2018-2019数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.3.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3.2空间几何体的体积学习目标1。掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积。2。了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积。3。会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积,h为高)．2．锥体的体积公式V＝eq\f（1,3)Sh（S为底面面积，h为高)．3．台体的体积公式V＝eq\f（1,3)(S′＋eq\r(S′S）＋S）h(S′，S为上、下底面面积，h为高）．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝eq\f(1，3）(S′＋eq\r（S′S)＋S）hV＝eq\f(1，3)Sh。知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝eq\f（4,3)πR3。知识点三球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)类型一柱体、锥体、台体的体积例1（1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．答案eq\f（\r（3),12)解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积,三棱锥A－B1BC1的高为eq\f（\r(3）,2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1，3)×eq\f（1,2)×eq\f(\r（3),2）＝eq\f(\r（3),12)。（2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤,铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.答案0.6解析设杯里的水下降hcm，由题意知πeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(20,2）))2h＝eq\f（1，3）×20×π×32，解得h＝0。6cm。反思与感悟(1）常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB＝a,AD＝b,AA′＝c，∴VC－A′D′D＝eq\f（1，3）CD·S△A′D′D＝eq\f(1,3)a·eq\f(1,2）bc＝eq\f(1，6）abc，∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－eq\f(1，6)abc＝eq\f（5，6）abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5。（2）已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC－A′B′C′中,取上、下底面的中心分别为O′,O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3×eq\f（1，2）×（20＋30)×DD′＝75DD′.又因为A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302）＝325eq\r（3)(cm2）．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3）,所以DD′＝eq\f(13\r（3)，3)(cm），O′D′＝eq\f(\r(3），6)×20＝eq\f（10\r(3）,3)（cm），OD＝eq\f(\r（3）,6）×30＝5eq\r(3）(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2）＝eq\r（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(13\r(3）,3))）2－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（5\r（3）－\f（10\r(3），3）)）2）＝4eq\r(3)(cm）．由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V＝eq\f(h，3)（S上＋S下＋eq\r（S上×S下））＝eq\f(4\r(3）,3）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3）,4）×202＋\f(\r(3),4)×302＋\f（\r(3），4)×20×30))＝1900(cm3)．类型二球的表面积与体积eq\x(命题角度1与球有关的切、接问题）例2（1）求球与它的外切等边圆锥（轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥）的体积之比．解如图,等边△ABC为圆锥的轴截面,截球面得圆O.设球的半径OE＝R,OA＝eq\f（OE，sin30°)＝2OE＝2R.∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝eq\r(3)R,∴V球＝eq\f（4，3)πR3,V圆锥＝eq\f（1,3）π·BD2×AD＝eq\f（1,3)π(eq\r(3)R)2×3R＝3πR3，∴V球∶V圆锥＝4∶9。（2)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．答案6πa2解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6）a,得球的半径为eq\f（\r（6）,2)a，则球的表面积为4πeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6），2）a)）2＝6πa2。反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq\f(a，2)，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.（2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝eq\f(\r(2),2)a，如图②。(3）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝eq\f(1，2）eq\r(a2＋b2＋c2),如图③。(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3）a。(5）正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\f(\r（6）,2)a。跟踪训练2(1）将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．答案eq\f(4π，3）解析由题意知，此球是正方体的内切球．根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是eq\f（4，3）×π×13＝eq\f（4π,3).(2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．