2021年中考数学·中考新定义问题解题策略分析及与点有关的新定义问题梳理课件

中考新定义问题解题策略分析中考新定义问题解题策略分析认识新定义问题认识新定义问题21.什么是新定义问题？

“新定义”问题：主要是指在问题中新定义了一些数学概念，然后要求同学们现场读懂题意，理解新定义的含义，并结合已有知识解决问题的一种题型.

往往题目中新定义的概念分在几何背景下和在代数背景下的两类；本节课，我们主要介绍几何背景下的新定义问题.1.什么是新定义问题？“新定义”问题：主要是指在问2.新定义问题能力要求和解题思路解题思路：

新定义问题会设置多问，从特殊到一般，环环相扣；一般第一问是对第二问的铺垫，而第二问是对第一问的深化;同学们在阅读新定义，逐问解决问题的过程中，不断加深对定义内涵的理解.历经一个完整独立的分析问题、解决问题的过程.能力要求：

考查同学们的现场学习能力即阅读理解能力、分析解决问题的能力、建立远联系的能力，培养同学们自主学习、主动探究的品质.2.新定义问题能力要求和解题思路解题思路：能力要求：

新定义问题举例1在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题结构及总结解题策略新定义问题举例1在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题5新定义学习案例1新定义：对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.新定义学习案例1新定义：新定义学习案例1读定义：定义的对象是半圆，我们会关注圆心和半径.新定义：对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.新定义学习案例1读定义：定义的对象是半圆，我们会关注圆心和半（1）点M关于△ABC的内半圆：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上在画图的过程中感受给定一个点M，圆心确定，会画出无数个内半圆，半径可以非常小，也可以逐渐变大.即给定一个点M，可以存在无数个点M关于△ABC的内半圆.（1）点M关于△ABC的内半圆：在画图的过程中感受给定一个点（2）点M关于△ABC的最大内半圆：半径最大的内半圆.在画图的过程中感受半径最大的内半圆就是和边AB（以BC为一边的较小的内角的另一边）相切的那个半圆.一个点M对应无数个点M关于△ABC的内半圆，对应着唯一的一个最大内半圆.（2）点M关于△ABC的最大内半圆：半径最大的内半圆.在画图（3）BC关于△ABC的内半圆：若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆BC上有无数个点M，无数个点M对应着无数个最大内半圆，其中最大的就是BC关于△ABC的内半圆.在画图的过程中感受BC关于△ABC的内半圆就是与边AB、AC

均相切的半圆.圆心即在∠CAB的平分线和边BC交点的位置.（3）BC关于△ABC的内半圆：BC上有无数个点M，无数个点理清三个定义之间的逻辑关系点M关于△ABC的内半圆（无数个）点M关于△ABC的最大内半圆（一个）BC关于△ABC的内半圆（一个）M为定点半径最大M为动点半径最大在△ABC内或与除BC外的两边相切与以BC为一边的最小角的另一边（即AB）相切与除BC外的两边（即AB、AC）均相切圆心M确定，半径不定圆心M确定，半径确定圆心M确定，半径确定理清三个定义之间的逻辑关系点M关于△ABC的内半圆（无数个）核心：BC关于△ABC的内半圆的圆心M在∠CAB的平分线和边BC的交点处，

半径即为圆心M到除BC外的两边的距离.BC关于△ABC的内半圆与边AB、AC均相切的半圆圆心M到边AB、AC距离相等即ME=MF圆心M在∠BAC的平分线上核心：BC关于△ABC的内半圆的圆心M在∠CAB的平分线和边Q1:不同形状的三角形，BC关于三角形的内半圆的圆心和半径

确定的方法一样吗？Q2:不同形状的三角形对上述内半圆的半径的变化有何影响？Q1:不同形状的三角形，BC关于三角形的内半圆的圆心和半径研究方法：我们尝试在不同形状的三角形中画出内半圆

的过程中去总结圆心的位置及半径的变化规律.如何实现有序画出不同形状的三角形？如何分类？分类的标准？（目标）根据半圆和三角形相切的位置研究方法：我们尝试在不同形状的三角形中画出内半圆如何实现有序步骤：第一步：先确定一条边BC;第二步：再确定∠B的大小；第三步：点A在射线BG上运动；第四步：在第三步点A运动的过程中，

