1996考研数学三真题和详解

.1996年全国硕士研究生入学一致考试数学三试题一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程xyy确立y是x的函数,则dy___________.(2)设xf(x)dxarcsinxC,则1dx___________..f(x)(3)设x0,y0是抛物线yax2bxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应知足的关系是___________.设111L1x11a1a2a3Lanx21Aa12a22a32Lan2,Xx3,B1,MMMMMMa1n1a2n1a3n1Lann1xn1此中(;,1,2,,)TaiajiijL则线性方程组AXB的解是___________.jn.(5)设由来自正态整体X~N(,0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值X5,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(此题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分2dcosf(rcos,rsin)rdr能够写成()001dyyy2f(x,y)dx1dy1y2(A)0(B)00f(x,y)dx0(C)1dx1f(x,y)dy(D)1dxxx2000f(x,y)dy0(2)下述各选项正确的选项是()(A)若un2和vn2都收敛,则(unvn)2收敛n1n1n1(B)unvn收敛,则un2与vn2都收敛n1n1n1(C)若正项级数un1发散,则unn1n...(D)若级数un收敛,且uv(n1,2,L),则级数vn也收敛nnn1n1(3)设n阶矩阵A非奇怪(n2),A是矩阵A的陪伴矩阵,则()(A)(A)An1(B)A(C)(A)An2(D)A

n1(A)AAn2(A)AA(4)设有随意两个n维向量组1,L,m和1,L,m,若存在两组不全为零的数1,L,m和k1,L,km,使(1k1)1L(mkm)m(1k1)1L(mkm)m0,则()(A)1,L,m和1,L,m都线性有关(B)1,L,m和1,L,m都线性没关(C)(D)

