基于小波变换的信号去噪论文

河南农业大学理学院本科毕业论文目录TOC\o"1-3"\h\u251671绪论 1198851.1研究背景 129491.2小波分析的研究现状 3120521.3本文研究的内容 4220932小波分析概述 5285122.1小波分析的定义 5272982.2小波变化的时、频局部性 634242.3小波去噪常用的算法 7286153实验仿真 841213.1一维小波去噪原理 887683.1.1小波降噪的两个准则 8300563.1.2小波分析用于降噪的步骤 9302843.1.3小波去噪的基本模型 9325073.2基于阈值对生物信号消噪的运行结果 1050014结论 1461444.1本文工作总结 1467634.2小波分析的发展前景 148488参考文献 1627303附录 197672致谢 20 河南农业大学理学院本科毕业论文PAGEPAGE181绪论1.1研究背景自从1822年傅里叶(Fourier)提出非周期信号分解概念以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中应用最广泛的分析手段和方法，傅里叶变换是一种纯频域的分析方法，在时域无任何定位性，即不能提供任何局部时间段上的频率信息。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换并进一步发展为短时傅里叶变换。其基本思想是给信号加一个小窗，信号的傅里叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，可以反映出信号的局部特征。短时傅里叶变换已经在许多领域得到了广泛应用。但是由于窗函数选定后，时频窗窗口的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变，不利于分析包含丰富频率成份的非平稳信号,而小波变换恰恰解决了这个问题[1]。小波变换是80年代后期迅速发展起来的新兴学科，它是继傅里叶变换后的重大突破，克服了傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺点，具有时域和频域局部化的特点，适合分析非平稳信号，可以由粗及精地逐步观察信号，适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并显示其成份[2]，有“数学显微镜”的美称。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。1984年法国的地质物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，首先引入了小波的概念对信号进行了分解。Morlet的方法取得数值分析的成功，激发了Morlet本人和法国物理学家Grossman对小波分析进行深入研究的兴趣，他们开始携手进行小波分析理论的研究。在上世纪80年代末与90年代初，Meyer、Grossman、Coifman和Daubechies等人建立了小波分析的理论框架。1988年比利时数学家I.Daubechies提出了具有紧支集光滑正交小波基——Daubechies基，将小波分析的研究工作带入一个新的阶段，特别是I.Daubechies撰写的小波十讲[3]在小波发展史上具有里程碑意义。后来Mallat巧妙地将多分辨率分析思想引入到小波函数的构造和小波变换分解与重构中，将小波理论与信号分解、重构紧密结合，成功地结合了Meyer、Stromberg、Lemarie和Batle等人提出的小波理论，研究了小波变换的离散化情况[22]，并将对应的算法应用于图像的分解与重构，这就是著名的Mallat算法。Mallat算法能有效地进行图像的分解与重构，使小波变换广泛应用于信息处理领域。Mallat算法的多分辨分析的原理与人类的视觉和听觉的原理十分相似。当我们在远处观察某个物体时，只能看到它的大致轮廓，这就是高频边缘[23]的提取；但当我们离被观察物体较近时，我们就能够观察到此物体的细节部分，这就是低频分析。Mallat算法作为快速小波变换(FWT)，是小波分析理论中突破性的成果，其作用和地位相当于Fourier分析中快速Fourier变换(FFT)的作用和地位。Mallat算法的提出标志着小波分析由理论研究走入宽广的应用领域。1988年，Arneodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论。1991年，Coifman和Wickerhauser等人提出小波包概念及算法，从此小波分析的理论和方法在科学技术界得到越来越广泛的应用。