在确定∠C的同时，

再调整∠B的大小.确定一个三角形需要三个元素步骤：确定一个三角形需要三个元素有序改变三角形形状的方法：控制变量△ABC中，已知BC和∠B.通过控制∠B的大小，顶点A的位置来改变三角形的形状.即在三角形的三个元素中，先确定其中的一个元素，即一条边，再确定第二个元素，即一个角，改变第三个元素.请大家尝试画图即在三角形的三个元素中，先确定其中的一个元素，即一条边，再确首先，确定∠B，设为锐角，点A在射线BG上运动，改变∠C的大小从而实现改变△ABC的形状共有三种情况：分类的标准：BC的内半圆的位置，即与三角形的边相切的位置.首先，确定∠B，设为锐角，点A在射线BG上运动，改变∠C的大总结：我们发现在点A沿射线BG向右上方运动的过程中，1.BC关于△ABC的内半圆始终与以BC为边的最小锐角∠B的另一边相切；2.当点A在从点B向右上到过点C垂直于BC的直线与BG的交点处运动过程中即情形1的位置，内半圆的半径逐渐增大,当点A由情形2再继续运动到如情形3的位置时，内半圆的位置和半径均不变.3.当情形1、情形2时，内半圆与除BC外的两边均相切；4.特别的，情形2中的一切点即为BC的一个端点，即直角三角形的直角顶点.

总结：我们发现在点A沿射线BG向右上方运动的过程中，其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3都不需要再继续讨论，情形1时，∠B的变化会产生新的三角形.其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3都不需要再继续讨论，情形1时，∠B的变化会产生新的三角形.其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3

在点A的运动过程中，我们发现BC关于△ABC的内半圆的圆心，除∠ACB为钝角时，均在∠CAB的角平分线与边BC的交点上；当∠ACB为钝角时，圆心的位置和∠ACB为直角时一样.

在点A的运动过程中，我们发现BC关于△ABC当∠ACB为钝角时，BC关于△ABC的内半圆与边AB相切，并且过点C，所以圆心M，可以通过构造以C为直角顶点的直角三角形BCD,再作∠CDB的角平分线，它和边BC的交点即为点M所处的位置.这也就是上述当∠ACB为钝角时，圆心的位置和∠ACB为直角时一样的原因.

当∠ACB为钝角时，BC关于△ABC的内半圆与边AB相切，并

【总结】2.在画图的过程中，我们先直观的发现，再借助推理的方式得到：

对于不同形状的三角形，确定BC关于△ABC的内半圆的圆心的位置的方法：

将半圆与三角形除BC外另两边均相切的位置关系转化为圆心到这两边的距离相等（即用数量关系来刻画位置关系）再转化为到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，经过二重转化，我们即可得到圆心M即为∠BAC的角平分线和边BC的交点.【总结】【总结】3.在画图的过程中，我们还可以直观的感知

BC关于△ABC的内半圆的半径的变化规律：

当BC和∠B（设为锐角）一定时，半径r随着∠C的增大而增大.

当∠B为直角和钝角时，同理可以证明半径r亦是随着∠C的增大而增大.【总结】

当∠B为直角和钝角时，同理可以证明半径r亦是随着2021年中考数学·中考新定义问题解题策略分析及与点有关的新定义问题梳理课件

②

如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；此问就是要在特殊的三角形中寻找圆心D的位置，即当点D处在什么位置时，点D关于△ABC的最大内半圆的半径最长.②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径【总结】本问的目的：在特殊的背景下猜想BC关于△ABC的内半圆就是和AB和AC均相切的半圆，圆心即为是∠BAC的角平分线和BC的交点.【总结】点P的运动会对内半圆的位置和半径的长度产生怎样的影响R的范围点P的位置点P的运动会对内半圆的位置和半径的长度产生怎样的影响R的范围当点P从原点向右上方运动的过程中，OE关于△OEP的内半圆始终与OP相切，半径越来越长.当OEP为钝角时，半径不变.F当点P从原点向右上方运动的过程中，OE关于△OEP的内半圆始FF

F

Ft=3Ft=3F

t=3

FF

t=3

FF

当点P继续向左下方运动时，内半圆始终与EP相切，且过点O，半径逐渐增大.

N当点P继续向左下方运动时，内半圆始终与EP相切，且过点O，

当点P继续向下方运动时，内半圆一直与EP相切，且过点O，半径逐渐增大.此种情况不存在NN当点P继续向下方运动时，内半圆一直与EP相切，且过点O，半

t=3

此种情况不存在

t=3

此种情况不存在1.在这道题中，确定不同形状的三角形的一边的最大内半圆的圆心位置和观察运动变化中半径的变化是最关键的.将一边的最大内半圆定位为与三角形除已知边外另两边同时相切的圆，将与角两边同时相切的圆的圆心的位置确定的问题转化为到角两边距离相等的点再到这样的点在角的平分线上，这一问题转化的过程是圆心得以确定的核心.这是从几何到代数再到几何的一个转化过程.2.问题设计的基本结构第一问（1）的设计，是通过对特殊的图形背景下问题的解答，让我们来初步认识“新定义”的数学概念.第一问（2）的设计，是通过特殊的图形背景下的问题让我们进一步形成初步的解决问题的方法或者是结论第二问的设计，借助第一问形成的方法或者结论应用到解决相关的更复杂的问题中.【总结】3.在分析问题的过程中我们要养成借助几何直观（即画图)分析问题，形成结论的习惯;