1,L,11,L,

mm,11,L,mm线性没关mm,11,L,mm线性有关(5)已知0P(B)1且P[A1A2B]P(A1B)P(A2B),则以下选项建立的是()(A)P[A1A2B]P(A1B)P(A2B)PA1BA2BP(A1B)P(A2B)(C)PA1A2P(A1B)P(A2B)(D)PBPA1P(BA1)P(A2)P(BA2)三、(此题满分6分)g(x)ex设f(x)x,x0,此中g(x)有二阶连续导数,且g(0)1,g(0)1.0,x0,求f(x)；(2)议论f(x)在(,)上的连续性.四、(此题满分6分)...设函数zf(u),方程x确立u是的函数,此中f(u),(u)可u()()dtx,yy微；p(t),(u)连续,且(u)1.求p(y)zp(x)z.xy五、(此题满分6分)xex计算0(1ex)2dx.六、(此题满分5分)1设f(x)在区间[0,1]上可微,且知足条件f(1)22xf(x)dx.试证:存在(0,1)使0f()f()0.七、(此题满分6分)设某种商品的单价为p时,售出的商品数目Q能够表示成Qac,此中a、b、pbc均为正数,且abc.(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增添或减少.要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?八、(此题满分6分)求微分方程dyyx2y2的通解.dxx九、(此题满分8分)01001000设矩阵A.00y10012已知A的一个特点值为3,试求y；求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.十、(此题满分8分)设向量1,2,L,t是齐次线性方程组AX0的一个基础解系,向量不是方程组...AX0的解,即A0.试证明:向量组,1,2,L,t线性没关.十一、(此题满分7分)假定一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获收益10万元；发生一次故障仍可获取收益5万元；发生两次故障所获收益0元；发生三次或三次以上故障就要损失2万元.求一周内希望收益是多少?十二、(此题满分6分)考虑一元二次方程x2BxC0,此中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、(此题满分6分)假定X1,X2,L,Xn是来自整体X的简单随机样本；已知EXkak(k1,2,3,4).证明：当n充分大时,随机变量Zn1nXi2近似听从正态散布,并指出其散布参数.ni1...1996年全国硕士研究生入学一致考试数学三试题分析一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】dxlnyx1【分析】方法1：方程xyy两边取对数得lnxlnyyylny,再两边求微分,1dxlny1dydyx11dxxlny10.xlny方法2：把xyy变形得xeylny,而后两边求微分得dxeylnydylnyyy1lnydyx1lnydy,由此可得dy1dx.x1lny(2)【答案】11x23C3【分析】由xf(x)dxarcsinxC,两边求导数有xf(x)arcsinx11x1x2,1x2f(x)于是有1dxx1x2dx11x2dx2f(x)211x2d1x2211x233C.【答案】c(3)0(或ax2c),b随意a0【分析】对yax2bxc两边求导得y2axb,yx02axb,0所以过x0,y0的切线方程为yy02ax0bxx0,即yax02bx0c2ax0bxx0.又题设知切线过原点0,0,把xy0代入上式,得ax02bx0c2ax02bx0,即ax02c....因为系数a0,所以,系数应知足的关系为c0(或ax02c),b随意.a(4)【答案】T100,L0,,【分析】因为A是范德蒙队列式,由aiaj知Aaiaj0.依据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组ATXB有独一解.依据克莱姆法例,关于1aa2Lan1x111111aa2Lan1x212221a3a32La3n1x31,MMMMMM1anan2Lann1xn1易见D1A,D2D3LDn0.所以ATXB的解为x11,x2x3Lxn0,即1,0,0,LT,0.【有关知识点】克莱姆法例：若线性非齐次方程组a11x1a12x2La1nxnb1,a21x1a22x2La2nxnb2,LLLLLLLLLLan1x1an2x2Lannxnbn.n或简记为aijxjbi,L,ni1,2,j1其系数队列式a11a12La1nDa21a22La2n0,MMMan1an2Lann则方程组有独一解xjDj,j1,2,L,n.D此中Dj是用常数项b1,b2,L,bn替代D中第j列所成的队列式,即...a11La1,j1b1a1,j1La1nDja21La2,j1b2a2,j1La2n.MMMMMan1Lan,j1bnan,j1Lann【答案】(4.412,5.588)【分析】能够用两种方法求解：(1)已知方差20.92,对正态整体的数学希望进行预计,可依据因X:N(,0.92),设有n个样本,样本均值X1nXi,ni1有X:N(0.92XE(X)得：D(X)nnX~N(0,1)1n由正态散布分为点的定义PXu1可确立临界值u,122n从而确立相应的置信区间(xun,xu).22n(2)此题是在单个正态整体方差已知条件下,求希望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间xu,xu,2n2n此中PUu1,U:N(0,1),能够直接得出答案.2方法1：由题设,10.95,可见0.05.查标准正态散布表知分位点u1.96.本2题n9,X5,所以,依据P{X1.96}0.95,有1nP{51.96}0.95,即P{4.4125.588}0.95,19...故的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).方法2：由题设,10.95,P{Uu}P{uUu}2(u)10.95,(u)0.97522222查得u1.96.20.92,n9,X5代入(xu,xun)得置信区间(4.412,5.588).2n2二、选择题(此题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【分析】方法1：由题设知,积分地区在极坐标系xrcos,yrsin中是Dr,|0,0rcos,22即是由x1y21与x轴在第一象限所围成的y241平面图形,如右图.2因为D的最左侧点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,下界限方程是y0,上界限的方程是yxx2,从而DO

