卡方分布及其它分布

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业卡方分布卡方分布的定义：若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn，均服从标准（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-squaredistribution），其中参数n称为。二、卡方分布的性质：:（1）(可加性)设~这里（2）证明（1）根据定义易得。（2）设其中因为代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得于是代入（2）便证明了第二条结论。三、卡方分布的概率密度函数：其中Dx为n维x空间内由不等式所定的区域。即，Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为：其中括号和都表示的函数。因此。当z>0时，C是常数。为了定出C,在上述等式的两端令得到从而，在分母内的积分中令，即，用作代换，那么，这个积分等于因此，从而，当z>0时，即，的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n的分布，记作。它的图像如下：图（一）分布密度函数图四、卡方分布的为：，其中γ(k,z)为。其图像如下：图（二）分布的分布函数图五、卡方分布的特征函数及其推导：特征函数：ψ(t)=E=-∞+∞e=12=1六、论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。

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11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.62

20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08923.32631.598

30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21312.924

40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.61

50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.869

60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.959

70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.408

80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.041

90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781

100.700.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587

110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437

120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318

130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221

140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14

150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073

160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015

170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965

180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922

190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883

200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85

210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819

220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792

230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767

240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745

250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725

260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707

270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.69

280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674

290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659

300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646

400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551

600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.46

1200.6770.8451.0411.2891.6581.982.3582.6172.8603.1603.373

0.6740.8421.0361.2821.6451.962.3262.5762.8073.093.291广义非中心t分布定义：设。（*）的分布称为广义非中心分布，记为或。定理1：设，则的密度是（*1），其中。证：设，其中且是Borel函数使得。利用对于，则我们有（*2）因此，的密度是，令，我们立得（*）。当时，（*1）成为我们熟悉的密度。推论1：设，则（*3）,其中（*4）。证：做变换，则由（*2）结论得证。推论2：设，则（*5）其中表示的整数部分，且由定义。特别（注意）（*6）由（*3），（*4）和Legendre倍量公式，结论得证。Fm一、定义如果随机变量F的密度函数为f则称随机变量F服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为F~F二、性质1、设随机变量X与Y相互独立，且X~χm2，Y~证明：因为随机变量X与Y分别F分布，所以其密度函数分别为f1x由商的密度函数公式，故得fx令u=xf=Ax=所以，随机变量F~F2、设随机变量F~Fm,n，则E解：E=令z=mE令11+zEF=n同理可得，DF3、设随机变量T~tn，则证明：因为随机变量T~tf1则T2fx所以，T24、若随机变量F~Fm,n证明：因为随机变量F~Ff1Ffx=所以，1F三、非中心F分布设X~χ2m,δ，Y~χ2n，且X与Y相互独立，令F=XmYn，则称随机变量F的密度函数为f证明：X,Y的联合分布为e作变换U=X+Y则dxU,V的联合分布为fV=nX0=将v改为x，即为所证。二次型的分布Wishart分布设相互独立同标准正态分布，令，则①其密度函数为：②而在相互独立同正态分布时，，其密度函数为：③下面将上述结果推广至多元正态分布的情况。Wishart分布的定义假设相互独立，其中：，，，则称随机阵服从自由度为，非中心参数为的非中心wishart分布，记为，特别地，当时，则称之为中心wishart分布，记为：，其概率密度为：④其中为对称阵，是随机矩阵的观测值矩阵。三．Wishart分布的特征函数定理：如果，（已蕴含在分布的定义中），则，其中为实变元对称阵。证明：因为，所以可表示为,其中独立同分布与。有随机矩阵特征函数的定义可知,且,因此有：从而，其中,由对角定理，对于对称阵及正定阵，必存在奇异阵使得:,,,做变换,反之，则:⑤由于，所以。记,则有,故有.从而而=因此有。反之，若是对称阵S的特征函数，则。四．Wishart分布的性质性质1：设总体则样本离差阵S服从自由度为n-1的wishart分布，即:⑥证明：,且,由和，由定理：X为的阶数据阵，，A为对称阵，且，则，则。性质2：（可加性）设,且相互独立，则。证：（用特征函数）由，可知其特征函数分别为，又由相互独立，可推之的特征函数为，由定理1之逆可知，成立。