并且观察当点在运动变化时所关注的量的运动变化规律;

善于在解答简单特殊的图形问题中去猜想和发现一般的规律.1.在这道题中，确定不同形状的三角形的一边的最大内半圆的圆心现场学习时间非常的短，我们来不及把定义的内涵挖掘的那么深入，往往都是在不断解决问题的过程中去积累，问题的设置也会按照由易到难的顺序，而且前面的问一定会为解决后续问进行方法上的铺垫.现场学习时间非常的短，我们来不及把定义的内涵挖掘的那么深入，

新定义问题举例2在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题结构及总结解题策略新定义问题举例2在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题41

新定义学习案例2

新定义学习案例2研究对象:是过两个定端点的弧.理解定义：1.如何作出过两个定端点的弧?2.一个图形的中内弧有多少条？有最长的内弧？或最短的内弧么？

影响弧的长短的因素是什么？3.中内弧亦如上问.

研究对象:是过两个定端点的弧.

1.如何作出过两个定端点的弧？

由于弧是圆的一部分，而且弧的两个端点是定点，所以，我们只要确定圆心的位置便可确定弧的位置和大小，由于圆心到弧的两端点距离相等，由垂直平分线的判定定理，圆心在弧的两端点连线的垂直平分线上.1.如何作出过两个定端点的弧？

由于弧是圆的一部分，而且弧的由于圆心的位置不确定，影响了弧的位置和大小，所以过两个定端点的弧应该不只一条，由于图形不同，具体内弧的条数受图形自身范围所限.而要作出一个三角形的中内弧，中内弧的两个端点是定点，就是构造过两个定点的弧，方法同上.2.一个图形的中内弧有多少条？有最长的内弧？或最短的内弧么？

影响弧的长短的因素是什么？3.中内弧亦如上问.要想研究内弧，中内弧，就先要将过两个定点的弧研究清楚.由于圆心的位置不确定，影响了弧的位置和大小，所以过两个定端点1.在画图的过程中，我们会观察到线段PQ（即弦PQ）所对上下两段弧（如图1），而我们关注的是劣弧或半圆.2.当圆心在弦PQ上方时，只有PQ下方的弧为劣弧，圆心距离弦越近，半径越小，劣弧PQ就愈长，弧越远离弦PQ.(如图2)3.当圆心和弦PQ中点E重合时，PQ上方、下方的弧皆为半圆.（如图3）4.当圆心在弦PQ下方时，只有PQ上方的弧为劣弧，圆心距离弦越近，半径越小，劣弧PQ就愈长，弧越远离弦PQ.(如图4)图1图2图3图4借助画图，研究过两个定点的弧1.在画图的过程中，我们会观察到线段PQ（即弦PQ）所对上下总结：过两定端点的弧的大小和位置是由圆心的位置决定的.而规律就是：圆心距离弦PQ越近，则弧越长，弧的位置距离弦PQ越远；圆心处在弦PQ上方时，劣弧PQ在弦PQ下方，反之亦然.总结：

无需多想，只要调整圆心的位置，使劣弧上所有的点完全在图形内部或者图形上就好.

无需多想，只要调整圆心的位置，使劣弧上所有的点完全在图形内

E

E

【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.A（4，0），B（0,n)x=6x=6x=2x=2【问题3】当m=0时A（4，0），B（0,n)x=6x=6x【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.FB

n>4【问题3】当m=0时FB

n>4【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.当n>4时【问题3】当m=0时当n>4时【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

当n>4时【问题3】当m=0时

当n>4时【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

【问题3】当m=0时

【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

【问题3】当m=0时

或

圆心P在点G上方和点H下方

或

圆心P在点G上方和点H下方

有一条即可

有一条即可1.本题的关键是几何量向几何量之间的转化，即把弧的长度转化为用圆心到弦的距离来刻画,这是解决此问题的核心.2.在分析圆心的位置对内弧的大小和位置产生怎样的影响时，我们让圆心有序的运动并进行比较总结，对于发现规律是有效的办法.【总结】1.本题的关键是几何量向几何量之间的转化，即把弧的长度转化为3.每一问设计的意图问题1的①问意义是，结合图形通过解答初步认识新定义，即内弧即为端点确定的一

段弧，知晓圆心在弦的垂直平分线上即可.问题1的②问意义是，通过进一步解答特殊位置的数学问题来形成初步方法或结论.结论：弧的大小和位置会和圆心的位置相关.在弦AB的一侧(包含形外位置)圆心的临界位置时弦AB的中点，在弦的另一侧，圆心运动的临界位置是当圆与射线OA，OB相切时.这里在操作上，重要的是画图，借助几何直观感受圆心的位置变化对弧的大小和位置产生的影响.并且对结论进行总结.