11x2的直角坐标表示是Dx,y|0x1,0yxx2,故(D)正确.方法2：采纳逐渐裁减法.因为(A)中二重积分的积分地区的极坐标表示为D1r,|0,0rsin,2而(B)中的积分地区是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分地区是正方形x,y|0x1,0y1,所以,他们都是不正确的.故应选(D).【答案】(A)【分析】因为级数un2和vn2都收敛,可见级数un2vn2收敛.由不等式n1n1n12unvnun2vn2...及比较鉴别法知级数2unvn收敛,从而2unvn收敛.n1n1又因为unvn2un2vn22unvn,即级数n1unvn2收敛,故应选(A).设un12,vn1n1,2,L,可知(B)不正确.n设un11n1,2,L,可知(C)不正确.n2nn1设un1,vn1n1,2,L,可知(D)不正确.nn注：在此题中命题(D)“若级数un收敛,且unv(n1,2,L),则级数vn也收敛.”nn1n1不正确,这表示：比较鉴别法合用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的鉴别,但对随意项级数一般是不合用的.这是随意项级数与正项级数收敛性鉴别中的一个根本差别.【答案】(C)【分析】陪伴矩阵的基本关系式为AAAAAE,现将A视为关系式中的矩阵A,则有A(A)AE.方法一：由An1A,可得A及(A)1A(A)A(A)1n1An2AAA.A故应选(C).方法二：由A(A)AE,左乘A得n1n1(AA)(A)AA,即(AE)(A)AA.故应选(C).【答案】(D)【分析】此题考察对向量组线性有关、线性没关观点的理解.若向量组1,2,L,s线性没关,即若x11x22Lxss0,必有x10,x20,L,xs0.既然1,L,m与k1,L,km不全为零,由此推不出某向量组线性没关,故应清除(B)、(C).一般状况下,关于k11k22Lkssl11Llss0,...不可以保证必有k11k22Lkss0,及l11Llss0,故(A)不正确.由已知条件,有111Lmmmk111Lkmmm0,又1,L,m与k1,L,km不全为零,故11,L,mm,11,L,mm线性有关.应选(D).(5)【答案】(B)【分析】依题意PA1A2BPABPABPABABPAB)P(AB12,1212.P(B)P(B)P(B)P(B)P(B)因P(B)0,故有PA1BA2BPA1B)P(A2B.所以应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们以为(D)是全概率公式,对任何事件B都建立,可是忽视了全概率公式中要求作为条件的事件A1,A2应知足P(A1)0,P(A2)0,且A1,A2是对峙事件.【有关知识点】条件概率公式：P(AB)P(B|A).P(A)三、(此题满分6分)【分析】(1)因为g(x)有二阶连续导数,故当x0时,f(x)也拥有二阶连续导数,此时,f(x)可直接计算,且f(x)连续；当x0时,需用导数的定义求f(0).当x0时,f(x)x[g(x)ex]g(x)exxg(x)g(x)(x1)exx2x2.当x0时,由导数定义及洛必达法例,有f(0)limg(x)exg(x)exg(x)exg(0)1x2洛lim2x洛lim22.x0x0x0xg(x)g(x)(x1)exx0,f(x)x2,所以g(0)1,x0.2(2)f(x)在x0点的连续性要用定义来判断.因为在x0处,有limf(x)limxg(x)g(x)(x1)exx2x0x0...limg(x)xg(x)g(x)ex(x1)exx02xlimg(x)exg(0)1f(0).x022而f(x)在x0处是连续函数,所以f(x)在(,)上为连续函数.四、(此题满分6分)【分析】由zf(u)可得zf(u)u,zf(u)u.xxyy在方程uxp(t)dt两边分别对x,y求偏导数,得(u)yu(u)up(x),u(u)up(y).xxyy所以u1p(x),u1p(y).x(u)y(u)于是p(y)zp(x)zp(x)p(y)p(x)p(y)f(u)0.xy1(u)1(u)五、(此题满分6分)【剖析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不一样的函数相乘,应当用分部积分法.【分析】方法1:因为xex1xdx(1ex)2dxxd1ex分部积分1ex1exxex1e

