等离子体动力学讲义

《等离子体动力学》讲义祝大军熊彩东电子科技大学物理电子学院目录第一章：引言§1•1定义§1•2基本特征：§1•3等离子体物理的研究方法第二章：动力论方程§2•1分布函数的引入§2•2普遍的动力论方程§2•3Vlasov方程的严格导出第三章：Vlasov方程的求解§3•1几个定义§3•2Vlasov方程的线性化§3•3平衡态Vlasov方程的解§3•4线性Vlasov方程的解——特征线法（未扰轨道法）§3•5等离子体纵振荡——初始扰动的演化——Fourier-Laplace变换法第四章：微观不稳定性§4•1等离子体微观不稳定性概述§4•2静电不稳定性§4•3束——等离子体不稳定性、等离子体尾场加速器中静电波特性第一章引言§1•1定义：物质的第四态“等离子体态”：固体（加热）→液体（加热）→气体（输入能量）→电离态。等离子体是由大量的接近自由运动的带电粒子所组成的系统，在整体上是准中性的，粒子的运动主要由粒子间的电磁相互作用所决定，由于这种作用是库仑长程相互作用（密度足够低，一个邻近粒子所产生的力远小于许多远距离粒子所施的长程库能力），因而使之显示出集体行为（如：各种振荡和波动、不稳定性等）。§1•2基本特征：系统的尺度必须远大于德拜长度（DebyeLength）()()推导过程：真空中一个点电荷q产生一个电场,为电势。其满足拉普拉斯方程，得库仑势()在等离子体内部，电子、离子成份都处于热力学平衡状态下，一个点电荷q近旁总是异号电荷比同号电荷要多些。所以在这个点电荷附近，电势将由两部分所组成，一部分是q本身产生的势，另一部分是过剩异号电荷产生的势。这两部分合成的电势将满足泊松方程：()为电真空电容率，库仑为电子电荷。假设粒子分布都服从波耳兹曼分布()其中、表示处的粒子密度，为离子电荷数，为波耳兹曼常数。假设满足稀薄条件，粒子间平均库仑相互作用的势能比粒子热运动特征动能小得多，即()利用，略去高次项，()再考虑电中性条件，()可得方程()其中，()称为德拜长度。在近似计算中，若认为离子是不动的，即，为均匀分布，同时，若电子仍为波耳兹曼分布，考虑电中性条件，同样可求得德拜长度为(1.2.11)容易证明，（）的通解是：()常数A、B由边界条件r→∞时，φ＝0r→0时，来确定。可得：()这样求出的电势φ称为德拜势。它等于库仑势乘衰减因子。随着距离的增加，德拜势的降落比库仑势快得多。德拜长度的物理意义有两个方面：（1）、它是静电作用的屏蔽半径。等离子体内部一个电荷产生的静电场，被附件其它电荷屏蔽着，其影响所及不超过德拜半径的范围。（2）、它是局域性电荷分离的空间长度。在德拜长度内，正负电荷是分离的，处在中心的一个点电荷q，被分布在德拜半径以内的过剩异号电荷基本抵消。而在球内各点上，。等离子体频率（）当等离子体内部小范围内出现电荷过剩（电荷分离）时出现上述振荡。在等离子体中，当由于某种原因使小范围内的电中性被破坏时（如粒子热运动引起的局产中密度起伏），如果一些区域内有过剩电子，这些过剩的电子将产生一个电场，它迫使电子向外运动。过剩很快会消失。但运动的速度使电子不能在恢复了电中性时停下来，结果出去的电子过多，区域内电子不足便代替了过剩。一个反向电场又把电子拉回来。这样的过程不断重演下去，就会形成电子的集体振荡。在这种振荡中，通常假设离子由于质量大，是固定不动的，它们仅构成均匀的正电荷背景。又称为等离子体的响应时间。3．集体行为——要求一个带电粒子能够同时与许多带电粒子库仑相互作用，即要求半径内的带电粒子数，亦即粒子间平均间距。(为单位体积内的粒子数为一个粒子所占的体积则两个粒子间的平均距离是)这样粒子的运动不仅取决于其附近的局域条件，这与远处区域的状态有关，因而可以出现集中运动的形式。4．对于非完全电离气体，要求中性粒子与带电粒子间的碰撞少到不致影响等离子体自身电磁耦合运动，并使得决定粒子运动主要取决于粒子间的电磁相互作用。5．其它涉及中性、非中性、弱耦合、强耦合等离子体等问题，请参阅：“等离子体的定义问题”，物理，1992年12期，P758§1•3等离子体物理的研究方法1．单粒子理论——SingleParticleTheory完全忽略粒子间相互作用，把等离子体当作独立粒子系统，然后根据牛顿运动方程确定单个带电粒子在电磁场中的运动轨道。