高中数学第一章三角函数12任意角的三角函数122同角三角函数的基本关系学案无答案新人教A版必修4

1．2.2同角三角函数的基本关系学习目标1.能经过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点同角三角函数的基本关系式思虑1计算以下式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？试一试证明它．答案

3个式子的值均为

1.由此可猜想：对于随意角

α，有

sin

2α＋cos2α＝1，下边用三角函数的定义证明：设角

α的终边与单位圆的交点为

P(x，y)，则由三角函数的定义，得

sin

α＝y，cosα＝x.sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.思虑2由三角函数的定义知，tanα与sinα和cosα间拥有如何的等量关系？ysinαπ答案∵tanα＝x(x≠0)，∴tanα＝cosα(α≠2＋kπ，k∈Z)．梳理(1)同角三角函数的基本关系式22sinαπ②商数关系：tanα＝cosαα≠kπ＋2，k∈Z.同角三角函数基本关系式的变形sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.sinαtanα＝cosα的变形公式sinαsinα＝cosαtanα；cosα＝tanα.1．sin2α＋cos2β＝1.(

×

)提示

在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才建立，即

sin2α＋cos2α＝1.2θ2θ2．sin2＋cos2＝1.(√)22θ2θ2θ提示在sinα＋cosα＝1中，令α＝2可得sin2＋cos2＝1.sinα3．对随意的角α，都有tanα＝cosα建立．(×)π提示

当α＝2＋kπ，k∈Z时就不建立

.种类一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值5例1(1)若sinα＝－13，且α为第四象限角，则tanα的值为( )121255A.5B．－5C.12D．－12考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案D分析∵sin512α＝－，且α为第四象限角，∴cosα＝，1313sinα5tanα＝cosα＝－12，应选D.7(2)已知sinα＋cosα＝13，α∈(0，π)，则tanα＝.考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案12－57分析∵sinα＋cosα＝13，(sinα＋cosα)2＝49，169120即2sinαcosα＝－169<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，π∴α∈2，π，217故sinα－cosα＝sinα＋cosα－4sinαcosα＝13，可得sinα＝12512，cosα＝－，tanα＝－.13135反省与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道此中一个能够求其余两个．解题时要注意角

α

的象限，进而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其余三角函数值的问题，

我们可利用平方关系或商数关系求解，其重点在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转变，分析解决问题的打破口．4追踪训练