问题2的意义是，利用问题1的②问形成的方法和结论，应用其解决更一般情形下的

数学问题，进行再总结.

问题3的意义是，利用问题2中总结的结论和方法解决较复杂的问题.【总结】3.每一问设计的意图【总结】4.同第一个例题一样，在分析问题的过程中依然是要养成借助几何直观(即画图)分析问题，形成结论的习惯;并且观察当点在运动变化时所关注的量的运动变化规律.善于在解答简单特殊的图形问题中去猜想和发现一般的规律.

6.在第3问的（2）中，我们要关注逻辑名词的含义.即任意一个是指全部，所有，一个都不能少，存在是指有一条即可.【总结】4.同第一个例题一样，在分析问题的过程中依然是要养成借助几何

解题策略总结解题策略总结82

面对几何背景的新定义问题，我们通常会先从特殊的图形初步认识新定义，然后进一步来解决特殊化的数学问题，这一步是问题解决的核心部分，其主要是借助于几何图形或者将其转化为其他的几何或是代数的结论后直接产生结论或方法，不需要严格的推理论证；最后利用上述形成的结论或方法解决最后的数学问题.面对几何背景的新定义问题，我们通常会先从特殊的图形初2021年中考数学·中考新定义问题解题策略分析及与点有关的新定义问题梳理课件与“点”有关的新定义问题与“点”有关的新定义问题85对“点”的认识——“点”——基本元素你了解“点”吗？对“点”的认识——“点”——基本元素你了解“点”吗？对“点”的认识“点”——构成图形、图象基本元素“点”——分析“点”蕴含的信息体现研究方法线段垂直平分线的定义示例：从“点”的视角看垂直平分线AC=BCAB⊥CDDA=DB垂直平分线的性质与判定点D在线段垂直平分线上又如：平移、轴对称和旋转的几何变换研究抓住对应点进行研究发现结论对“点”的认识“点”——构成图形、图象基本元素“点”——分析对“点”的认识“点”——渗透探究运动轨迹和集合是思想集合观点（满足同一条件）到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形。示例：圆的定义运动轨迹观点（点动成线）在一个平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆.d=r的点的集合“点”——构成图形或图象的基本元素对“点”的认识“点”——渗透探究运动轨迹和集合是思想集合观点对“点”的认识“点”——体现数形结合的思想“点”——构成图形、图象的基本元素数轴上的点与值的一一对应平面直角坐标系中点与坐标一一对应坐标平面内已知两个点：（1）可求距离（2）可确定函数……点的横纵坐标满足特殊关系：如A（a,2a），则满足条件的点的集合在直线y=2x上对“点”的认识“点”——体现数形结合的思想“点”——构成图形

探究问题1

探究问题1

判断点P横坐标a与1

的关系判断点Q的纵坐标与b的关系判断点P、Q图象的位置关系

点Q为点P的限变点点P为点Q的限变点分析定义——你能从定义中获得哪些信息？点P、Q的坐标的数量关系多角度理解定义，抓住“点”的核心本质

判断点P横坐标a与1的关系判断点Q的纵坐标与b的关

方法三（定义逆用）利用函数图像进行分析B方法一（定义逆用）从点Q到点P

X=1X=1函数为点P的轨迹

方法二（利用相互关系

）从点P到点Q

函数为点Q

的轨迹

方法三（定义逆用）B方法一（定义逆用）

X=1X=1

点P限变点必在函数的图象上X=1

点P限变点必在函数的图象上X=1

点P限变点必在函数的图像上利用函数求当y=-2或-5时，对应从点A到点B的自变量的取值范围即是K的取值范围AB

X=kk≥1

点P限变点必在函数的图像上利用函数AB

X=k

二次函数含有参数t,解析式为一般式，二次项系数为1，函数图象开口向上……对解析式的思考参数唯一，利用顶点坐标公式或者将解析式转化为顶点式，可以得到顶点坐标（t,t）二次函数的顶点在直线y=x上移动，从而知道了二次函数图象移动的轨迹关注函数图象借助图象数形结合分析问题,解析式化一般式为顶点式点P的限变点必在此分段函数上.