性质3：设，对任意阶常数矩阵C,有,特别的有，（，为常数）。证明：由，可知,其中相互独立，且，故,而，且也相互独立，则。同理得：（，为常数）。关于阶分布密度函数有以下说明：（1）、是阶对称阵,(3)式是的个变量，的密度函数，而积分区域是使得>0的这些变量所构成的区域。（2）、为了使得阶分布有密度函数，除了，为什么还要求这是因为阶矩阵W以概率1为正定矩阵的充要条件是。证：由于，X是阶矩阵，所以时，阶矩阵W不可能是正定矩阵。此外，在时，所以欲证W以概率1为正定矩阵的充要条件是，仅需要证明在时，。在时，由于，所以W不是正定矩阵。令。显然是维欧式空间中一个没有内点的集合。由此可见，。从而有故W以概率1为正定矩阵的充要条件是得到证明。五．非中心分布的定义非中心分布是非中心分布的推广。若相互独立，则称服从非中心分布，其自由度为n。它的分布除了与n有关外，还与有关，称为非中心参数。非中心分布记为。显然，在时，服从非中心分布，其中，。这时。下面将非中心分布推广到非中心分布。若相互独立，，则称服从非中心分布，显然W的分布与和有关。下面证明其分布与有关。令，则因所以，其中：⑦⑧⑨由此看来，W的分布仅与和H有关。Wishart分布设相互独立同标准正态分布，令，则①其密度函数为：②而在相互独立同正态分布时，，其密度函数为：③下面将上述结果推广至多元正态分布的情况。Wishart分布的定义假设相互独立，其中：，，，则称随机阵服从自由度为，非中心参数为的非中心wishart分布，记为，特别地，当时，则称之为中心wishart分布，记为：，其概率密度为：④其中为对称阵，是随机矩阵的观测值矩阵。三．Wishart分布的特征函数定理：如果，（已蕴含在分布的定义中），则，其中为实变元对称阵。证明：因为，所以可表示为,其中独立同分布与。有随机矩阵特征函数的定义可知,且,因此有：从而，其中,由对角定理，对于对称阵及正定阵，必存在奇异阵使得:,,,做变换,反之，则:⑤由于，所以。记,则有,故有.从而而=因此有。反之，若是对称阵S的特征函数，则。四．Wishart分布的性质性质1：设总体则样本离差阵S服从自由度为n-1的wishart分布，即:⑥证明：,且,由和，由定理：X为的阶数据阵，，A为对称阵，且，则，则。性质2：（可加性）设,且相互独立，则。证：（用特征函数）由，可知其特征函数分别为，又由相互独立，可推之的特征函数为，由定理1之逆可知，成立。性质3：设，对任意阶常数矩阵C,有,特别的有，（，为常数）。证明：由，可知,其中相互独立，且，故,而，且也相互独立，则。同理得：（，为常数）。关于阶分布密度函数有以下说明：（1）、是阶对称阵,(3)式是的个变量，的密度函数，而积分区域是使得>0的这些变量所构成的区域。（2）、为了使得阶分布有密度函数，除了，为什么还要求这是因为阶矩阵W以概率1为正定矩阵的充要条件是。证：由于，X是阶矩阵，所以时，阶矩阵W不可能是正定矩阵。此外，在时，所以欲证W以概率1为正定矩阵的充要条件是，仅需要证明在时，。在时，由于，所以W不是正定矩阵。令。显然是维欧式空间中一个没有内点的集合。由此可见，。从而有故W以概率1为正定矩阵的充要条件是得到证明。五．非中心分布的定义非中心分布是非中心分布的推广。若相互独立，则称服从非中心分布，其自由度为n。它的分布除了与n有关外，还与有关，称为非中心参数。非中心分布记为。显然，在时，服从非中心分布，其中，。这时。下面将非中心分布推广到非中心分布。若相互独立，，则称服从非中心分布，显然W的分布与和有关。下面证明其分布与有关。令，则因所以，其中：⑦⑧⑨由此看来，W的分布仅与和H有关。分布回顾分布的定义。假设变量与相互独立，，则（1）称变量服从自由度为的分布。显然，若，则仍然服从自由度为的分布。事实上，所谓的将分布推广到多元正态分布的场合并不是直接将进行推广，而是将进行推广。服从分布。下面将推广到多元正态分布的场合。1.分布的定义定义：设，随机阵，且与相互独立，则称统计量服从自由度为的（中心）分布，记为。由于 所以的分布与无关。一般地，若，则称统计量的分布为非中心分布，记为。2.关于（中心）分布的一些性质：性质1：设是总体的随机样本，则统计量。证明：因为，所以。而，且和相互独立，从而性质2：与分布的关系：设，则。在一元统计中（设且相互独立）若，则。当时，一维总体,，所以（因），这是性质2的特例，即当时，。一般地，其中，还可以证明且与相互独立。特别，设，则，其中。补充书本以外的一些性质如下：由于与相互独立,所以在给定的条件下,条件分布仍为，则的条件分布为。由于这个条件分布与给定的没有关系，所以与相互独立，并且的（无条件）分布仍为。由于，根据多元正态分布的性质知，。因为所以有性质（1），（2）其中，分子与分母这两个分布相互独立。