适合于稀薄等离子体，不能反映集体效应。但单粒子模型提供了关于粒子运动的直观图象，有助于了解等离子体在总体上的某些性质。2．磁流体力学——Magnetohydrodynamics（MHD）研究对象是导电流体。把等离子体视作连续介质处理，适合稠密等离子体，并假定在所考察的长度与时间范围内，等离子体参数不发生显著变化。此时等离子体可视作处于局部热平衡状态，可以像流体力学一样引入流体的速度、压强、密度、温度等参观参量以描述等离子体的宏观运动。这种模型适合于缓慢变化的等离子体。所谓缓慢变化是指等离子体的特征长度和特征时间（在此长度和时间内等离子体参数产生显著变化）远大于等离子体的平均自由程和平均碰撞时间。MHD的出发点是：选取一个宏观小、微观大的元（element），研究它在电磁场作用下的运动，不过更重要的是研究在各种磁场位形下等离子体的平衡与稳定，以及振荡与波的问题。其主要途径是联立求解电动力学与流体力学方程组（）为流体元的速度。为质量密度；为电荷密度；（）麦克斯韦方程：（）MHD的缺点是不能给出粒子间的速度差异与空间分布的不均匀性。3．粒子模拟（Particle-in-cellSimulation）随着、大容量计算机发展，可用Computer直接模拟粒子在外界电磁场以及等离子体中其它带电粒子作用下发生的复杂的动作。该方法除了计算方法本身引入误差外，不会像其它方法在使用运动方程时引入了模型的误差，它可以描述其它三种方法所不能描述的细致的等离子体过程。4．动力学理论（KineticTheory）等离子体是一个多粒子系统，最基本的描述是使用统计方法，是微观描述，它建立在等离子体粒子的组态与速度空间分布、粒子之间的相关性质以及粒子产生的微观场的基础上。微观量比宏观量（如MHD理论中的平均速度、温度等）更难直接测量，但在决定等离子体的宏观性质时它们常常起主要作用。动力论的出发点是带电粒子的空间位置分布与速度分布。希望用统计方法确定出系统中各种粒子的分布函数——等离子体的微观理论。但实际上的等离子体，一般并不处于热力学平衡状态，无法得到普遍适用的分布函数，通常只能去求分布函数随时间而演化的方程——动力论方程。分布函数是一个不可测量，但其在速度空间中的统计平均（速度矩）却是可以测量的，这些矩联系着等离子体的质量、密度、粒子平均速度、压强、能流密度等。因此，等离子体动力论的基本精神是：从假设的物质结构模型出发，在分析单个粒子运动的基础上，利用统计物理学观念和特定的数学工具，来推求关于大量粒子的统计平均结果。它将微观与宏观参量联系起来，因而可以更加深入细致地研究在流体范围内已研究过的平衡、波、稳定性等概念与过程。

第二章动力论方程单粒子轨道理论和磁流体力学（MHD）理论，都是近似理论，使用时都有一定局限性。等离子体作为由大量带电粒子组成的集团，应该用统计物理学的方法来描述其系统的总体行为或称集体行为。单个粒子——按牛顿力学规律运动；大量粒子——系统总体行为存在统计规律。等离子体动力论：基于单个粒子的运动规律，应用统计物理学的观念及特定的数学工具，来推求大量粒子的统计平均结果。要求平均，须先知道粒子按状态的不同分布，但对非平衡状态而言，不存在普遍适用的分布函数，人们往往只能找到分布函数随时间演化的方程——动力论方程。§2•1分布函数的引入等离子体中的每个粒子均有坐标与速度，有3个坐标分量x、y、z，3个速度分量、、，引入六维相空间（，），则每个粒子在此（，）相空间中有其一个代表点与之对应。当粒子在实际空间中运动时，其在相空间中的代表点也在相空间中运动，所以研究一个系统随时间的变化，只须研究粒子代表点在相空间的运动即可。设t时刻，相空间（，）处有粒子，在其附近（，）也有粒子，则可推知，在t时间，坐标位于与之间，速度在与之间的粒子数目，应与相空间（，）处附近的小体积元成正比，即（2.1.1）这里比例系数表示t时刻，粒子在（，）附近体积元内出现的几率，称为粒子的分布函数。按照统计平衡的规律，如果略去碰撞引起的粒子数的变化，则f满足方程（2.1.2在点（x,y,z）处空间电荷的浓度为：（2.1.3的引入可使分布函数f归一化。电流密度可以表示为：（2.1.4§2•2普遍的动力论方程设所研究的多粒子系统受到外力作用，其中类粒子受力，粒子加速度为。