二次函数含有参数t,解析式为一般式，二次项系数为1，函数

当t<1时二次函数图象当t≥1时二次函数图象当t<1时限变点的函数图象当t≥1时限变点的函数图象

当t<1时二次函数图象当t≥1时二次函数图象当t<1时限变当t≥1时限变点的函数图象当t≥1时，最小值m=t

当t≥1时，s≥2点P限变点必然在函数图象上

当t≥1时限变点的函数图象当t≥1时，最小值m=t

当t≥1对于与“点”有关的新定义问题你还有哪些思考？得到了哪些启发？“点”与几何背景的新定义问题又该如何解决呢？课后反思对于与“点”有关的新定义问题你还有哪些思考？课后反思对新定义问题的理解引入定义探究理解直接应用灵活应用结合阅读材料，现场学习，理解新定义、新概念，并引用新概念解决问题。新定义问题的解题关键理解新定义的过程文字语言符号语言图形语言灵活的选用概念的恰当表征对新定义问题的理解引入定义探究理解直接应用灵活应用结合阅读材数学不研究事物的质，只研究量和形数学概念和定义的抽象性利用表征去诠释、代替定义内容对知识进行选择形式对概念进行架构体现学生感知和认知的水平层次利用直观形成感知

新定义表征定义本质特征数学不研究事物的质，只研究量和形数学概念和定义的抽象性利用表

探究问题2方法一从已知点出发绘图度量去验证是否满足定义

探究问题2方法一

方法二

从定义出发，寻找等价条件，探寻定义点的集合

①∠MPN=90°②∠MPN=45°③45°<∠MPN<90°？如何实现？

方法二从定义出发，寻找等价条件，探寻定义点的集合

分类∠MPN=90°∠MPN=45°45°<∠MPN<90°性质点P的集合画法及图形

PPP直径所对的圆周角为直角点P在以MN为直径的半圆上（不与点M、N重合）圆周角定理同弧所对的圆周角相等

同弧所以的圆周角比圆内角小，比圆外角大蓝色覆盖区域分类∠MPN=90°∠MPN=45°45°<∠MPN<

方法二

从定义出发，寻找等价条件，探寻定义点的集合

坐标系中满足条件的点P的位置两条弧＋蓝色区域(不包含点M、N)判断点P是否在区域内部坐标系中满足定义的点P的集合

方法二从定义出发，寻找等价条件，探寻定义点的集合

中考新定义问题解题策略分析中考新定义问题解题策略分析认识新定义问题认识新定义问题1061.什么是新定义问题？

“新定义”问题：主要是指在问题中新定义了一些数学概念，然后要求同学们现场读懂题意，理解新定义的含义，并结合已有知识解决问题的一种题型.

往往题目中新定义的概念分在几何背景下和在代数背景下的两类；本节课，我们主要介绍几何背景下的新定义问题.1.什么是新定义问题？“新定义”问题：主要是指在问2.新定义问题能力要求和解题思路解题思路：

新定义问题会设置多问，从特殊到一般，环环相扣；一般第一问是对第二问的铺垫，而第二问是对第一问的深化;同学们在阅读新定义，逐问解决问题的过程中，不断加深对定义内涵的理解.历经一个完整独立的分析问题、解决问题的过程.能力要求：

考查同学们的现场学习能力即阅读理解能力、分析解决问题的能力、建立远联系的能力，培养同学们自主学习、主动探究的品质.2.新定义问题能力要求和解题思路解题思路：能力要求：

新定义问题举例1在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题结构及总结解题策略新定义问题举例1在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题109新定义学习案例1新定义：对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.新定义学习案例1新定义：新定义学习案例1读定义：定义的对象是半圆，我们会关注圆心和半径.新定义：对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.新定义学习案例1读定义：定义的对象是半圆，我们会关注圆心和半（1）点M关于△ABC的内半圆：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上在画图的过程中感受给定一个点M，圆心确定，会画出无数个内半圆，半径可以非常小，也可以逐渐变大.即给定一个点M，可以存在无数个点M关于△ABC的内半圆.（1）点M关于△ABC的内半圆：在画图的过程中感受给定一个点（2）点M关于△ABC的最大内半圆：半径最大的内半圆.在画图的过程中感受半径最大的内半圆就是和边AB（以BC为一边的较小的内角的另一边）相切的那个半圆.一个点M对应无数个点M关于△ABC的内半圆，对应着唯一的一个最大内半圆.（2）点M关于△ABC的最大内半圆：半径最大的内半圆.在画图（3）BC关于△ABC的内半圆：若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆BC上有无数个点M，无数个点M对应着无数个最大内半圆，其中最大的就是BC关于△ABC的内半圆.在画图的过程中感受BC关于△ABC的内半圆就是与边AB、AC