性质（1）说明服从分布，从而（1）式可知，分布可转化为分布.(3)由（1），有这说明分布可转化为分布。性质（2）（4）显然,时，（4）就化为（1）式。 由性质1导出性质2，把的分布转化为分布。性质（1）在把的分布转化为分布的过程中起着关键作用，所以除了记住（4）式外，还有必要记住（2），（3）式。3.关于非中心分布的定义与性质 严格的说，在与相互独立，，时，的分布是中心的分布。如果，则称的分布是非中心分布。由于 所以的分布与无关。而在时，非中心分布就是中心的分布。 与（2）式（4）式相类似，有在与相互独立，，时，，，（5）其中，分子与分母这两个分布相互独立，分子的是自由度为的非中心分布，其非中心参数为，由（5）式可以看出非中心的分布除了与有关外，还仅与有关。为此，人们将非中心分布记为，在时，分布，就是中心的分布。非中心分布与非中心分布（6）（3）非中心分布与非中心分布（7）（5）式与（7）式的证明与（2）式与（4）式的证明类似。下面讨论如何导出非中心分布的密度函数。由（7）式知，由非中心分布的密度函数可以得到非中心分布的密度函数。同样地，(6)式说明由非中心分布的密度函数也可以得到非中心分布的密度函数。考虑到非中心分布的密度函数容易记住，由它得到非中心分布的密度函数的计算过程比非中心分布的计算过程更为简单，所以下面首先介绍一下非中心分布的密度函数，然后导出非中心分布的密度函数。 根据非中心分布的密度函数，引入服从泊松分布的变量后，非中心分布变量可以理解成，在给定后的条件分布为中心分布。因而由（6）式知，若令，则在引入服从泊松分布的变量后，变量的分布可以理解为，在给定后的条件分布为中心的分布，所以非中心分布的密度函数为从而根据（6）式，可由非中心分布密度函数得到非中心分布函数为（8）在（8）式中取，即得到中心分布函数为（9）此外，中心分布的密度函数也可以有中心分布密度函数导出。知道中心分布的密度函数为从而根据（3）式，就可以得到中心分布函数，即（9）式。4.一元统计分布与多元统计分布的关系示意图Wilks分布（多元）分布Wilks分布（多元）分布分布分布Wishart分布（多元）分布F分布回归方程的显著性检验---------F检验一元回归方程的显著性检验（F检验）当我们得到一个实际问题的经验回归方程，还不能用它作分析和预测，因为是否真正描述了变量与之间的统计规律，还需要运用统计方法对回归方程进行检验。在对回归方程进行检验时，通常需要进行正态性假设，以下的内容若无特别声明，都是在此正态性假设下进行的。下面我们重点介绍F检验法。分解式的引入检验是根据平方和分解式，直接从回归效果检验回归方程的显著性。平方分解式是（1）其中，.称为总平方和，简记为或或。称为回归平方和，简记为或，反应了对的线性影响，称为回归平方或回归贡献。称为残差平方和，简记为或，其本质是估计误差的平方和，这部分反应了这组实测值扣除了对的线性影响后剩下的变异。因而平方和分解式可以（2）分解式的证明下面对上述分解式给出证明下面只需证明即可又因为，其中，所以分解式可证。（3）检验根据方差分析的原理，判断回归贡献是否有意义可以用回归方差分析进行检验。中，能够由自变量解释的部分为，不能由自变量解释的部分为。这样，回归平方和越大，回归的效果越好。又总体变异的自由度为，自变量只有一个，所以回归自由度为1，误差自由度为，构造统计量如下，（2）在正态假设下，当原假设成立时，服从自由度为的分布。当值大于临界值时，拒绝，说明回归方程显著，与有显著的线性关系。也可以根据P值做检验，具体检验过程可以放在方差分析表中进行，如表1所示。表1一元线性回归方差分析表方差来源自由度平方和均方F值P值回归残差总和1n-2n-1SSRSSESSTSSR/1SSE/(n-2)P()=P值（统计量的具体证明在多元线性回归模型中给出。）多元回归方程的显著性检验（F检验）设随机变量与一般变量的线性回归模型为其中，是个未知参数，称为回归常数，称为回归系数。称为因变量，而是个可以精确测量并可控制的一般变量，称为自变量。是随机误差，一般假定称为理论回归方程。对一个实际问题，如果我们获得组观测数据，则线性回归模型可表示为写成矩阵形式为其中，，，对多元线性回归方程的显著性检验就是要看自变量从整体上对随机变量是否有明显的影响。为此提出原假设如果被接受，则表示随机变量与之间的关系由线性回归模型表示不合适。类似一元线性回归检验，为了建立对进行检验的统计量，仍然利用总离差平方和的分解式，即简写成此分解式的证明只需利用即残差的平均值为0，残差对每个自变量的加权平均为0。用矩阵表示为具体参照一元线性回归的证明。若，则总离差。若再有条件，满足。则,独立，它们与的商分别服从和。从而~。证明：因为=，所以，而第一列全是1，所以另一方面，容易看出因为=所以其余部分证明见Seber(1976)。