1

已知

tan

α＝3，且

α

是第三象限角，求

sin

α，cosα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值αsinα4α4α解由tan＝cosα＝3，得sin＝3cos.①又sin2α＋cos2α＝1，②162α2α2α9由①②得9cos＋cos＝1，即cos＝25.又α是第三象限角，344∴cosα＝－5，sinα＝3cosα＝－5.命题角度2已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值8例2已知cosα＝－17，求sinα，tanα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值8解∵cosα＝－17<0，且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，则28215sinα＝1－cosα＝1－－17＝17，15sinα1715tanα＝cosα＝8＝－8.－17当α是第三象限角时，则α2α15α15sin＝－1－cos＝－17，tan＝8.反省与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．12追踪训练2已知cosα＝13，求sinα，tanα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值12解∵cosα＝>0且cosα≠1，13∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，则21225sinα＝1－cosα＝1－13＝13，5sinα135tanα＝cosα＝12＝12.13当α是第四象限角时，则sinα＝－1－cos2α＝－5，tanα＝－5.1312种类二齐次式求值问题例3已知tanα＝2，求以下代数式的值．4sinα－2cosα；(2)12112α.(1)α＋3sinαsinα＋sinαcosα＋cos5cos432考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值4tanα－26解(1)原式＝5＋3tanα＝11.12112(2)原式＝4sinα＋3sinαcosα＋2cosαsin22α＋cosα12α1α14tan＋3tan＋2tan2α＋11×4＋1×2＋113432＝5＝30.反省与感悟(1)对于sinα，cosα的齐次式，能够经过分子、分母同除以cosα或cos2α转变为对于tanα的式子后再求值．若是代数式中不含分母，能够视分母为1，灵巧地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，结构出对于tanα的代数式．sinα＋cosα追踪训练3已知sinα－cosα＝2，计算以下各式的值．3sinα－cosα(1)2sinα＋3cosα；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值sinα＋cosα解由sinα－cosα＝2，化简，得sinα＝3cosα，因此tanα＝3.3×3cosα－cosα8cosα8(1)原式＝2×3cosα＋3cosα＝9cosα＝9.(2)原式＝sin2α－2sinαcosα＋1sin2α＋cos2αtan2α－2tanα32－2×313＝tan2α＋1＋1＝32＋1＋1＝10.种类三三角函数式的化简与证明22cosα例4(1)化简：sinαtanα＋＋2sinαcosα.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简2αsinα2αcosααα解原式＝sin·cosα＋cos·sinα＋2sincossin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α＝sinαcosαsin2α＋cos2α21＝sinαcosα＝sinαcosα.tanαsinαtanα＋sinα(2)求证：tanα－sinα＝tanαsinα.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明∵右侧＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinαtanαsinαtanα－sinα＝左侧，∴原等式建立．反省与感悟(1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，进而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完满平方式，此后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，常常借助于因式分解，或结构sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．左侧③比较法：即证左侧－右侧＝0或＝1(右侧≠0)．右侧④证明与已知等式等价的另一个式子建立，进而推出原式建立．1追踪训练4化简tanαsin2α－1，此中α是第二象限角．考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解由于α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0.11－sin2αcos2α故tanαsin2α－1＝tanαsin2α＝tanαsin2αsinαcosαsinα－cosα＝cosαsinα＝cosα·sinα＝－1.41．若sinα＝5，且α是第二象限角，则tanα的值为( )4334A．－3B.4C．±4D．±3考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案A4分析∵α为第二象限角，sinα＝5，34cosα＝－5，tanα＝－3.52．已知sinα－cosα＝－4，则sinαcosα等于( )7999A.4B．－16C．－32D.32考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C225分析由题意得(sinα－cosα)＝，2225即sinα＋cosα－2sinαcosα＝16，2225又sinα＋cosα＝1，∴1－2sinαcosα＝，169sinαcosα＝－32.应选C.23π3．化简1－sin5的结果是()3π3πA．cos5B．sin53π3πC．－cosD．－sin55考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C分析1－sin23π23π＝3π，5＝cos5cos5π3π3π∵<<π，∴cos<0，255∴cos3π3π5＝－cos5，即1－sin23π＝－cos3π，应选C.552sinα－cosα4．若tanα＝2，则sinα＋2cosα的值为( )5A．0B.4C．1D.4考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案B2sinα－cosα2tanα－14－13分析sinα＋2cosα＝tanα＋2＝2＋2＝4.cosx1＋sinx5．求证：＝.1－sinxcosx考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明

方法一

(比较法——作差

)∵

cosx1－sin

x－

1＋sincosx

x

＝

cos2x－1－sin2x1－sinxcosxcos2x－cos2x1－sinxcosx＝0，cosx1＋sinx1－sinx＝cosx.方法二

(比较法——作商

)cosx左1－sin

x

cosx·cosx∵右＝1＋sin

x＝

1＋sinx

1－sin

xcosxcos2xcos2x1－sin2x＝cos2x＝1.cosx1＋sinx1－sinx＝cosx.1．利用同角三角函数的基本关系式，

能够由一个角的一个三角函数值，

求出这个角的其余三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式能够进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；

(2)次数尽量低；

(3)分母、根式中尽量不含三角函数；

(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，能够利用方程思想，求出其余两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，仔细察看题目的特点，灵巧、适合地采用公式，一致角、一致函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主若是一致函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵巧运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的从头整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、选择题αα1α1．已知是第二象限角，tan＝－2，则cos等于( )51A．－5B．－5254C．－5D．－5考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C分析∵α是第二象限角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinα＝－1，cosα225∴cosα＝－.52．(2020·阜阳检测