设t时刻处于附近体积元内粒子代表点的个数（以下可简称为粒子数目）为（2.2.1经过时间dt以后，粒子运动到（，）处，如果粒子之间无碰撞，则到达新位置的粒子数目应是不变的，即（2.2.2）但“事实”是粒了之间存在碰撞，设类粒子（以表示）与类粒了相撞引起类粒子数目的净增加（在单位时间与单位相体积内）为，则（）式可改写为（2.2.3）根据多元函数的泰勒级数展开公式（2.2.3）式左边可展开为左边=（2.2.4）保留一项代入（2.2.3）式，则变为（2.2.5）注：关于碰撞项在等离子体中，粒子间的磁撞可大致分为以下几种：近碰撞、远碰撞、多体碰撞、自洽场相互作用（即大量带电粒子的平均作用产生的电磁场，由于等离子体不完全电中性，它可能超过Debye长度起作用）。波耳兹曼导出碰撞项有如下假设：碰撞的相互作用长度远小于分布函数发生明显变化的长度。碰撞的持续时间远小于分布函数发生明显变化的时间。所有的碰撞都是二体碰撞。参与碰撞的粒子是互不相关的（除在碰撞时以外）在等离子体中，可求出电子与离子间的碰撞频率与等离子体频率之比为（）而电子——电子间的碰撞频率为。对于我们通常研究的毫米波情况（），相应的角频率量级。而在回旋管中的电子等离子体对应的约为105~107量级，有因此，当我们研究比带电粒子间碰撞快很多的等离子体现象（如：波动、不稳定性）时，便可以略去碰撞效应。如果粒子间碰撞可略去，且粒子仅受到电磁力作用，则，则（2.2.5）式成为（2.2.6）该方程称为无碰撞Boltzmann方程，亦称为Vlasov方程。注：（1）“无碰撞”意指略去带电粒子间的碰撞，但并未略去所有带电粒子产生的平均自洽场对每个粒子运动的影响，自洽场的作用纳入（2.2.6）式左方和项中加以考虑。（2）由于无碰撞，则粒子间相互作用能为零。可以证明：当时，带电粒子的平均动能远远大于平均相互作用能，此时等离子体为理想的等离子体气体，而Vlasov方程就不能描述这种气体由非平衡态向平衡态的运动过程，因而不能处理诸如扩散、驰豫、热传导、电导率等界输运过程。§2•3Vlasov方程的严格导出上一节从单一电子的分布函数的概念来推导Vlasov方程。为了介绍等离子体动力学的一个重要理论，BBGKY理论，该理论是在二十世纪三、四十年代由J.Yvon(依旺)、N.N.Bogoliubov（玻哥留波夫）、M.Born（玻恩）、H.S.Green（格林）、J.G.Kirkwood共同建立的。其中，从统计理论的观点，在空间某点处发现一个电子的几率与其附近点另一电子的存在相关。因此，在某一点发现一个电子的几率，不能简单地由单一电子的分布函数来确定。下面通过对Vlasov方程的严格推导来对BBGKY理论进行介绍。一、空间及概率分布函数把等离子体看成一个多粒子系统，它包含N个相互作用着的粒子。为简单起见，假定所有粒子是全同的，而且可以看成为质点。于是，对某一时刻t，每个粒子的状态由它的位置和速度来确定。对粒子数目为N的整个系统的状态由3N个坐标分量和3N个速度分量来确定。如果引入一个6N维“空间”，其中3N个坐轴表示粒子坐标，另外3N个轴表示粒子速度分量。这样构成的空间叫做相空间。N个粒子系统的状态由空间中的一个“点”来表示，这种“点”叫做系统的代表“点”或“相点”。而系统的运动则由相点在空间中画出的轨迹来表示。显然，相轨迹满足运动方程，（j=1,2,……N）（2.3.1）一个系统从不同初始态出发画出的相轨迹是不同的，这些轨迹决不相交。由于方程（2.3.1）决定的和都是单值函数，它们决定相轨迹的方向。所有经过相空间中任一点的轨迹只有一条。系统的行为取决于方程（2.3.1）的解。例如，关于系统的任何量A都是由粒子运动解和决定：，简记为。而客观量的测量值则是A对时间的平均值。，（2.3.2）但是上式是无法计算的。因为当N非常巨大时，要给出6N个状态初值和解出6N个联立微分方程都是无法办到的。吉布斯（J.W.Gibbs,1948）在统计物理学中首先提出用对系综的平均来代替对时间的平均。所谓系综，是指与研究的真实系统在结构上和所处外界条件上完全相同，但粒子运动状态不同的许许多多个假想系统的集合。系综包含系统的个数是十分巨大的，它在空间中的代表点好像形成一团“云”，一般用相点密度或叫做系综分布函数来描述一个系综。