附分布、分布的定义定理2.4.4（分布）若相互独立的随机变量，均服从正态，则的密度函数为称为自由度为的密度函数。定理2.4.6（分布）设为独立的随机变量，分别服从具有自由度及的分布。令，，则的密度函数为称为自由度为及的分布的密度函数。Wilks分布的定义及性质本文包括Wilks分布的定义、密度函数、分布函数的积分表达式和渐进展开式、特征函数的积分形式以及相关性质及证明。回顾分布的定义，假设变量和相互独立，则则（1）称变量服从分子自由度为，分母自由度为的分布，简称服从自由度为和的分布.显然，若，则仍服从分子自由度为，分母自由度为的分布.分布和分布可以互相转化.令，（2）则.事实上，所谓将分布推广到多元正态分布的场合并不是直接将他进行推广，而是将分布进行推广.一、Wilks分布的定义：假设与相互独立，，其中.记，（3）称的分布为Wilks分布.显然，.除了，为什么还要求？这是为了使得的分子和分母为正的概率都等于.而和之间，可能，也可能.由于，（4），所以的分布与无关.通常将的分布记为.二、Wilks分布的性质：性质1：，（5）其中，相互独立，.以下是对性质1的说明，和相互独立的个参数分别为，的分布变量的乘积同分布.采用下面的方法证明两个变量同分布.显然，若变量与同分布，则与的各阶矩都相等：.反之，若与的各阶矩都相等，是否一定成立？是不一定成立的.存在这样的变量和，它们的各阶矩都相等，但他们有不同的分布.但是在一定的条件下，若与的各阶矩都相等，则与有相同的分布.例如，设是某个变量的各阶矩，它们都有限，如果对某个，级数（6）绝对收敛，则是唯一以为阶矩的变量.显然，若变量有界，则（6）式的级数必绝对收敛，故就被它的各阶矩唯一确定。已知性质1中的和都是有界的，即满足：，所以欲证性质1，仅需验证和的各阶矩都相等.分布的密度函数为，（7）所以分布的阶矩为.（8）由此得到的阶矩（9）在时，可以由的联合密度求得的阶矩.而在时，不存在的密度函数，将根据Wishart分布的定义，计算的阶矩.下面使用的求的阶矩的方法，无论还是，都是适用的.假设相互独立，，同为分布，其中，则，（10）为简化计算，不妨假设.将分一下3个步骤计算的矩：（1）令.首先由的联合密度求得的联合密度，其中,引入变量的原因就在于.（11）（2）然后由的联合密度，导出的密度函数.（3）最后由的密度函数计算的阶矩.具体说明如下：（1）的联合密度为.（12）为了由的联合密度得到的联合密度，关键在于计算变换的雅克比行列式.由于变换是这个变换的雅克比行列式为这相当于引入中间变量，使得线性变换的雅克比行列式，所以由的联合密度得到的联合密度为（13）（2）由的联合密度知与相互独立.显然，，的密度函数为，（14）故的密度函数为.（15）三、Wilks分布的密度函数推导：由概率论的知识知：若的联合密度函数为，则的密度函数为：（16）特别的，当独立时，有（17）已知W的密度函数为：（18）根据公式（11），（14），（17），（18）可以得到Wilks的密度公式。(3)由于，所以的阶矩为d==.（19）比较（9）式与（19）式.由此可见，与的各阶距都相等，所以与同分布.由于，所以性质1得到证明.利用性质1并计算等式两边的矩，可以证得Wilks分布的另一些基本性质，见下面的性质2和性质3。性质2在时，通常根据性质2将化为性质3（1），相互独立，~i=1,···,r.（2），其中，，···，，相互独立，~i=1,···,r；~在p=1,2或m=1,2时，Wilks分布可转换为F分布，其分布函数的计算比较简单。(1)p=1时，由性质1知~所以~F（m，n）.（20）m=1时，由性质2知~所以~F（p，n+1-p）.（21）（3）p=2时，由性质3知~所以~.（22）（4）m=2时，由性质2知，从而由性质3知~所以~（23）在p或m时，Wilks分布的分布函数的精确计算很是困难。性质3可以概括整理为下表：表（1）服从分布的统计量自由度任意1任意21任意2任意另外，对于和的其他值，当充分大时，可用下列渐进分布，即设，则当时，由，其中，这就是著名的逼近。四、Wilks分布的渐进展开在和给定，时讨论Wilks分布的分布函数的渐进展开。首先讨论的分布函数的渐进展开，然后讨论的分布函数的渐进展开，其中，待定，用以提高Wilks分布的分布函数的渐进计算的精度。一、分布的渐进展开Wilks分布的的阶矩的计算公式（4.1）利用这个公式首先得到的特征函数的展开式，然后基于这个特征函数的展开式得到的分布函数的渐近展开。根据（4.1），的特征函数为.,则，的特征函数的对数为其中，（4.2）在的特征函数及其对数的表达式中有因子，联系到的特征函数为，由此可以看到是在用分布近似的分布。函数有展开式（4.3）其中，，即当时，有