均相切的半圆.圆心即在∠CAB的平分线和边BC交点的位置.（3）BC关于△ABC的内半圆：BC上有无数个点M，无数个点理清三个定义之间的逻辑关系点M关于△ABC的内半圆（无数个）点M关于△ABC的最大内半圆（一个）BC关于△ABC的内半圆（一个）M为定点半径最大M为动点半径最大在△ABC内或与除BC外的两边相切与以BC为一边的最小角的另一边（即AB）相切与除BC外的两边（即AB、AC）均相切圆心M确定，半径不定圆心M确定，半径确定圆心M确定，半径确定理清三个定义之间的逻辑关系点M关于△ABC的内半圆（无数个）核心：BC关于△ABC的内半圆的圆心M在∠CAB的平分线和边BC的交点处，

半径即为圆心M到除BC外的两边的距离.BC关于△ABC的内半圆与边AB、AC均相切的半圆圆心M到边AB、AC距离相等即ME=MF圆心M在∠BAC的平分线上核心：BC关于△ABC的内半圆的圆心M在∠CAB的平分线和边Q1:不同形状的三角形，BC关于三角形的内半圆的圆心和半径

确定的方法一样吗？Q2:不同形状的三角形对上述内半圆的半径的变化有何影响？Q1:不同形状的三角形，BC关于三角形的内半圆的圆心和半径研究方法：我们尝试在不同形状的三角形中画出内半圆

的过程中去总结圆心的位置及半径的变化规律.如何实现有序画出不同形状的三角形？如何分类？分类的标准？（目标）根据半圆和三角形相切的位置研究方法：我们尝试在不同形状的三角形中画出内半圆如何实现有序步骤：第一步：先确定一条边BC;第二步：再确定∠B的大小；第三步：点A在射线BG上运动；第四步：在第三步点A运动的过程中，

在确定∠C的同时，

再调整∠B的大小.确定一个三角形需要三个元素步骤：确定一个三角形需要三个元素有序改变三角形形状的方法：控制变量△ABC中，已知BC和∠B.通过控制∠B的大小，顶点A的位置来改变三角形的形状.即在三角形的三个元素中，先确定其中的一个元素，即一条边，再确定第二个元素，即一个角，改变第三个元素.请大家尝试画图即在三角形的三个元素中，先确定其中的一个元素，即一条边，再确首先，确定∠B，设为锐角，点A在射线BG上运动，改变∠C的大小从而实现改变△ABC的形状共有三种情况：分类的标准：BC的内半圆的位置，即与三角形的边相切的位置.首先，确定∠B，设为锐角，点A在射线BG上运动，改变∠C的大总结：我们发现在点A沿射线BG向右上方运动的过程中，1.BC关于△ABC的内半圆始终与以BC为边的最小锐角∠B的另一边相切；2.当点A在从点B向右上到过点C垂直于BC的直线与BG的交点处运动过程中即情形1的位置，内半圆的半径逐渐增大,当点A由情形2再继续运动到如情形3的位置时，内半圆的位置和半径均不变.3.当情形1、情形2时，内半圆与除BC外的两边均相切；4.特别的，情形2中的一切点即为BC的一个端点，即直角三角形的直角顶点.

总结：我们发现在点A沿射线BG向右上方运动的过程中，其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3都不需要再继续讨论，情形1时，∠B的变化会产生新的三角形.其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3都不需要再继续讨论，情形1时，∠B的变化会产生新的三角形.其次，确定上述三种状态的∠C，再让∠B变化.上述的情形2和3

在点A的运动过程中，我们发现BC关于△ABC的内半圆的圆心，除∠ACB为钝角时，均在∠CAB的角平分线与边BC的交点上；当∠ACB为钝角时，圆心的位置和∠ACB为直角时一样.

在点A的运动过程中，我们发现BC关于△ABC当∠ACB为钝角时，BC关于△ABC的内半圆与边AB相切，并且过点C，所以圆心M，可以通过构造以C为直角顶点的直角三角形BCD,再作∠CDB的角平分线，它和边BC的交点即为点M所处的位置.这也就是上述当∠ACB为钝角时，圆心的位置和∠ACB为直角时一样的原因.

当∠ACB为钝角时，BC关于△ABC的内半圆与边AB相切，并

【总结】2.在画图的过程中，我们先直观的发现，再借助推理的方式得到：

对于不同形状的三角形，确定BC关于△ABC的内半圆的圆心的位置的方法：

将半圆与三角形除BC外另两边均相切的位置关系转化为圆心到这两边的距离相等（即用数量关系来刻画位置关系）再转化为到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，经过二重转化，我们即可得到圆心M即为∠BAC的角平分线和边BC的交点.【总结】【总结】3.在画图的过程中，我们还可以直观的感知

BC关于△ABC的内半圆的半径的变化规律：

当BC和∠B（设为锐角）一定时，半径r随着∠C的增大而增大.