答案eq\f(7,3)πa2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq\f（2,3）×eq\f(\r（3),2）a＝eq\f(\r(3)，3)a，OP＝eq\f（1，2)a,所以球的半径R＝OA满足R2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,3）a）)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)a）)2＝eq\f(7，12）a2，故S球＝4πR2＝eq\f（7，3)πa2.eq\x(命题角度2球的截面）例3已知过球面上三点A,B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6,AB＝4，求球的表面积与球的体积．解如图所示，设球心为O,球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R,则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，由于AC＝BC,则O1∈CM.设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝eq\r(22＋x2)，O1C＝CM－O1M＝eq\r（62－22）－x。又O1A＝O1C，∴eq\r（22＋x2）＝eq\r（62－22)－x，解得x＝eq\f（7\r（2）,4）.∴O1A＝O1B＝O1C＝eq\f（9\r（2)，4)。在Rt△OO1A中，O1O＝eq\f（R,2)，∠OO1A＝90°，OA＝R，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（R,2）))2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(9\r(2），4)))2＝R2，解得R＝eq\f（3\r(6）,2)，则S球＝4πR2＝54π，V球＝eq\f（4，3）πR3＝27eq\r(6)π.反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解,并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍．答案eq\f(3,2)解析设球的半径为R，则S球表＝4πR2。分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S圆＝πR2，∴两个半球的表面积之和S＝S球表＋2S圆＝6πR2.∴S∶S球表＝3∶2.类型三组合体的体积例4如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．解不会溢出杯子．理由如下：因为V半球＝eq\f(1,2）×eq\f（4，3)πR3＝eq\f(1，2)×eq\f(4，3)π×43＝eq\f（128，3)π(cm3），V圆锥＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f(1，3)π×42×12＝64π（cm3），所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子．反思与感悟代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别．跟踪训练4如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°,∠ADC＝135°,AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2,求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积．解如图,过点C作CE垂直于AD，交AD延长线于点E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1，3)π(52＋5×2＋22)×4－eq\f（1,3)π×22×2＝eq\f(148，3）π.1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是________cm.答案4解析∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm，∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64（cm3）．设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3＝64，解得a＝4(cm)．2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________．答案2π解析设圆柱的底面半径为r，则S侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，得r＝1，则圆柱的体积为πr2×2r＝2π。3．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍．答案3eq\r(3）解析设正方体的棱长为1,则正方体内切球的半径为棱长的一半即为eq\f（1，2）,外接球的直径为正方体的体对角线,∴外接球的半径为eq\f（\r（3)，2）。∴外接球的体积为eq\f（4,3)π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),2）)）3,内切球的体积为eq\f（4，3）π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））3，∴外接球的体积是内切球的体积的3eq\r（3）倍．4．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5），那么它的体积为________．答案eq\r（3）解析依题意得正六棱锥的高为eq\r(5－12)＝2，所以V＝eq\f（1，3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\f（\r(3),4)×2＝eq\r（3）.5．如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm和底面半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图（3)水平放置时，液面高度为28cm,则这个简单几何体的总高度为________cm.答案29解析在图（2)和图（3）中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为hcm，则有π×12×（h－20)＝π×32×（h－28),解得h＝29（cm）．1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系V柱体＝Sheq\o(,\s\up7（S′＝S））V台体＝eq\f(1，3)h（S＋eq\r（SS′）＋S′）eq\o(→，\s\up7(S′＝0）)V锥体＝eq\f（1,3)Sh。2．在三棱锥A－BCD中,若求点A到平面BCD的距离h,可以先求VA－BCD，h＝eq\f(3V，S△BCD）.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解,即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算．一、填空题1．已知正三棱锥S—ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S—BCED与三棱锥S-ABC的体积之比为________．答案3∶4解析两锥体高相等,因此VS—BCED∶VS-ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4。2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等,则正方体与圆柱的体积之比为________．