的定义是：（2.3.3）表示在时刻t处，在空间体积元中系统代表点的个数。由于假定了粒子是全同的，所有相对于所有粒子的坐标和速度来说具有对称性。现在引入一个物理量A为系综的平均值，它的定义是：，（2.3.4）吉布斯的出发点是假设。再引入空间概率密度或叫做系综概率分布函数，它的定义是：（2.3.5显然，概率分布函数满足归一化条件：（2.3.6而系综平均值则可表为：，（2.3.7）二、刘维尔方程现在研究系综概率分布函数怎样随时间而变化。根据相点守恒，可得：（2.3.8）是由外场及粒子间相互作用所引起的第j粒子的加速度。上式左方做泰勒级数展开可得：（2.3.9）将（2.3.9）代入（2.3.8），并略去及更高次项，得：（2.3.10）以上为刘维尔定理，它表示概率分布函数沿相轨迹不随时间而改变。三、约化分布函数由刘维尔方程求的解是困难的，事实上用刘维尔方程来描写多粒子系统是过分详细了。因为是依赖于所有N个粒子的坐标与速度以及时间（6N+1个独立变数）的N粒子概率分布函数。当粒子总数N十分大时，的表达式是得不到的，因为这需要求6N个运动方程的积分。事实上，如果我们的目标是希望从统计平均来确定多粒子系统的宏观性质，那就只对单粒子或最多是双粒子概率分布函数感兴趣。例如，当我们求不牵涉粒子相关性的微观统计平均值时，只关心一个粒子（如第一个粒子）处在空间处相体积而不论其它（N-1）个粒子处于何处的概率。此种情况引入单粒子概率分布函数，它的定义为：（1）其中V是系统所占体积。上式表示，是归一化到V的，它仅是三个变量的函数。而就是一个粒子处在处相体积元中而不管其余粒子处在何处的概率。为了方便，也常用到归一化到N的单粒子分布函数（2）其中是平均粒子密度。一般情况下，在粒子间存在相互作用的系统中，一个粒子出现在的概率，自然和有无其它粒子出现在附近有关。但这种信息没有包含在单粒子分布函数中，因为不是其它粒子和坐标的函数。为了考虑到两个粒子相互关联的影响，就要引进双粒子概率分布函数，定义为：（）虽然也是一种约化的描述，但这比包含较多的信息，因为两个粒子相互作用的影响可以包括在内了；当然仍旧不是完整的描述，三个及三个以上粒子相互作用的影响不包含在内。按照类似定义，引入任意S个粒子的概率分布函数（）而表示在时刻t，第一个粒子处在处相体积元中，第二个粒子在处在相体积元中，……第S个粒子处在处相体积元中而不论其余粒子处于何处时的概率。以上引入的，，…，统称为约化分布函数。四、BBGKY方程链对刘维尔方程在N-S维T子空间中积分，可得：（）上式积分范围不依赖于时间，因此在第一项中微分与积分次序可以颠倒一下，即第一项（）关于第二项，首先把它改成两项之和第二项（）(2.3.17)右方第一项中所有微分与积分次序可以颠倒，即（）而（）右方第二项中每一相加项都包含形状如下的积分（只写x分量）（）（）的第三项进行改写，把粒子加速度写成由外力和粒子间相互作用所引起的两部分之和：（）其中表示第j粒子受第粒子对它作用的力而产生的加速度；于是（）和第三项可改写成：+（）（）右边微分和积分次序可交换，因此有第一项（2.3.22）（）右边第二项在交换微分与积分次序后可写为：（）第三项可根据类似于（）考虑，但应换成。利用以上各式改写（），可得S粒子概率分布函数随时间的演化方程：（）从上式可知，粒子间相互作用的贡献分两部分来写，一个是S个粒子相互间作用的贡献，在左边，另一个是S个粒子与其余个粒子相互作用的贡献，它写在等号左边。当时，（）将给出一连串“阶级型”方程，即BBGKY方程链，其中关于的方程包含了，关于的方程包含了。一般的，关于的方程包含了。因此，如在第S（S<N）个方程处切断此链，得到的方程组是不封闭的，S个方程包含S+1个未知数，解决此问题的办法是把与，，…，的关系通过动力论上的考虑适当地给出来，即引入相关函数。五、相关函数一个粒子出现在状态（）的概率如果与另一个粒子的状态（）无关，后者出现在状态（）的概率也与前者状态（）无关。那么根据两个独立事件同时出现的概率等于两事件各自出现的概率之积的道理，可得前者出现在状态（）而后者出现在状态（）的概率就是： （5）然而，事实上两个粒子运动状态通常都是互相影响的，处在偏离理想气体的相互作用粒子系统中。