当∠B为直角和钝角时，同理可以证明半径r亦是随着∠C的增大而增大.【总结】

当∠B为直角和钝角时，同理可以证明半径r亦是随着2021年中考数学·中考新定义问题解题策略分析及与点有关的新定义问题梳理课件

②

如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；此问就是要在特殊的三角形中寻找圆心D的位置，即当点D处在什么位置时，点D关于△ABC的最大内半圆的半径最长.②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径【总结】本问的目的：在特殊的背景下猜想BC关于△ABC的内半圆就是和AB和AC均相切的半圆，圆心即为是∠BAC的角平分线和BC的交点.【总结】点P的运动会对内半圆的位置和半径的长度产生怎样的影响R的范围点P的位置点P的运动会对内半圆的位置和半径的长度产生怎样的影响R的范围当点P从原点向右上方运动的过程中，OE关于△OEP的内半圆始终与OP相切，半径越来越长.当OEP为钝角时，半径不变.F当点P从原点向右上方运动的过程中，OE关于△OEP的内半圆始FF

F

Ft=3Ft=3F

t=3

FF

t=3

FF

当点P继续向左下方运动时，内半圆始终与EP相切，且过点O，半径逐渐增大.

N当点P继续向左下方运动时，内半圆始终与EP相切，且过点O，

当点P继续向下方运动时，内半圆一直与EP相切，且过点O，半径逐渐增大.此种情况不存在NN当点P继续向下方运动时，内半圆一直与EP相切，且过点O，半

t=3

此种情况不存在

t=3

此种情况不存在1.在这道题中，确定不同形状的三角形的一边的最大内半圆的圆心位置和观察运动变化中半径的变化是最关键的.将一边的最大内半圆定位为与三角形除已知边外另两边同时相切的圆，将与角两边同时相切的圆的圆心的位置确定的问题转化为到角两边距离相等的点再到这样的点在角的平分线上，这一问题转化的过程是圆心得以确定的核心.这是从几何到代数再到几何的一个转化过程.2.问题设计的基本结构第一问（1）的设计，是通过对特殊的图形背景下问题的解答，让我们来初步认识“新定义”的数学概念.第一问（2）的设计，是通过特殊的图形背景下的问题让我们进一步形成初步的解决问题的方法或者是结论第二问的设计，借助第一问形成的方法或者结论应用到解决相关的更复杂的问题中.【总结】3.在分析问题的过程中我们要养成借助几何直观（即画图)分析问题，形成结论的习惯;

并且观察当点在运动变化时所关注的量的运动变化规律;

善于在解答简单特殊的图形问题中去猜想和发现一般的规律.1.在这道题中，确定不同形状的三角形的一边的最大内半圆的圆心现场学习时间非常的短，我们来不及把定义的内涵挖掘的那么深入，往往都是在不断解决问题的过程中去积累，问题的设置也会按照由易到难的顺序，而且前面的问一定会为解决后续问进行方法上的铺垫.现场学习时间非常的短，我们来不及把定义的内涵挖掘的那么深入，

新定义问题举例2在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题结构及总结解题策略新定义问题举例2在解决具体问题的过程中体会新定义问题的命题145

新定义学习案例2

新定义学习案例2研究对象:是过两个定端点的弧.理解定义：1.如何作出过两个定端点的弧?2.一个图形的中内弧有多少条？有最长的内弧？或最短的内弧么？

影响弧的长短的因素是什么？3.中内弧亦如上问.

研究对象:是过两个定端点的弧.

1.如何作出过两个定端点的弧？

由于弧是圆的一部分，而且弧的两个端点是定点，所以，我们只要确定圆心的位置便可确定弧的位置和大小，由于圆心到弧的两端点距离相等，由垂直平分线的判定定理，圆心在弧的两端点连线的垂直平分线上.1.如何作出过两个定端点的弧？

由于弧是圆的一部分，而且弧的由于圆心的位置不确定，影响了弧的位置和大小，所以过两个定端点的弧应该不只一条，由于图形不同，具体内弧的条数受图形自身范围所限.而要作出一个三角形的中内弧，中内弧的两个端点是定点，就是构造过两个定点的弧，方法同上.2.一个图形的中内弧有多少条？有最长的内弧？或最短的内弧么？

