常微分方程课件

第一章典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简第一章典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简1命题1设开集在内连续．如果对于任意的子集，都有则在上命题2设开集在内连续．如果对于任意的，都有则在上命题1设开集在内2命题3(Stokes公式)设是一个有界光滑区域，对于的m维向量值函数v，下面的积分等式成立：其中n是上的单位外法向量，dS是上的面积元素．当m=1,2,3时，上式就分别是牛顿－莱布尼兹公式，Green公式和奥高公式．命题3(Stokes公式)设3第一节典型方程的导出本节用到的两大物理定律是守恒律（质量守恒，能量守恒，动量守恒）和变分原理（最小势能原理）。所用到的数学方法是微元法和交换积分次序定理。利用守恒律推导微分方程的基本方法是：守恒律+Stokes公式+交换积分次序定理，得到微分方程．第一节典型方程的导出本节用到的两大物理定律是守41.弦振动方程模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作用下，弦在平面上作微小横振动，即振动方向与弦的平衡位置垂直．问题：研究弦的振动规律．1.弦振动方程模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作5记---单位长度的质量（密度）；

u---位移；f0---在u的正方向,单位长度上的外力密度，T---张力．建立坐标系：以弦的平衡位置为x轴，在弦作振动的平面上取与x轴垂直的方向为u轴，弦的一端为原点，弦长为l.记---单位长度的质量（密度）；建立坐标系：以弦6分析：(1)细：横截面的直径d<<

l，运动状态在同一横截面上处处相同;(2)拉紧：指的是弦线在弹性范围内，因此Hooke定律成立，张力与弦线的相对伸长成正比；(3)柔软：弦在每一点处，该点两端的部分之间有相互作用力．这个力的分量一般来讲有切向力和法向力．柔软是指没有抗弯曲的张力，张力只是沿切线方向；(4)微小位移：弦的位置只作了微小变化，即|ux|<<1；(5)横振动：只有沿u方向的位移．分析：(1)细：横截面的直径d<<l，运动状态在同一横截7动量守恒律可以写成：t=t2时的动量t=t1时的动量外力在[t1,t2]内的冲量－＝一维弦振动方程动量守恒律可以写成：t=t2时的动量t=t1时的动量外力在8二维波动方程n维波动方程n维Poisson方程n维Laplace方程二维波动方程n维波动方程n维Poisson方程n维La92.热传导方程模型：各向同性的物体，内部有热源，与周围介质有热交换，求物体内部的温度分布．物理规律：(1)能量守恒：在物体内任取一部分,取任意时段(2)Fourier热力学定律：热流量的大小与温度的梯度成正比。V中增加的热量流入的热量内部产生的热量＝＋2.热传导方程V中增加的热量流入的热量内部产生的热量＝＋10记---物体的密度；u---温度；c---比热；f0---热源强度，q---热流密度．三维热传导方程记---物体的密度；u---温度；c---比11第二节偏微分方程的基本概念一、定义含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程．方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶数．如果方程中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程为线性的，否则就称为非线性的．非线性又分为半线性，拟线性和完全非线性．第二节偏微分方程的基本概念一、定义12二、定解条件和定解问题给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件．描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件。描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程匹配上定解条件就构成定解问题．二、定解条件和定解问题131.弦振动方程初值条件是初始时刻(t=0)的位移和速度：1.弦振动方程初值条件是初始时刻(t=0)的位移和速度14边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：(1)第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：已知端点x=a处弦的位移：u(a,t)=g(t)．(2)第二类边界条件(Neumann边界条件)：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，即

(3)第三类边界条件(混合边界条件或Robin边界条件)：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：(1)第一类边界条152.热传导方程初值条件:已知初始温度分布边界条件:根据边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种：第一类边界条件：已知边界上的温度分布第二类边界条件：已知通过边界进入内部的热量第三类边界条件：通过边界物体与周围介质有热交换．2.热传导方程初值条件:已知初始温度分布边界条件:根据163.Poisson方程或Laplace方程只有边界条件（同样有三类），没有初值条件．对于波动方程和热传导方程，如果区域没有边界，当然也没有边界条件，只有初值条件．3.Poisson方程或Laplace方程17偏微分方程+初值条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；偏微分方程+初值条件，称为初值问题，也叫Cauchy问题；偏微分方程+边界条件，称为边值问题．偏微分方程+初值条件+边界条件，称为初边值问题或混合18三、定解问题的适定性1解的存在性：给出的定解问题有解；2解的唯一性：给出的定解问题只有一个解；3解的稳定性：当定解条件（初值条件，边界条件）以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动．解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性．解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起来称为解的适定性．三、定解问题的适定性19第三节二阶线性偏微分方程的分类与化简第三节二阶线性偏微分方程的分类与化简20二阶线性偏微分方程的一般形式是n=2时的一般形式是二阶线性偏微分方程的一般形式是n=2时的一般形式是21二次曲线二阶方程标准形式双曲线双曲型方程椭圆椭圆型方程抛物线抛物型方程二次曲线二阶方程标准形式双曲线双曲型方程椭圆椭圆型方程22一.2个自变量的2阶线性偏微分方程的分类与化简引入自变量替换如果变换可逆，即一.2个自变量的2阶线性偏微分方程的分类与化简引入自变量23特征方程特征方程24常微分方程课件25结论：如果在点处则称方程在该点处是双曲型的．如果方程在该点的邻域内是双曲型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如(3)的标准形式．如果方程在每一点处都是双曲型的，则称它在中是双曲型的．结论：如果在点处则称方程26常微分方程课件27结论：如果在点处则称方程在该点处是抛物型的．如果方程在该点的邻域内是抛物型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如(4)的标准形式．如果方程在每一点处都是抛物型的，则称它在中是抛物型的．结论：如果在点处则称方程28常微分方程课件29结论：如果在点处则称方程在该点处是椭圆型的．如果方程在该点的邻域内是椭圆型的，那么在该邻域内方程可以化简成形如(5)的标准形式．如果方程在每一点处都是椭圆型的，则称它在中是椭圆型的．结论：如果在点处则称方程30例例例例例例31例例求其通解例例求其通解32第一章典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简第一章典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简33命题1设开集在内连续．如果对于任意的子集，都有则在上命题2设开集在内连续．如果对于任意的，都有则在上命题1设开集在内34命题3(Stokes公式)设是一个有界光滑区域，对于的m维向量值函数v，下面的积分等式成立：其中n是上的单位外法向量，dS是上的面积元素．当m=1,2,3时，上式就分别是牛顿－莱布尼兹公式，Green公式和奥高公式．命题3(Stokes公式)设35第一节典型方程的导出本节用到的两大物理定律是守恒律（质量守恒，能量守恒，动量守恒）和变分原理（最小势能原理）。所用到的数学方法是微元法和交换积分次序定理。利用守恒律推导微分方程的基本方法是：守恒律+Stokes公式+交换积分次序定理，得到微分方程．第一节典型方程的导出本节用到的两大物理定律是守361.弦振动方程模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作用下，弦在平面上作微小横振动，即振动方向与弦的平衡位置垂直．问题：研究弦的振动规律．1.弦振动方程模型：一根拉紧的柔软细弦，假定在外力的作37记---单位长度的质量（密度）；