在统计力学中为了描述粒子间相互作用的影响，引入相关函数概念。例如，为了描述每两个粒子间的相关性，可引入函数，通过下式得到定义：（6）为双粒子相关函数。（6）表示双粒子概率分布函数可写为两项之和，独立部分加相关部分。同样，对于三粒子概率分布函数可写为：（7）上式右边第一项为三个粒子彼此独立时的情景。第二、第三、第四项表示三个粒子存在两两相关时的效应，最后一项则为三粒子相关的影响，即三粒子相关函数。由于相关函数来自于粒子间相互作用，对于等离子体（）相关函数（）（）若取（）作为小参数，可证明（）（）（）略去含的项后，可得到关于，，…，的封闭切断链，其中S个方程包含S个不同级次的分布函数，误差为量级。六、零级动力论方程作为例子，把BBGKY方程链在处切断，假设，，而S是有限值，由（）（）上式是不封闭的，因为包含有和，如果略去量级g的项，即=则有：（）以N/V乘上式得到关于单粒子分布函数的演化方程：（）这就是动力论方程。加速度有两部分，外加场产生部分和粒子自洽场部分产生的加速度。何谓自洽场，即带电粒子的运动状况依赖于动力论方程，而粒子运动产生的电磁场可由Maxwell方程求得，其通过动力论方程去影响粒子分布函数。于是在等离子体中存在着一个既支配着粒子运动的电磁场，而该电磁场又由粒子的坐标与速度分布所决定，设电磁场便称为自洽场。方程（）中无碰撞，（）即为Vlasov方程。对于多成分带电粒子系统，可以直接推广（）式写出子成份动力论方程。（）当外场仅有电磁场时，有（）而自洽场引起每个类粒子产生的加速度则是（）其中，（）是自洽电场，这取决于处粒子的电荷密度（）而（）是自洽磁场，这取决于处粒子电流密度（2.3.44）将上各式代入（），并用，，有（）这就证明了，由BBGKY方程键导出的零级动力论方程，就是带自洽场的Vlasov方程，其中自洽场以（）、（）式代入Maxwell方程后与Vlasov方程联立求解。同样，在处切断，可导出一级动力论方程，循此途径在低密度、短程相互作用力情况下可得玻耳兹曼方程；在弱耦合情况下可得福克尔—普朗克方程；考虑等离子体极化，可得到纳德—退列斯库方程。第三章Vlasov方程的求解§3•1几个定义一、统计平均值——速度矩为了讨论Vlasov方程，先引入统计平均值的概念。由（2.2.1）式，在速度空间积分，有（）上式表示处于附件体积元内所有粒子数（速度分布为），则可引入单位体积（不是相体积，而是实际空间体积）内的粒子数，即粒子数密度（）对于粒子的某个与t、、有关的物理量，人们感兴趣的是这些量在速度空间上的统计平均值（又称为矩速度），其定义为（）这时只是的函数。例如：粒子的平均速度为（）二、自洽场方程（2.2.6）式中（，）包括：外源产生的场与等离子体粒子产生的场，这些场满足Maxwell方程组（）()（）其中（）（）可以看出，带电粒子的运动状态（，）依赖于f（由方程~），而粒子运动产生的场、（由方程~求解而得），又通过Vlasov方程（2.2.6）去影响f，于是等离子体中存在着一个既支配着粒子运动的电磁场，而该电磁场又由粒子的坐标与速度所决定，该电磁场便称为自洽场。§3•2Vlasov方程的线性化由于电磁场、依赖于分布函数f，则Vlasov方程是f的一个非线性方程，求解极为困难。当研究等离子体的小振幅扰动（即线性波）和微观不稳定性的线性理论时，可以将Vlasov方程进行线性化处理。设f相对于平衡分布仅有小的偏离，即，由此引起的、的扰动也很小，则有，，（）代入Vlasov-Maxwell方程组，其中Vlasov方程为（）考虑到平衡态值满足Vlasov-Maxwell方程组：（）（）（）（）由非平衡态满足的Vlasov-Maxwell方程组减去平衡态满足的上述方程组~式，并略去二级以上小量，得到（）（）（）（）可见，扰动分布函数与扰动场（、）及平衡态分布函数有关。用上述这组方程可以研究振荡周期远小于两体碰撞时间（即振荡频率远高于碰撞频率）的小振幅等离子体波的性质。这里、、代表等离子体的稳定态，表示初始扰动的发展，利用方程组~便可以研究多种稍有偏移等离子体平衡态的波动性质，进而揭示出存在于受激（或微扰）等离子体中的多种现象。§3•3平衡态Vlasov方程的解先注意的全微分式在6维相空间中、是独立变量，故有，，故有（）于是（）式可写成（）即六维相空间内的全微分为零。