影响弧的长短的因素是什么？3.中内弧亦如上问.要想研究内弧，中内弧，就先要将过两个定点的弧研究清楚.由于圆心的位置不确定，影响了弧的位置和大小，所以过两个定端点1.在画图的过程中，我们会观察到线段PQ（即弦PQ）所对上下两段弧（如图1），而我们关注的是劣弧或半圆.2.当圆心在弦PQ上方时，只有PQ下方的弧为劣弧，圆心距离弦越近，半径越小，劣弧PQ就愈长，弧越远离弦PQ.(如图2)3.当圆心和弦PQ中点E重合时，PQ上方、下方的弧皆为半圆.（如图3）4.当圆心在弦PQ下方时，只有PQ上方的弧为劣弧，圆心距离弦越近，半径越小，劣弧PQ就愈长，弧越远离弦PQ.(如图4)图1图2图3图4借助画图，研究过两个定点的弧1.在画图的过程中，我们会观察到线段PQ（即弦PQ）所对上下总结：过两定端点的弧的大小和位置是由圆心的位置决定的.而规律就是：圆心距离弦PQ越近，则弧越长，弧的位置距离弦PQ越远；圆心处在弦PQ上方时，劣弧PQ在弦PQ下方，反之亦然.总结：

无需多想，只要调整圆心的位置，使劣弧上所有的点完全在图形内部或者图形上就好.

无需多想，只要调整圆心的位置，使劣弧上所有的点完全在图形内

E

E

【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.A（4，0），B（0,n)x=6x=6x=2x=2【问题3】当m=0时A（4，0），B（0,n)x=6x=6x【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.FB

n>4【问题3】当m=0时FB

n>4【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.当n>4时【问题3】当m=0时当n>4时【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

当n>4时【问题3】当m=0时

当n>4时【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

【问题3】当m=0时

【问题3】当m=0时（1）连接OA、OB并延长，若直线x=6上存在∠AOB的内弧所在圆的圆心P，请求出n的取值范围.

【问题3】当m=0时

或

圆心P在点G上方和点H下方

或

圆心P在点G上方和点H下方

有一条即可

有一条即可1.本题的关键是几何量向几何量之间的转化，即把弧的长度转化为用圆心到弦的距离来刻画,这是解决此问题的核心.2.在分析圆心的位置对内弧的大小和位置产生怎样的影响时，我们让圆心有序的运动并进行比较总结，对于发现规律是有效的办法.【总结】1.本题的关键是几何量向几何量之间的转化，即把弧的长度转化为3.每一问设计的意图问题1的①问意义是，结合图形通过解答初步认识新定义，即内弧即为端点确定的一

段弧，知晓圆心在弦的垂直平分线上即可.问题1的②问意义是，通过进一步解答特殊位置的数学问题来形成初步方法或结论.结论：弧的大小和位置会和圆心的位置相关.在弦AB的一侧(包含形外位置)圆心的临界位置时弦AB的中点，在弦的另一侧，圆心运动的临界位置是当圆与射线OA，OB相切时.这里在操作上，重要的是画图，借助几何直观感受圆心的位置变化对弧的大小和位置产生的影响.并且对结论进行总结.

问题2的意义是，利用问题1的②问形成的方法和结论，应用其解决更一般情形下的

数学问题，进行再总结.

问题3的意义是，利用问题2中总结的结论和方法解决较复杂的问题.【总结】3.每一问设计的意图【总结】4.同第一个例题一样，在分析问题的过程中依然是要养成借助几何直观(即画图)分析问题，形成结论的习惯;并且观察当点在运动变化时所关注的量的运动变化规律.善于在解答简单特殊的图形问题中去猜想和发现一般的规律.

6.在第3问的（2）中，我们要关注逻辑名词的含义.即任意一个是指全部，所有，一个都不能少，存在是指有一条即可.【总结】4.同第一个例题一样，在分析问题的过程中依然是要养成借助几何

解题策略总结解题策略总结186

面对几何背景的新定义问题，我们通常会先从特殊的图形初步认识新定义，然后进一步来解决特殊化的数学问题，这一步是问题解决的核心部分，其主要是借助于几何图形或者将其转化为其他的几何或是代数的结论后直接产生结论或方法，不需要严格的推理论证；最后利用上述形成的结论或方法解决最后的数学问题.面对几何背景的新定义问题，我们通常会先从特殊的图形初2021年中考数学·中考新定义问题解题策略分析及与点有关的新定义问题梳理课件与“点”有关的新定义问题与“点”有关的新定义问题189对“点”的认识——“点”——基本元素你了解“点”吗？对“点”的认识——“点”——基本元素你了解“点”吗？对“点”的认识“点”——构成图形、图象基本元素“点”——分析“点”蕴含的信息体现研究方法线段垂直平分线的定义示例：从“点”的视角看垂直平分线AC=BCAB⊥CDDA=DB垂直平分线的性质与判定点D在线段垂直平分线上又如：平移、轴对称和旋转的几何变换研究抓住对应点进行研究发现结论对“点”的认识“点”——构成图形、图象基本元素“点”——分析对“点”的认