高中数学高考 2021届小题必练16 导数及其应用（文）-教师版

小题必练小题必练16：导数及其应用函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点．高考中主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、极大（小）值、最大（小）值和周期性；考查幂函数、对数函数的图像和性质以及函数的应用；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值，研究方程不等式．对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，题型能力立意的命题原则．1．【2018全国高考真题（文）】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D．【点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果．2．【2019全国高考真题（文）】曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．，，则在点处的切线方程为，即，故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．一、选择题．1．函数的图象在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，，所以切线方程为，故选A．2．若函数是定义在上的奇函数，则的图像在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，所以，所以，则，所以，又，所以所求的切线方程为，即，故选D．3．记函数的导函数为，则函数在内的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，令，解得，在内的递增区间为，故选C．4．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立，令，，因为，所以在上递减，所以，所以问题转化为恒成立，令，则，由，可得；，可得．所以在上递增，在上递减．所以，所以．故选C．5．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，则，故函数为奇函数．故原不等式，可转化为，即；又，由于，故，所以恒成立，故函数单调递增，则由，可得，即，解得，故选B．6．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，且，所以函数为单调递减的奇函数，因此，即，选A．7．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，∵，即，即，故是奇函数，由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续．∵在上有，∴，故在单调递增，又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，∵，∴，即，∴，故，故选B．8．已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，则，令，解得；令，解得，故在递减，在递增，故，令，解得；令，解得，故在递减，在递增，故，解得，故选A．9．已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则方程为，解得，且，，当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，可知在处取得极小值；当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，可知在处取得极大值，如图作出函数的图象，要使关于x的方程有5个不同的实根，有，解得，故选B．10．若实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故可得，，故点，可理解为函数，上的任意两点．又，令，故可得，即函数在处的切线与平行，又切线方程为，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，，故的最小值即为，故选D．11．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得函数关于对称，由得，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数，因为，若时，函数在上为增函数，满足对任意的，，此时；若，∵函数关于对称，则，则，由，得，此时，即；即对任意的，，得；反之也成立，所以对任意的，则成立的充要条件为“”．故选B．12．若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，故选B．二、填空题．13．设曲线在点处的切线方程为，则__________．【答案】【解析】设，因为，根据导数的几何意义可知，，所以，解得．故答案为．14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】，．在时有两个根，令，，当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，且，当时，；当时，，与要有两个交点，，故答案为．15．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_______．【答案】【解析】，因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．若，即时，则，即，故；若，即时，则，即，无解；若，则，即，，故，故答案为．16．已知函数，，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】因为，所以，令，解得或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以函数在上的最大值为，因为对于任意的，，都有成