在数学领域，小波分析可以看作为一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美结晶。在工程应用上，特别是在信号处理、图像处理、语音处理、模式识别、量子物理等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。小波分析是科学家、工程师和数学家们共同创造出来的，反映了大科学时代各学科之间综合、渗透的趋势，它是Fourier分析的新发展，小波分析已经成为科学发展的强大推动工具。小波变换的应用领域十分广泛，在求解偏微分方程、图像压缩[4]、语音识别[5]、医学成像与诊断[6]、大型机械的故障诊断[7]、军事雷达[8]、地震勘探数据处理[9]等许多领域都得到了成功的应用。其中小波变换在信号分析中的应用十分广泛，可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。信号的采集与传输过程中，不可避免会受到大量噪声信号的干扰，对信号进行去噪，提取出原始信号是一个重要的课题。Mallat于1992年利用奇异信号和随机噪声在小波变换尺度空间中模极大值的不同传播特性，提出了一种基于模极大值的小波去噪算法，但是这种方法对奇异性大的信号效果比较好，而对奇异性小的信号效果不太理想[10]。1994年,斯坦福大学的D.L.Donoho和I.M.Johnstone在小波变换基础上提出了小波阈值去噪[11]的概念，小波变换由于具有时频局部化，小波基选择的灵活性，计算速度快，适应性广以及在Besov空间中可以得到任何其它线性估计都达不到的最佳估计等优点，成为信号去噪的一个强有力的工具，用小波去噪可以有效去除噪声而保留原始信号，从而改提高信号的信噪比。Donoho的的硬阈值和软阈值去噪方法在实际中得到广泛的应用，而且也取得了较好的效果。但是硬阈值函数的不连续性导致重构信号容易出现Pseudo-Gibbs（伪吉布斯）现象[24]；而软阈值函数虽然整体连续性好，但估计值与实际值之间总存在恒定的偏差，具有一定的局限性。此后的众多文献[12]都是在Donoho的去噪方法基础上作了一定的改进。这些方法一定程度提高了信号的信噪比，达到了去噪的目的。为了得到最好的去噪效果，不但要选择合适的小波函数，还要确定最佳的分解层数并选取合适的阈值。阈值的选取直接影响到最终的去噪效果，如何最大限度去除噪声的同时保留信号的原始特征是去噪过程中的一个难点，如果阈值选取过小，则会出现消噪不足，过多的保留了噪声，致使信号的弱特征成份被噪声淹没；如果阈值选取过大，则会出现过消噪，将信号中的弱特征成份误认为噪声消除。当信号所含噪声的水平不同，去噪时采用的阈值也应有所不同。信噪比和最小均方误差是判断去噪效果的依据。处理实际问题时任何去噪方法都不可能使去噪后的信噪比达到无穷大，去噪后的信号仍有少量噪声残留，因此我们需要不断改进现有的去噪方法来提高信噪比，从而满足实际的需要。1.2小波分析的研究现状小波分析最早应用在地震数据压缩中，以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果。现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面,小波分析已成为国际研究热点。无论是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础，按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换,这种非线性小波变换处理非线性问题更为有效。小波变换能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去,实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平稳描述、机械零件故障特征频率的分析、微弱信号的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。近年来,通过我国科技人员的不断努力,已取得了可喜的进展,成功研制开发出小波变换信号分析仪,填补了国内空白,具有国际先进水平。在理论和应用研究基础上,提供了普遍适用于机械设备在线和离线非平稳检测诊断的技术和装置,取得了经济效益,得到国家科技进步奖励。小波分析在工程实际中比较成功的应用主要体现在如下几个方面:(1)小波分析在故障诊断中的应用。(2)小波分析在图像处理[13]中的应用。(3)小波分析在ICT中的应用。(4)小波分析在语音信号[13]处理中的应用。(5)小波分析在地球物理勘探中的应用。(6)小波分析在医学中的应用。(7)小波分析在神经网络中的应用。(8)小波分析在数学和物理中的应用。