Vlasvo方程描述的是粒子代表点在六维相空间中的运动方程，而同时粒子在实空间中的运动是由牛顿力学规律支配的，两者应是等价的。带电粒子的牛顿力学规律（）求出其解（轨道及速度）为（）其中应是6个标量积分常数，可以从（）式中解出（）就是运动积分，即（）现在取的任意函数，代替分布函数f，考查它是否满足Vlasov方程（）。(）式左边=（）说明（）式的通解，就是力学规律（）式的运动积分（运动常数）的任意函数，这样通过求得具体情况下的力学规律而得到运动常数，就可以由构造出此系统的平衡分布函数。注：（1）平衡态分布函数不显含时间t，有；（2）满足的很多，这些又称为亚平衡态。选取时需考虑：a）等离子体的模型；b）数学处理上的方便。§3•4线性Vlasov方程的解——特征线法（未扰轨道法）常规思维：Vlasov方程是一个一阶偏微分方程（）f称为黎曼不变量，其积分的特征线是相空间中粒子的轨道，由以下两式确定（3.4.2）（3.4.3）如果能从初始时刻的轨道（，），通过（3.4.2）式求出任何时刻的轨道则初始分布（）相当于形式上求解出了任意t时刻的f，但由于（）式中的（、）不是预先给定的，需要在每个时刻由分布函数与麦克斯书方程自洽求解而得出，因此上述常规思维的求解任意t时刻的分布函数的方法在实际上是非常困难的。现在线性近似下，有（）在利用上一章方法确定出平衡态后，将（）式右端沿着未扰动时的特征线（即、状态下由运动方程（）确定的轨道积分，便可以求出扰动的。设，，未扰轨道的量，以前（直到）系统的分布函数为，从时，系统开始被扰动定义，（）初始条件为（时）（）其中，是相空间（，）中的点。我们希望通过考察函数来求扰动分布函数。是的函数，设它满足（）当时，扰动开始，由初始条件（）式知，此时，于是在时刻，方程（）的解也就是Vlasov方程（）式的解，方程（）式可用直接积分法求解。从积分到，有左边第二项在未扰状态（）应为零，则有（）例回旋管中的电磁波状况外加电磁场未扰轨道的方程可表为（）这里是电子在纵向磁场中的回旋角频率。如果设时，，，则（）式的解为（）这里。设，可进一步求得（）考虑在平面波情形下，，磁场可表为，则（）式可写为考虑到，又可以写为（）为以下处理方便，使波矢量位于平面内，如下图，则有（）式中的被积函数可整理为如下形式=（）其中系数为另外，（）式的指数部分令利用级数展开式（）则（）式的积分式可写为然后从（）式中对之积分，设有一个无限小的正虚部（代表波的阻尼），则代入积分上限时，积分值为零，再利用递推公式（）则由（）式可推出（）再利用级数展开式（）可将（）式改写为（）其中系数的三个分量为求出后，即可求得电流密度。将（）式代入，利用级数展开式（贝赛尔函数积分表达式）及递推公式（）式，可以得出，其中的电导率张量可写为（）于中等离子体的介电张量可表示为（）其中其中求出介电张量后，便可以针对不同的，求出张量的各分量，从中找出的色散关系。例平衡分布为Maxwell分布时，的形式可以简化到一定程度；再考虑在平行磁场方向传播的波的情形时，会发现出现有（i）左旋波，不受阻尼，可用冷等离子体近似处理，（ii）右旋波，也可用冷等离子体处理，只是当时出现回旋阻尼。而在考虑垂直于方向传播的波的特性时（，）。这时会出现以下几种类型的波寻常波，当时，不能由冷等离子体模型得到。非寻常波，，，当时混杂共振（）；而当（纵向分量）准静态模式或Barnstein模。§3•5等离子体纵振荡——初始扰动的演化——Fourier-Laplace变换法等离子体纵振荡是等离子体中最基本的一种静电振荡。考虑在无外场作用（），空间均匀分布（与无关）的等离子体，其平衡分布函数可表为（）表示等离子体中没有净电荷与电流在研究静电振荡时，可不必考虑磁场，则扰动电场为（为静电势）()由于离子质量比电子质量大许多，即，可以将离子视作在所研究过程中处于平衡分布，只考察电子的振荡情况。设电子分布函数为，由Vlasov方程可得（）由泊松（Possion）方程可得（）研究小扰动情形且（）将（）代入（）~（），略去扰动量的二次项以上，有（）（）在实际当中通常遇到的是所谓的柯西问题（CauchyProblem），即已知初始时刻的扰动（）求解以后任意时刻的电子分布与电场分布。