答案π∶4解析设正方体棱长为1，则S正方体侧＝S圆柱侧＝4.设圆柱的底面半径为r，则2πr×1＝4,r＝eq\f（2,π)，则V正方体＝1,V圆柱＝πeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,π)）)2·1＝eq\f（4，π）.∴V正方体∶V圆柱＝π∶4.3．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为________．答案eq\f(4\r(5)，81)π解析由题意得圆锥的底面圆的周长为eq\f（240°，360°)×2π×1＝eq\f（4，3)π，设底面圆的半径为r，则有2πr＝eq\f（4，3）π,所以r＝eq\f（2，3），所以圆锥的高h＝eq\r(12－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2,3））)2)＝eq\f(\r（5）,3），故圆锥的体积V＝eq\f（1，3）×π×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3))）2×eq\f（\r（5），3）＝eq\f(4\r(5)，81）π.4．长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15），则它的外接球表面积为________．答案9π解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b,c,则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3），,bc＝\r（5），，ac＝\r（15），））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\r(3)，,b＝1,,c＝\r（5），))∴外接球半径为eq\f(\r（a2＋b2＋c2)，2）＝eq\f（3,2)，∴外接球表面积为4π×（eq\f（3,2））2＝9π。5。如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子（中间连通)．若其表面积为（448＋32eq\r(3））cm2，则其体积为______cm3.答案512＋128eq\r（3）解析设正方体的棱长为acm，则5a2＋2a2＋eq\f(\r(3),4）a2×2＝448＋32eq\r（3）,解得a＝8（cm)．∴该几何体的体积为a3＋eq\f(\r(3),4)a2·a＝512＋128eq\r(3)（cm3)．6．如图，在正直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．答案8eq\r(3)解析由题意，设AB＝a，AA1＝b，由题意可知BD＝DC1，故△BDC1为以点D为直角顶点的等腰直角三角形．又eq\f（1，2）BD2＝6，所以BD＝2eq\r（3)，BC1＝2eq\r（6）,由AB2＋AD2＝BD2，得a2＋eq\f(b2，4)＝12。①又由BC2＋CCeq\o\al(2,1）＝BCeq\o\al(2，1），得a2＋b2＝24，②由①②可得a＝2eq\r(2），b＝4，∴V＝eq\f（\r(3）,4）×（2eq\r(2)）2×4＝8eq\r（3).7.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,那么V1∶V2＝________。答案7∶5解析如图，延长A1A到A2,B1B到B2，C1C到C2，且A1A＝AA2,B1B＝BB2，C1C＝CC2，连结A2C2,A2B2，B2C2，则得到三棱柱ABC—A2B2C2，且。延长B1E，C1F，则B1E与C1F相交于点A2。因为A2A∶A2A1＝1∶2,所以＝eq\f(1,8).又＝eq\f（1,4）＝eq\f(1，4)×eq\f（1,3)＝eq\f（1，12），所以V1＝＝eq\f（7，12）,故V1∶V2＝7∶(12－7）＝7∶5。8。圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________cm.答案3解析设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×6＝πr2×6r,解得r＝3。9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm3。答案eq\f(500π，3)解析设球半径为Rcm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为（R－2）cm,所以由42＋(R－2)2＝R2,得R＝5（cm)，所以球的体积V＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4，3)π×53＝eq\f(500π，3)（cm3)．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若eq\f（V1，V2)＝eq\f(3，π),则eq\f(S1，S2）＝________.答案eq\f(3\r(2)，π）解析棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2。底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝eq\f（1,3)πr3，侧面积S2＝eq\r(2)πr2。由eq\f（V1，V2)＝eq\f(a3，\f（1，3）πr3）＝eq\f（3,π)，得a＝r，所以eq\f(S1,S2）＝eq\f(6a2，\r(2）πr2)＝eq\f（3\r(2），π)。二、解答题11．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm。(1）求圆锥体的高；(2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．解(1）设圆锥的高为h，底面半径为R,母线长为l，则h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r（102－62)＝8(cm）．（2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由△OCD∽△ACO1，得eq\f(OD，AO1）＝eq\f（OC,AC），所以eq\f(r,6)＝eq\f（8－r，10),解得r＝3。因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V锥－V球＝eq\f(1，3）×π×62×8－eq\f(4，3)π×33＝96π－36π＝60π（cm3）．12．如图,三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点,设三棱锥A－FED的体积为V1,三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2的值．解设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为eq\f(h,2），∵D，E分别是AB,AC的中点，∴S△ADE＝eq\f(1,4)S△ABC，∵V1＝eq\f(1,3)S△ADE·eq\f(h，2)，V2＝S△ABC·h，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f（1,6)S△ADE·h,S△ABC·h）＝eq\f（1，24）。13．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分是以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)解过C作CO1⊥AB于点O1，由已知得∠BCA＝90°