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文档简介
高三数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.答题前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.参考公式:柱体的体积公式,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.椎体的体积公式,其中表示椎体的底面积,表示椎体的高.球的体积公式,其中表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9题,每小题5分,共45分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则A. B. C. D.C【详解】试题分析:集合,所以,故选C.考点:交集的运算,容易题.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B【分析】本题首先可通过运算得出即以及即,然后根据与之间的关系即可得出结果.【详解】,即,,即,,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.本题考查充分条件以及必要条件的判定,给出命题“若则”,如果可证明,则说明是的充分条件,如果可证明,则说明是的必要条件,考查推理能力与计算能力,是简单题.3.设,,,则()A. B. C. D.B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可.【详解】因为,,,所以有,故选:B4.过点的直线与圆:交于,两点,当弦取最大值时,直线的方程为()A. B. C. D.A【分析】要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时,则直线过圆心,然后根据直线的两点式方程写出答案即可【详解】圆:化为所以圆心坐标要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时,则直线过圆心由直线方程的两点式得:,即故选:A5.曲线在点(1,1)处切线的斜率等于().A. B. C.2 D.1C【详解】试题分析:由,得,故,故切线的斜率为,故选C.考点:导数的集合意义.6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,树木的底部周长小于的棵数是()
A.18 B.24 C.36 D.48B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可.【详解】由频率直方图可知:树木的底部周长小于的棵数为:,故选:B7.如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是()A. B. C. D.A【详解】由点到双曲线右焦点距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是,双曲线的右准线方程是,故点到轴的距离是.8.设,,若,则的最小值为()A. B.2 C. D.D【分析】依题意可得,利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为,,且,所以,所以当且仅当,即,或时取等号;故选:D9.已知为等边三角形,,设点,满足,,,若,则()A. B. C. D.C【分析】用、表示和,再根据平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】,,,所以,得.故选:C.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.10.若是虚数单位,则复数______.【分析】根据复数除法的运算法则,结合复数的乘方法则进行求解即可.【详解】由,故答案为:11.若二项式的展开式中的系数是84,则实数__________.1【详解】试题分析:由二项式定理可得:,因为的系数是,所以即,即,所以.考点:二项式定理.12.两个圆锥的底面是一个球的同一个截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为______.【分析】根据球的体积公式,结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为,因为球的体积为,所以有,设两个圆锥的高分别为,于是有且,所以有,设圆锥的底面半径为,所以有,因此这两个圆锥的体积之和为,故答案为:13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.①.②.【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系,即可求出两球都落入盒子的概率;同理可求两球都不落入盒子的概率,进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子的概率为,甲、乙两球都不落入盒子的概率为,所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为:;.本题主要考查独立事件同时发生概率,以及利用对立事件求概率,属于基础题.14.已知函数,的部分图象如图所示,则__________.
【分析】由图求出,得出周期可求得,再代入即可求出.【详解】由函数图象可得,,则,所以,又,则,即,因为,所以.故答案为.15.设函数,若无最大值,则实数的取值范围是__.【分析】若f(x)无最大值,则,或,解得答案.【详解】f′(x),令f′(x)=0,则x=±1,若f(x)无最大值,则,或,解得:a∈(﹣∞,﹣1).故答案为本题主要考查导数和分段函数的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题:本大题共5个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中,内角,,所对的边分别为,,.已知,,,.(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.(1);(2);(3).【分析】(1)根据三角形的性质,结合同角的三角函数关系式、余弦定理进行求解即可;(2)运用正弦定理进行求解即可;(3)利用二倍角公式和两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】因为,所以,显然为锐角,因为,所以,由余弦定理可知:;【小问2详解】由正弦定理可知:;【小问3详解】因为,所以,因此为锐角,由(2)可知:,所以有,因此,,于是有.17.如图,在三棱柱中,平面,,,,分别为,,,的中点,,.
(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求二面角的余弦值.(1)见解析(2)(3)【分析】(1)根据线面垂直的性质可得,证明,再根据线面垂直的判定定理即可得解;(2)以点为原点建立空间直角坐标系,利用向量法即可得解;(3)利用向量法从而可得出答案.【小问1详解】证明:因为为的中点,,所以,因为平面,,所以平面,又平面,所以,又平面,所以平面;【小问2详解】解:如图,以点为原点建立空间直角坐标系,因为,,所以,则,则,设为平面的一条法向量,则,令,则,所以,则,所以直线与平面所成角的正弦值为;【小问3详解】解:,因为平面,,所以平面,则即为平面的一条法向量,由(2)的平面的一条法向量,则,由图可知二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.18.已知椭圆:()的离心率,点、之间的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和,则是否存在常数,使得与共线?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.(1);(2)不存在,理由见解析.【分析】(1)根据两点间距离公式,结合椭圆离心率公式进行求解即可;(2)设出直线方程与椭圆的标准方程联立,根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式,结合平面向量线性运算的坐标公式、平面共线向量的性质进行求解判断即可.【小问1详解】因为点、之间的距离为,所以,因为椭圆的离心率,所以有,而,因此组成方程组为:;【小问2详解】设的方程为,与椭圆的标准联立为:,于是有,此时设,于是有,假设存在常数,使得与共线,因为,,所以有,,因为,所以,不满足,因此不存在常数,使得与共线.关键点睛:利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键.19.设是等差数列,是等比数列,公比大于0,其前项和为.已知,,,.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设数列前项和.记,求;(Ⅲ)求.(Ⅰ);;(Ⅱ);(Ⅲ)【分析】(Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式即可求解.(Ⅱ)利用分组并项求和代入即可求解.(Ⅲ)利用错位相减法即可求解.【详解】(Ⅰ)设数列的公差为,数列的公比为(),由,,可得,解得或(舍去),所以,由,,则,解得,所以,解得,所以,解得,且,解得,所以.综上所述,,(Ⅱ)由(Ⅰ)中,所以,,故.(Ⅲ)设,,①,②①②可得,即,所以,故.20.已知函数(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;(Ⅲ)设函数,求证:.(Ⅰ)由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是(
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