Fourier-Laplace变换法对和作Fourier变换，得到其傅氏分量（）上式的逆变换为（）可见有（）、（）式可改写为（）再对（）式中的和作Laplace变换（）上式中p的实部足够大，以使上述积分成立。可见有现在可将（）式乘以，对t积分，经分部积分后得到（）初始条件（）式，乘以，对积分即（）代入（）式上一式可得出（）再代入（）（）其中（）（）这里，是粒子速度在波矢方向的分量，，为垂直分量。小结：由于与为已知，则由（）式可积分求出，再由（）式即可求出。再通常由Laplace逆变换可以求出和，（）这里积分路径是复P平面内沿平行虚轴的直线，它位于函数和所有奇点的右边。求出和后，再由Fourier逆变换（）式，即可得到与——问题解决！但是，除了很简单的平衡分布函数与初始扰动外，想利用（）或及Fourier逆变换求出与的解析式实际上是不可能的。通常人们主要关心的是等离子体的本征振荡，这比求与的具体形式更为重要，因为实验上观察到的并不是某一初始状态确定后的等离子体演化情况，而是周期性的振荡与波，而且这种振荡只有在扰动后足够长时间后才能被观测出来。三、扼要介绍初始扰动的演化、与的渐近解在复变函数中，函数（例如与）在大t时的渐近行为，由其Laplace变换函数（与）的奇点性质决定。例如，仅在时才有定义，为了研究在复p平面内的奇点，必须将定义在整个复p平面上。当时，（）式中的、的积分无奇点，于是（）式的的奇点只能来自分母=0。将延拓到整个复u区域后，将在区域上定义的函数解析延拓到的区域，这时有（）与（）比较，这里的积分路径C分为3种情况：（1）（2）（3）设=0的根为（），、为实数，且在根处的留数为，则在t很大时的渐近解形式可表为（）由此可见，的渐近行为只取决于等离子体中的平衡分布，（）式的根确定了等离子体的电子纵向本征振荡，故又称为色散关系。四、热等离子体中电子的纵振荡设体系的热力学温度为，则电子的热运动速度为，则电子的平衡分布可以表示为（）这时色散关系便成为（）这里——等离子体色散函数（）其中，，注意到德拜长度考虑以下因素：（1）纵振荡谱的长波部分，即；（2）波的相速度远大于电子热速度，即；（3）波的阻尼很小，即。在以上假设下可推出（）（）（）第三项是无项撞等离子体中的阻尼——Landau阻尼。特例，冷等离子体时，，，五、Landau阻尼的物理意义在沿波矢方向的速度分量u与波的相速度相近的粒子称为共振粒子，它将与波长发生能量交换。设静电波场为（）静电势为（）,——Landau阻尼率在与一起运动的参考系中，静电势（）式应具有与静止系统相同的形式：（）则在实验室坐标系中以u运动的粒子，在波参考系（以运动）中将感受到势，于是波参考系中的能量守恒律为constant（）其中是粒子在波参考系中的速度。这时可能出现两种情况：1．在最大势附近（），粒子作有限大小振幅振荡。这部分粒子相当于被波捕获在势阱中，称为捕获粒子，其能量满足（）式。2．能量很大的粒子可挣脱势的束缚，穿越势阱而运动到无穷远。那么，速度多大的粒子便不会被势捕获呢？从（）式知道，具有总能量的粒子，其在波势中的运动速度为，即永远被捕获。如果总能量，粒子将以的速度在势阱中振荡。根据，知电子在时所受势的电场力最大，产生的也最大。如果初始速度比处提供的还大，则势阱电场将无力维持振荡，电子便穿越势阱而不会被俘获。处电子最大的速度由（）式给出（）在平衡分布为Maxwell分布时，随u单调递减，在附近邻域中速率小于的电子数目大于速率大于的电子数目，而波——电子共振相互作用总的结果是，电子得到波的能量、波损失能量而阻尼。阻尼率的大小，由附近单位速率间隔内的数目差决定，即（）（1）如果处，平衡分布的斜率，则阻尼率，波受阻尼；（2）如果处，作出斜率，则，位于该区域的波会增长。（3）当时，取最大值，波将被强烈阻尼。数学证明如下：由（）式知令六、均匀热等离子体中的电磁波无外场：线性化Vlasov方程：（）扰动量、、满足MaxwellEqs（）（）设未扰动前，等离子体中无净电荷与净电流，扰动电流密度（）回忆前面已介绍过的方法如果我们感兴趣的是初始扰动后等离子体中的场与粒子分布函数在长时间t（但须小于二体碰撞）的渐近行为。则可以不必采用上述复杂方法，而可采用更为简捷的方法——简正分析法。