2023年北京市高考理科数学试题及答案3

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。〔1〕集合，.假设,那么的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕复数〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕开始〔4〕执行如下图的程序框图，输出的值为开始〔A〕〔B〕〔C〕是是〔D〕否否输出输出结束结束〔5〕如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。给出以下三个结论：；；其中，正确结论的序号是〔A〕①②〔B〕②③〔C〕①③〔D〕①②③〔6〕根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间〔单位：分钟〕为〔为常数〕。工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕某四面体的三视图如下图，该四面体四个面的面积中最大的是4483434侧〔左〕视图正〔主〕视图〔B〕侧〔左〕视图正〔主〕视图〔C〕10俯视图〔D〕俯视图〔8〕设，，，〔〕，记为平行四边形内部〔不含边界〕的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，那么函数的值域为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。〔9〕在中，假设，，那么；。〔10〕向量，，，假设与共线，那么。〔11〕在等比数列中，假设，，那么公比；。〔12〕用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个。〔用数字作答〕〔13〕函数过关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是。〔14〕曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出以下三个结论：曲线过坐标原点；曲线关于坐标原点对称；假设点在曲线上，那么的面积不大于；其中，所有正确结论的序号是。三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。〔15〕〔本小题共13分〕函数，〔I〕求的最小正周期；〔Ⅱ〕求在区间上的最大值和最小值；〔16〕〔本小题共14分〕如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，。〔I〕求证：平面〔Ⅱ〕假设，求与所成角的余弦值；〔Ⅲ〕当平面与平面垂直时，求的长；〔17〕〔本小题共13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以表示。乙组甲组乙组甲组990891110〔I〕如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；〔Ⅱ〕如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望；注：方差，其中为的平均数〔18〕〔本小题共13分〕函数。〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设对于任意的，都有，求的取值范围；〔19〕〔本小题共14分〕椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，〔Ⅰ〕求椭圆的焦点坐标及离心率；〔Ⅱ〕将表示为的函数，并求的最大值；〔20〕〔本小题共13分〕假设数列〔〕满足，那么称为数列，记。〔Ⅰ〕写出一个满足，且的数列；〔Ⅱ〕假设，证明数列是递增数列的充要条件是；〔Ⅲ〕对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。2023年北京市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题5分，总分值40分〕1．C2．A3．B4．D5．A6．D7．C8．C二、填空题〔共6小题，每题5分，总分值30分〕9．；2．10．111．﹣2，12．1413．〔0，1〕14．②③三、解答题〔共6小题，总分值80分〕15．解：〔Ⅰ〕∵=4cosx〔〕﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin〔2x+〕所以函数的最小正周期为π〔Ⅱ〕∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤∴当2x+=，即x=时，f〔x〕取最大值2当2x+=﹣时，即x=﹣时，f〔x〕取得最小值﹣116．解：〔I〕证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC〔II〕设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，那么P〔0，﹣，2〕，A〔0，﹣，0〕，B〔1，0，0〕，C〔0，，0〕所以，设PB与AC所成的角为θ，那么cosθ=|〔III〕由〔II〕知，设，那么设平面PBC的法向量=〔x，y，z〕那么=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．17．解：〔I〕当X=8，乙组同学植树棵树是8，8，9，10平均数是=方差为+=〔II〕当X=9时，甲同学的指数棵树是9，9，11，11；乙组同学的植树棵树是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有4×4=16种结果，这两名同学植树的总棵树Y可能是17，18，19，20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P〔Y=17〕=P〔Y=18〕=P〔Y=19〕=P〔Y=20〕=，P〔Y=21〕=∴随机变量的期望是EY==1918．解：〔Ⅰ〕=，令f′〔x〕=0，得x=±k当k＞0时，f′〔x〕f〔x〕随x的变化情况如下：所以，f〔x〕的单调递增区间是〔﹣∞，﹣k〕，和〔k，+∞〕，单调递减区间是〔﹣k，k〕；当k＜0时，f′〔x〕f〔x〕随x的变化情况如下：所以，f〔x〕的单调递减区间是〔﹣∞，k〕，和〔﹣k，+∞〕，单调递增区间是〔k，﹣k〕；〔Ⅱ〕当k＞0时，，∵f〔k+1〕=，∴不会有任意的x∈〔0，+∞〕，都有f〔x〕≤，当k＜0时，由〔I〕知f〔x〕在〔0，+∞〕上的最大值是f〔﹣k〕=，∴任意的x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≤，⇔f〔﹣k〕=≤，解得﹣，故对于任意的x∈〔0，+∞〕，都有f〔x〕≤，k的取值范围是﹣．19．解：〔I〕由题意得a=2，b=1，所以c=∴椭圆G的焦点坐标离心率e=．〔II〕由题意知：|m|≥1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A〔1，〕点B〔1，﹣〕此时|AB|=；当m=﹣1时，同理可得|AB|=；当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k〔x﹣m〕，由⇒〔1+4k2〕x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕那么x1+x2=又由l与圆圆x2+y2=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1⇒m=，所以|AB|===，由于当m=±1时，|AB|=，当m≠±1时，|AB|=，此时m∈〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕又|AB|=≤2〔当且仅当m=±时，|AB|=2〕，所以，|AB|的最大值为2．故|AB|的最大值为2．20．解：〔Ⅰ〕0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5〔Ⅱ〕必要性：因为E数列An是递增数列所以ak+1﹣ak=1〔k=1，2，…，1999〕所以An是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+〔2000﹣1〕×1=2023充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1=12，a2000=2023所以a2000=a1+1999故ak+1﹣ak=1＞0〔k=1，2，…，1999〕，即An是递增数列．综上所述，结论成立．〔Ⅲ〕设ck=ak+1﹣ak〔k=1，2，…，n﹣1〕，那么ck=±1因为a2=a1+c1a3=a1+c1+c2…an=a1+c1+c2+…+cn﹣1所以S〔An〕=na1+〔n﹣1〕c1+〔n﹣2〕c2+〔n﹣3〕c3+…+cn﹣1=〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+…+1﹣[〔1﹣c1〕〔n﹣1〕+〔1﹣c2〕〔n﹣2〕+…+〔1﹣cn﹣1〕]=因为ck=±1，所以1﹣ck为偶数〔k=1，2，…，n﹣1〕〕所以〔1﹣c1〕〔n﹣1〕+〔1﹣c2〕〔n﹣2〕+…+〔1﹣cn﹣1〕为偶数所以要使S〔An〕=0，必须=使为偶数即4整除n〔n﹣1〕，亦即n=4m或n=4m+1〔m∈N*〕当n=4m〔m∈N*〕时，E数列An的项满足a4k+1=a4k﹣1=0