x)=f(x,

y0+y

)–f(x

,

y0),A='(x0+1x)x即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条再对变量y

用拉格朗日中值定理.得另外,A=[f(x0+x

,

y0+y)–f(x0,

y0+y

)]–[f(x0+x,

y0)–f(x0,

y0)]记(y)=f(x0

+x

,

y)–f(x0,

y),从而再对变量y用拉格朗日中值定理.得另外,A=[fA=(y0+y)–(y0)

(由拉格朗日中值定理)A=(y0+y)–(y0)(由拉格朗日中值定故故

1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可

2.若多元函数f(X)在区域D内有(直到)k阶连续偏导.则记为

f(X)Ck(D).k为非负整数.若

f(x,y)Ck(D),则不论求导顺序如何,只要是对x

求导m

次,对y

求导k–m次,都可写成2.若多元函数f(X)在区域D内有(直到)k阶例2.

解:比较知a=1,b=0.例2.解:比较知a=1,b=0.gs高阶偏导数及泰勒公式课件例3.解:

设u=x+y+z,v=xyz,从而w=f(u,v)是x,y,z,的复合函数.由链式法则.例3.解:设u=x+y+z,v=xyz,从而注意：还要用链式法则来求.注意：还要用链式法则来求.gs高阶偏导数及泰勒公式课件例4.

解:例4.解:gs高阶偏导数及泰勒公式课件例5.解:

(1)由隐函数求导公式从而,例5.解:(1)由隐函数求导公式从而,

(2)上式两端对x

求偏导.此时右边的z看作x

的的函数.y要看作常数.有(2)上式两端对x求偏导.此时右边的z看作x的例6.

设方程组解:

(1)先求一阶偏导.注意,u,v看作x,y的函数.得方程两边对x

求偏导.例6.设方程组解:(1)先求一阶偏导.注意,u,从而,从而,(2)从而,(2)从而,例7.

设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)(x2,3lnx,z)=0易见z,u均x

的函数,方程两边对x

求导数.例7.设u=f(x,y,z),y=x3,得从而得从而和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介绍二元函数的高阶微分.若dz

还可微,则记d2z=d(dz),称为z的二阶微分.

二、高阶微分和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介下边推导z

的k

阶微分的计算公式.设以x,y

为自变量的函数z=f(x,y)Ck.由于x,y

为自变量,故dx=x,dy=y,与x,y的取值无关.固定x,y,,(即将它们看作常数),求dz的微分.下边推导z的k阶微分的计算公式.设以x,y为自且d2z=d(dz)且d2z=d(dz)记引进记号.这相当于规定了"将字母z移到括号外"的方法。记引进记号.这相当于规定了"将字母z移到括号外"实际上，它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.若记这个映射为g,则实际上，它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母g

而已.即,我们把这个映射称为一阶微分算子.比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母类似,记类似,记并规定:并规定:gs高阶偏导数及泰勒公式课件故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子g

复合二次.只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子g复合二次.一般,若形式上规定.一般,若形式上规定.gs高阶偏导数及泰勒公式课件(1)当z=f(x,y)Ck时,z

有k

阶微分.(2)只有把它按上述规定,展开后,再将各项"乘"以z(即,将z

补写在k后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.注(1)当z=f(x,y)Ck时,z有k(3)它本质上是一个映射.它将

Ck中的元素z

映成dkz.(4)若x,y

不是自变量,dkz一般不具有上述形式.(3)它本质上是一个映射.它将Ck中的元素z映成§1－8方向导数§1－8方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),如图xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f(x)一、方向导数的概念函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),如图xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f(x)表示在x0处沿x

轴正方向的变化率.表示在x0处沿x

轴负方向的变化率.xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f又比如,z=f(x,y),偏导数分别表示函数在点(x0,y0)沿x轴方向,沿y轴方向的变化率.又比如,z=f(x,y),偏导数分别表示函数在点如图xoyzx0(x0,y0)y如图xoyzx0(x0,y0)y表示在(x0,y0)处沿y

轴正方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y

轴负方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y轴正方向的变化率.表示在但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0

沿任何方向的变化率.比如,设f(X)表示某物体内部点X处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进f(X)在X0

沿一给定方向的方向导数.但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0沿任把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即f'x

(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11

:z=f(x,y0)1y0把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=yxzoz=f(x,y)M0X022

:z=f(x0,y)即f'y

(x0,y0)表示x=x0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2yxzoz=f(x,y)M0X022:z=如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,

y0+y)MN如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+设z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的某邻域U(x0)内有定义.以X0为端点引射线l,其单位方向向量为e=(cos,cos),设X=(x0+x,

y0+y)是l上另一点.xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,

y0+y)MN定义设z=f(X)=f(x,y)在点X0=若当X沿l趋于X0时,对应的函数改变量与线段X0X的长||X0X||的比值X=(x0+x,

y0+y)xoyzM0lX0=(x0,y0)MN则称它为z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)沿l的方向导数.若当X沿l趋于X0时,对应的函数改变量与线段xoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+x,

y0+y)沿l沿lxoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+

1.定义中要求点X只取在l的正向上,且X沿l趋向于X0.的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0,y0)lX=(x0+x,

y0+y)yx注1.定义中要求点X只取在l的正向上,且X沿2.若z=f(X)=f(x,y)在X0=(x0,y0)处偏导存在.则在X0处沿x

轴正向的方向导数,2.若z=f(X)=f(x,y)在X0=在X0处沿x

轴负方向的方向导数,同样可得沿y

轴正向的方向导数为f'y(x0,y0),而沿y

轴负方向的方向导数为–f'y(x0,y0).在X0处沿x轴负方向的方向导数,同样可得沿y轴正3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量为e=(cos,cos),从而l的参数式方程为x=x0+tcosy=y0+tcost>0或(x,y)=(x0,y0)+t(cos,cos),而XX0

就是

t

0+.即X=X0+te3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量从而这正是教材中给出的定义式.沿l从而这正是教材中给出的定义式.沿l若z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)可微,则z=f(X)在X0沿任一方向e=(cos,cos)的方向导数存在.e为单位向量.且=Jf(X0)·e.(最后两式为数量积)

二、方向导数的计算定理4若z=f(X)=f(x,y)在点X0=证:

如图xoyX0=(x0,y0)

eyxlX0=(x0+x,y0+y)在射线l上取点X

=(x0+x,y0+y)其中,X=(x,y)因向量X=

X

–X0=X0X//e,

故X=

te,(t>0),

X=X0+te,||X0X||=||X||=t=X0+X证:如图xoyX0=(x0,y0)eyxlX由方向导数定义看f(X0+te)–f(X0).沿l由方向导数定义看f(X0+te)–f(X因f(X)在X0可微,知

z=

f(X0+X)–f(X0)=

f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)由定理1=Jf(X0)·X+0(||X||)因f(X)在X0可微,知z=f(X0+上式对任何x,y都成立.特别,当X=X0+X在射线l上时,