线性代数课后习题提示

线性代数习题提示在本习题提示中，我们将参考三本书：.线性代数，居余马等，简称《教材》.线性代数学习指南，居余马等，简称《指南》.线性代数学习指导及习题解答，中国海洋大学数学科学学院线性代数课题组，简称《习题册》第一章课后习题提示习题.对角线法展开，或按定义沿第一行展开.对角线法展开，或按定义沿第一行展开，此行列式需记牢!.对角线法展开，或按定义沿第一行展开.沙路法展开，或按定义沿第一行展开.沙路法展开，或按定义沿第一行展开.沙路法展开，或按定义沿第一行展开.参见《指南》第21页.沙路法展开，或按定义沿第一行展开以下习题提示中厂,为对第i行变换，cj为对第j行变换.此为副下三角行列式，利用《教材》第6页公式d=(—1产勿10.沿最后一行展开，并利用公式Dn0L0LD=10x(—1)。+10MN9L(n-1)(—172a10.沿最后一行展开，并利用公式Dn0L0LD=10x(—1)。+10MN9L(n-1)(—172a.La02M010二10xM09(9—1)一 一(—1/^9!=10!11.利用《教材》性质5,与上三角行列式公式11111—11111—11111—1r—r,r—r,r—r10001—20010—20100—2=—812.注意到每一行元素之和都为10因此将各列加到第一列并提出公因子得12342341123412341341011—3r+r+r+r10x41r—r,r—r,r—r10x21 2 3 4 12F 1~3 1~4 1 0—2—211230—1—1—1，r-2r,r+r10x341241233 24 21000210031—404—34—4二16013.考虑到行列式最后一列有零，利用性质5把最后一列前3个元素打成零得0423-220-12100423-220-1210-210120r-2r,r-r4120十 4-2 41111111利用514114.参见《指南》第22页-2=1x(-1>+40-21c+2c021=1x(-1)2)2+3=-715.行列式中有很多零《教材》第19页例9,利用公式12-1345二3216.行列式中有很多零用公式16.行列式中有很多零用公式将第三，五行互换可以得到第20页(1.21)的形式，利求解17.求解17.行列式中有很多零是第20页(1.22)的形式，利用公式=(一1%xm|a||b|D=(-1)3x2-104=-6018.=(-1)kxm|a||b|=(-1)3x50000-5000-4000-3000-2000-10000=(-1)3!(-1)5(5-4)(-1)L(-5)=3!5!19.利用《教材》性质3中的求和性质，把行列式展开成22个行列式之和，并结合性质4和6得aaxcabcbxaxcbxbcabc1111111111111-x2)a11D=aaxc+abc+bxaxc+bxbc=Ibc222222222222222aaxcabcbxaxcbxbcabc33333333333333320.止匕题跟例7非常类似，若x=0

1+X111111111一X111111111+y1一111+y11111—y1111一y利用例7的方法1+X 11 1—X1 11 11+X 11 1—X1 11 11 11 11+y 11 1—y1+X一X—X—X1一X0010y0100一yXXX+一yy00021.本题不是范德蒙行列式为此将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式1111111abcda2b2c2d2a3b3c3d31111abcda2b2c2d2a3b3c3d31

b

b2

b3（d一a）（d一b）（d一c）（c一a）（c一b）（b一a）同时将上面的行列式沿第三行展开得1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3因此本题中行列式为上述展式中d2的系数乘-1，为(a+b+c乂一a»(一c)£22.本题也不是范德蒙行列式，先行列互换一下，然后与上题一样将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式二（d一a）（d一b）（d一c）（c一a）（c一b）（b一a）同时将上面的行列式沿第二行展开得1

d

d2

d3因此本题中行列式为上述展式中d的系数，为(ab+bc+ca)(b-a)(c-a)(c-b)，又因为范德蒙行列式为=（b-a）（c-a）（c-b）

命题得证.参见《指南》第23页.参见《指南》第23页.参见《指南》第24页.因为第四行为第二，三行之和的一半，因此abc1abc1bca11 1bca1cab1r r r=04 22 23cab1b+cc+aa+b—10000222.行列式中有很多零，考虑利用《教材》第19页例9的公式，想化为该形式需要进行一些行列互换，然后利用公式AIBIai00b40a2b300b2ai00b40a2b300b2a30bi00a4aib40000a2b300b2a3bia400aib400bia40000a2b300b2a3a1b4b1a2alib"2=(aa-bb)(aa-bb)a14 14 23 23.参见《习题册》第19.参见《习题册》第19页.参见《习题册》第19页.参见《习题册》第19页.利用Gramer法贝|x=幺,x1D将5个4阶行列式化为上三角行列式求解.利用Gramer法则，系数行列式为因此01111110111011因此0111111011101110111111-1000-1000-100011r+r+r+r+r4x1111111111110-10 0 01r-r,r-r,r-r,r-r4x00-10 0=4-2 1-3 1-4 1-5 1100 0-10000 00-11111 1 1 100-10 0 00c+c,c+2c,c+3c,c+4c0 0-10 0=111 2 1 3 1 4 1"5"000 0-10-100 0 0-1同理可求得x2,x3,x433.参见《习题册》第19页34.参见《习题册》第20页35.将四个值代入函数中得如下方程a+(-1)a+(-1)2a+(-1)3a=0a+1义a+12义a+13义a=4TOC\o"1-5"\h\z< 0 1 2 3a+2义a+22义a+23义a=3a+3义a+32义a+33义a=16V0 1 2 3求解a0,a/a2,a3即可，特别的注意系数行列式为范德蒙1 -1 (-1)2 (-1)31 1 12 13=(-(-1))(2-(-1))(3-(-1))(2-1)(3-1)(3-2)=481 2 22 231 3 32 33.参见《习题册》第20页.参见《习题册》第23页，或《指南》第24页.参见《习题册》第23页.参见《习题册》第24页.参见《指南》第25页.参见《习题册》第24页，或《指南》第26页.参见《习题册》第24页.参见《习题册》第25页，或《指南》第27页.参见《习题册》第26页，或《指南》第28页.参见《习题册》第26页，或《指南》第31页.参见《习题册》第26页.参见《习题册》第27页.平面的一般方程为ax+by+以=d，分两种情况讨论：(1)若d=0，方程为ax+by+cz=0，将三点坐标代入得a+b+c=0<2a+3b-c=0、3a-b-c=0因为系数行列式1 1 1D