)

2π1－cos5等于(

)π

π

π

πA．sin

B．cos

C．－sin

D．－cos5

5

5

5考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案Aπππ分析∵0<5<2，∴sin5>0，2π2ππ∴1－cos5＝sin5＝sin5.sinθ＋cosθ3．已知sinθ－cosθ＝2，则sinθcosθ的值是( )3333A.4B．±10C.10D．－10考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C分析由题意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2，3解得sinθcosθ＝.101－sin2x＋1－cos2x4．函数y＝的值域是( )cosxsinxA．{0,2}B．{－2,0}C．{－2,0,2}D．{－2,2}考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C|cos||sinx|分析y＝cosx＋sinx.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.4455．(2020·四川成都立德中学期中)已知θ是第三象限角，且sinθ＋cosθ＝9，则sinθcosθ的值为()2211B．－C.D．－3333考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案A445分析由sinθ＋cosθ＝9，得222225(sinθ＋cosθ)－2sinθcosθ＝，222∴sinθcosθ＝9，∵θ是第三象限角，∴sinθ<0，cosθ<0，2sinθcosθ＝3.3π1－cosα1＋cosα6．若π<α<2，则1＋cosα＋1－cosα的化简结果为( )2222A.tanαB．－tanαC.sinαD．－sinα考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简答案D1－cosα21＋cosα2分析原式＝＋1－cos2α1－cos2α1－cosα1＋cosα2|sinα|＋|sinα|＝|sinα|，3π2∵π<α<2，∴原式＝－sinα.7．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于( )4534A．－3B.4C．－4D.5考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D分析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋sinθcosθ－2cos2θtan2θ＋tanθ－2＝sin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋1，4＋2－24又tanθ＝2，故原式＝4＋1＝5.二、填空题3sinαcos2α8．已知cosα＝－5，且tanα>0，则1－sinα＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值4分析由cosα<0，tanα>0知α是第三象限角，4且sinα＝－5，sinαcos2αsinα1－sin2α故原式＝1－sinα＝1－sinα444sinα(1＋sinα)＝－5×1－5＝－25.109．已知α∈R，sinα＋2cosα＝2，则tanα＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值1答案3或－3分析由于sinα＋2cosα102α2α＝1，＝2，又sin＋cos10310sinα＝－10，sinα＝10，联立解得310或10cosα＝，cosα＝1010sinα1故tanα＝cosα＝－3或3.10．在△ABC中，2sinA＝3cosA，则角A＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值π答案3分析由题意知cosA>0，即A为锐角．将2sinA＝3cosA两边平方得2sin2A＝3cosA.2cos2A＋3cosA－2＝0，1解得cosA＝2或cosA＝－2(舍去)，A＝π.312111．若tanα＋tanα＝3，则sinαcosα＝，tanα＋tan2α＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案173分析

∵tan

1sinαcosαα＋tanα＝3，∴cosα＋sinα＝3，sin2α＋cos2α即sinαcosα＝3，1sinαcosα＝，321121tanα＋tan2α＝tanα＋tanα－2tanα·tanα9－2＝7.5112．已知sinα－cosα＝－2，则tanα＋tanα＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值1sinαcosα解tanα＋tanα＝cosα＋sinαsin2α＋cos2α1＝sinαcosα＝sinαcosα.55sinα－cosα＝－2，∴1－2sinαcosα＝4，11sinαcosα＝－8，∴sinαcosα＝－8，1tanα＋tanα＝－8.三、解答题4sinθ－2cosθ613．已知3sinθ＋5cosθ＝11，求以下各式的值．5cos2θ(1)sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值4sinθ－2cosθ6解由已知3sinθ＋5cosθ＝1