u---位移；f0---在u的正方向,单位长度上的外力密度，T---张力．建立坐标系：以弦的平衡位置为x轴，在弦作振动的平面上取与x轴垂直的方向为u轴，弦的一端为原点，弦长为l.记---单位长度的质量（密度）；建立坐标系：以弦38分析：(1)细：横截面的直径d<<

l，运动状态在同一横截面上处处相同;(2)拉紧：指的是弦线在弹性范围内，因此Hooke定律成立，张力与弦线的相对伸长成正比；(3)柔软：弦在每一点处，该点两端的部分之间有相互作用力．这个力的分量一般来讲有切向力和法向力．柔软是指没有抗弯曲的张力，张力只是沿切线方向；(4)微小位移：弦的位置只作了微小变化，即|ux|<<1；(5)横振动：只有沿u方向的位移．分析：(1)细：横截面的直径d<<l，运动状态在同一横截39动量守恒律可以写成：t=t2时的动量t=t1时的动量外力在[t1,t2]内的冲量－＝一维弦振动方程动量守恒律可以写成：t=t2时的动量t=t1时的动量外力在40二维波动方程n维波动方程n维Poisson方程n维Laplace方程二维波动方程n维波动方程n维Poisson方程n维La412.热传导方程模型：各向同性的物体，内部有热源，与周围介质有热交换，求物体内部的温度分布．物理规律：(1)能量守恒：在物体内任取一部分,取任意时段(2)Fourier热力学定律：热流量的大小与温度的梯度成正比。V中增加的热量流入的热量内部产生的热量＝＋2.热传导方程V中增加的热量流入的热量内部产生的热量＝＋42记---物体的密度；u---温度；c---比热；f0---热源强度，q---热流密度．三维热传导方程记---物体的密度；u---温度；c---比43第二节偏微分方程的基本概念一、定义含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程．方程中出现的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶数．如果方程中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程为线性的，否则就称为非线性的．非线性又分为半线性，拟线性和完全非线性．第二节偏微分方程的基本概念一、定义44二、定解条件和定解问题给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件．描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件。描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。一个方程匹配上定解条件就构成定解问题．二、定解条件和定解问题451.弦振动方程初值条件是初始时刻(t=0)的位移和速度：1.弦振动方程初值条件是初始时刻(t=0)的位移和速度46边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：(1)第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：已知端点x=a处弦的位移：u(a,t)=g(t)．(2)第二类边界条件(Neumann边界条件)：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，即

(3)第三类边界条件(混合边界条件或Robin边界条件)：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：边界条件是弦在两端点的状态，一般有三种：(1)第一类边界条472.热传导方程初值条件:已知初始温度分布边界条件:根据边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种：第一类边界条件：已知边界上的温度分布第二类边界条件：已知通过边界进入内部的热量第三类边界条件：通过边界物体与周围介质有热交换．2.热传导方程初值条件:已知初始温度分布边界条件:根据483.Poisson方程或Laplace方程只有边界条件（同样有三类），没有初值条件．对于波动方程和热传导方程，如果区域没有边界，当然也没有边界条件，只有初值条件．3.Poisson方程或Laplace方程49偏微分方程+初值条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；偏微分方程+初值条件，称为初值问题，也叫Cauchy问题；偏微分方程+边界条件，称为边值问题．偏微分方程+初值条件+边界条件，称为初边值问题或混合50三、定解问题的适定性1解的存在性：给出的定解问题有解；2解的唯一性：给出的定解问题只有一个解；3解的稳定性：当定解条件（初值条件，边界条件）以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动．解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性．解的存在性、唯一性和稳定性，三者合起来称为解的适定性．三、定解问题的适定性51第三节二阶线性偏微分方程的分类与化简第三节二阶线性偏微分方程的分类与化简52二阶线性偏微分方程的一般形式是n=2时的一般形式是二阶线性偏微分方程的一般形式是n=2时的一般形式是53二次曲线二阶方程标准形式双曲线双曲型方