xexxdxxx1xd(1ex)1e1e1exln(1ex)C,所以0而limx

xxxex)2dxlimxexln(1ex)ln2.(1ex1exexxln(1ex)limxexxlnex(1ex)1ex1elimxexxxln(1ex)x1e...limx00,1xxe故原式ln2.方法2:xexxex10(1ex)2dx0(1ex)2dx0xd1exxdxdxexxdx1exxx1e001e01e01xd(1ex)ln(1ex)0ln2.01e六、(此题满分5分)【剖析】由结论可知,若令(x)xf(x),则(x)f(x)xf(x).所以,只要证明(x)在[0,1]内某一区间上知足罗尔定理的条件.【分析】令(x)xf(x),由积分中值定理可知,存在1),使(0,21112xf(x)dx2(x)dx(),20011由已知条件,有f(1)22xf(x)dx()(),于是202(1)f(1)(),且(x)在(,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),使得()0,即f()f()0.【有关知识点】1.积分中值定理：假如函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一个点,使下式建立：bf()(ba)ab.f(x)dxa这个公式叫做积分中值公式.罗尔定理：假如函数f(x)知足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导；...(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)f(b),那么在a,b内起码有一点(ab),使得f0.七、(此题满分6分)【剖析】利用函数的单一性的判断,假如在x的某个区间上导函数fx0,则函数fx单一递加,反之递减.【分析】(1)设售出商品的销售额为R,则aabcp2RpQp(c),R(p)b.pbp2b令R0,得p0abbb(abc)0.cc当0pb(abc)时,R0,所以随单价p的增添,相应销售额R也将增添.c当pb(abc)时,有R0,所以随单价p的增添,相应销售额R将减少.c(2)由(1)可知,当pb(abc)时,销售额R获得最大值,最大销售额为cRmaxabbac(abc)2.cabc八、(此题满分6分)【分析】令zy,则dyzxdz.xdxdx当x0时,原方程化为zxdzz1z2,即dzdx,其通解为dx1z2xln(z1z2)lnxC1或z1z2C.x代回原变量,得通解yx2y2C(x0).当x0时,原方程的解与x0时同样,原因以下:令tx,于是t0,并且dydydxdyyx2y2yx2y2yt2y2dtdxdtdxxxt....从而有通解yt2y2C(t0),即yx2y2C(x0).综合得,方程的通解为yx2y2C.注：因为未给定自变量x的取值范围,因此在此题求解过程中,引入新未知函数zy后得xx2y2x1z2,从而,应当分别对x0和x0求解,在近似的问题中,这一点应当切记.九、(此题满分8分)【剖析】此题的(1)是考察特点值的基本观点,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转变成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来办理矩阵中的问题.【分析】(1)因为3是A的特点值,故31003E1300313y1A03y11318(2y)0,010011所以y2.(2)因为ATA,要(AP)T(AP)PTA2P,而1000A2010000540045是对称矩阵,故可结构二次型xTA2x,将其化为标准形yTy.即有A2与合同.亦即PTA2P.方法一：配方法.T22222因为xAxx1x25x35x48x3x4x12x225(x328x3x416x42)5x4216x425255x12x225(x34x4)29x42,55那么,令y1x1,y2x2,y3x34x4,y4x4,即经坐标变换5...x11000y10100x2y20014,x35y3x4y40001有xTA2xy12y225y329y42.5100010100(AP)T(AP)PTA2P1所以,取P0014,有5.5900015方法二：正交变换法.二次型xTA2xx12x225x325x428x3x4对应的矩阵为1000A20100,00540045其特点多项式1000EA201001)3(9).005(40045A2的特点值11,21,31,49.由(1EA2)x0,即0000x100000x20,0044x300044x40和(4EA2)x0,即8000x100800x20,0044x300044x40分别求得对应1,2,31的线性没关特点向量...1(1,0,0,0)T,2(0,1,0,0)T,3(0,0,1,1)T,和49的特点向量4(0,0,1,1)T.对1,2,3用施密特正交化方法得1,2,3,再将4单位化为4,此中：1(1,0,0,0)T,2(0,1,0,0)T,3(0,0,1,1)T,4(0,0,1,1)T.2222取正交矩阵10000100P1,2,3,40011,220011221则P1A2PPTA2P11,91即(AP)T(AP)PTA2P1.19十、(此题满分8分)【分析】证法1：(定义法)如有一组数k,k1,k2,L,kt,使得kk1(1)k2(2)Lkt(t)0,(1)则因1,2,L,t是AX0的解,知Ai0(i1,2,L,t),用A左乘上式的两边,有(kk1k2Lkt)A0.(2)因为A0,故kk1k2Lkt0.对(1)从头分组为(kk1k2Lkt)k11k22Lktt0.(3)把(2)代入(3)得k11k22Lktt0.因为1,2,L,t是基础解系,它们线性没关,故必有k10,k20,L,kt0....代入(2)式得:所以向量组

k0.,1,2,L,t线性没关.证法2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其他各列,有,1,2,L,t,1,2,L,t.所以r,1,2,L,tr,1,2,L,t.因为1,2,L,t是基础解系,它们是线性没关的,秩r1,2,L,tt,又必不可以由1,2,L,t线性表出(不然A0),故r1,2,L,t,t1.所以r,1,2,L,tt1.即向量组,1,2,L,t线性没关.十一、(此题满分7分)【分析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X听从二项散布即B(5,0.2).由二项散布的概率计算公式,有PX00.850.32768,PX1C510.840.20.4096,PX2C520.830.