思路：一开始即把扰动量展开为平面波的叠加，也即相当于作空间与时间的Fourier变换，再由本征方程确定与的关系——色散关系。设扰动量E、B、具有平面波形式E、B、——波矢量，——复频率，由（）式（）()式（）于是（）式可写为（）把写成的形式，则有（）比较：在流体理论中，有（——介电张量，——电导率张量）（）写成分量形式（）由（）与（）式联立，消去展开后为（）该方程具有非零解（）的条件是系数行列式等于零，写成分量形式为（）其中，，引入折射率后，（）式可写为这里（）这就是由电磁波的色散关系。对于给定的，（）式确定出许多复频率，它们分别对应于等离子体振荡的不同分支。求得介电张量后，便可以像流体理论一样，描述出各种电磁波的特性，结论与流体理论一致。例1：均匀各向同性等离子体中的电磁波如果粒子速度分布是各向同性的，则分布函数只依赖于粒子能量，即，，（）于是（）式可改写为（）上式可分成两个互相独立的部分，即纵向介电率与横向介电率，（）（）这里：是垂直于方向的速度分量。与流体方程的结果比较：对应于和的色散方程为=0——前面讨论过的纵振荡（）在无界等离子体中，横电磁波的相速率，故（）式中的积分式没有奇点，而于是由（）式故横电磁波的色散方程为（）这与流体力学方程得到的结果一致。例2反常趋肤厚度问题当时，电磁波会受到粒子热运动的明显影响。在时，电磁波不能在等离子体中传播，而只能透入表面层约等于的厚度内。有关趋肤效应的问题，可参见：（a）A.B.Pippard,Proc.Roy.Soc.,A191,370and385(1947)（b）R.G.Chambers,Proc.Roy.Soc.,A215,481(1952)

第四章微观不稳定性§4•1等离子体微观不稳定性概述一、基本特征所谓等离子体不稳定性，是指等离子体中正在增长着的集体运动。对于处于热力学平衡状态的等离子体而言，其中出现的集体振荡模式一般是稳定的。如果等离子体偏离了热力学平衡状态，集体模式就可能变成不稳定。等离子体偏离热力学平衡其形式包括：大体有两类方式。一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局部化或不均匀性；另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布。由于前一种原因而产生不稳定时，等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，是等离子体作为整体时的宏观运动，因而称为宏观不稳定性。后一种原因产生的不稳定性是等离子体内部的高频短波波长振荡，称为微观不稳定性。一个平衡的等离子体，总是会受到各种各样的扰动。假设扰动是以波的形式出现，而一般的波可以看成是平面波的适当组合，因此研究不稳定性只讨论平面波则可。平面波的时空变化因子是：（）ω可能是复数值。可写为：（）于是在γ>0时波就随时间指数增长，从而出现不稳定性。等离子体不稳定性通常发生在远小于碰撞特征时间的时间间隔之内，其特征为a）宏观不稳定性相对增长缓慢：增长率，频率or，波长。可以仅用流体理论处理，不必作涉及分布函数的分析。b）微观不稳定性不能仅用宏观运动方程导出，而必须考虑等离子体的精细描述（如）后才能得到，故又称为“速度空间不稳定性”。二、微观不稳定性的产生及意义我们知道，波的能量与振幅平方成正比。形成不稳定性要有能量来源，才能使波不断增长。驱动微观不稳定性的能量来源主要有：1．等离子体偏离麦克斯韦分布时的自由能处于麦氏分布时，等离子体的熵S为极大值，而非M氏分布时的熵值S比小，此时的自由能（U-TS）将大于M氏分布时的自由能（V-T）。当一种非麦氏分布向麦氏分布过渡时，多余的自由能被释放出来，便可以驱动微观不稳定性。2．等离子体中粒子定向运动的动能：例如由注入粒子束或由密度、温度的梯度引起的抗磁漂移所提供的能量，也可以驱动微观不稳定性，但能量较小。3．膨胀能等离子体通过膨胀趋向于空间均匀分布时，其内能将会降低，由此释放的能量可以驱动微观不稳定性，且能量较大。只要有了上述任何一种能量来源，那么借助于等离子体内部的某种耦合机制，就可以将上述之任一种能量转换为不稳定波的振幅而使之增长。一般情况下，微观不稳定性都是波长短、频率高、驱动的能量也较