另外，小波分析还在工程计算中、CAD/CAM、大型工程有限元分析、机械工程优化设计、自动测试系统设计[14]等方面都有小波分析的应用实例;小波分析在股票价格行为分析方面也有应用。小波分析具有良好的时频局部性,被认为是分析股市数据的有效工具,利用小波变换方法对股票价格信号进行奇异性分析,可提取奇异点并分析其分布规律,它为股市管理和投资提供了帮助;小波分析也可以用于设备的保护和状态检测系统,如高压线路保护和发电机定子匝间短路保护等。1.3本文研究的内容小波分析作为一种全新的信号处理方法．它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上。为信号滤波、信噪分离和特征提取[16]提供了有效途径。有些噪声的频谱是分布在整个频域内的，经典的滤波方法就显得无能为力，小波理论的发展和成熟为非平稳信号[17]的分析提供了有利的工具。本文详细介绍了小波的基本概念，系统的研究了连续小波变换、离散小波变换。这为小波分析在信号降噪理论中的应用打下了坚实的基础。并系统的介绍了目前常用的小波去噪方法：高频系数置零去噪法和阈值去噪法。其中，阈值去噪法包括硬阈值法、软阈值法和软硬阈值法。小波硬阈值是将阈值以上的小波系数保留，阈值以下的小波系数置零，再进行小波反变换重构信号，以此实现信号去噪的方法。由于大多数噪声产生的能量较小，该方法可有效去除噪声。而软阈值方法通常会使去噪后的信号平滑一些，但也会丢掉某些特征。而硬阈值可以保留信号的特征，但是平滑方面有所欠缺。因此，在软、硬阈值优缺点的基础上提出了一种折衷的方法——软硬阈值法。本文主要研究小波分析在生物医学中的应用，即对采集的生物信号进行去噪。着重研究了用‘db1’小波进行不同层次的分解、消噪，通过实际的实验仿真来比较分析消噪的效果，并进行分析，最后得出结论：小波分解的层次越多，消噪效果越好，更好的提高信噪比，更精确的提出原始信号。2小波分析概述2.1小波分析的定义 小波分析就是将原始信号展开成一族小波基函数的加权和，这族基函数由一个由带通函数经过平移和变化比例得到。在连续的情况下，小波函数的定义为：，且（2.1）其中称为基小波，j为伸缩因子，k为平移因子。为基小波有平移、缩放构成的小波信号。因此，对于连续信号f(t)的连续小波变换公式为：（2.2）其反变化定义为：(2.3)其中(2.4)是Ψ（t）的傅里叶变化。在离散的情况下．小波函数的定义为：j,kZ(2.5)设函数，对于任意一个平方和积函数[12]，其二进制小波变换定义成函数序列，其中，(2.6)小波变换系数给出了f(x)的尺度在位置k处的逼近,其反变换的定义为：(2.7)2.2小波变化的时、频局部性由于小波函数满足式，这说明具有振荡特性，它的这一性质反映了小波函数的某种频率特性[7]，的振荡性随的增大而增大，(a是频率参数，b是时域参数)[12]．在实际问题中,取为紧支集或衰减较快的函数，也就是时间频率均具有局部性的函数，因而小波变换同样可实行信号的时一频局部化,但小波变换与STFT变换的局部化方式有明显的不同，小波变换的时频局部化格式与频率高低密切相关,在高频区，时间局部化程度也高；在低频区，频率局部化也高，因而具有较好的时频分辨率．由于连续小波变的冗余性较大，因而常采用离散小波变换，即以一定方式对(a,b)进行离散采样。常用的网格采样：,,即对小尺度的高频成分采样步长小，而对大尺度的低频成分采样步长大．由信号分析理论，离散小波变换在相平面上的局部化格点如图1所示。图1中格点有相平面上不是等均匀分布的，当m越小格点在t轴上分布越密，且时域宽度随m缩小而减小，频域宽度随m缩小而增大，也即随中心点频率的升高，时域宽度缩小，时域分辨率提高，表明了小波变换的“变焦距”特性，正是由于它的这种特性，使得它在计算机视觉、语声合成、图象处理、边缘检测、数据压缩等领域内成为很好的工具[11]。........................ .. . . . ....图2.1相平面上离散小波变换的局部化结点其中(,)2.3小波去噪常用的算法小波变换阈值的选取是基于原信号的信噪比,基于噪声模型来考虑，用模型中量用σ来表示，从g(n)中提取σ的方法有很多。在假定噪声为白噪声的情况下(噪声的数学期望为0)，一般是用原信号的小波分解的各层系数的标准差来衡量。在得到信号的噪声强度以后，就可以根据噪声强度σ来确定各层的阈值，对噪声强度为σ的白噪声，阈值的确定主要有如下几个数学模型[]：(1)强制消噪处理。该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0,即把高频部分全部滤除掉,然后再对信号进行重构处理。这种方法比较简单,重构后的消噪信号也比较平滑,但容易丢失信号的有用成分。(2)默认阈值消噪处理。该方法利用ddencmp函数产生信号的默认值,然后利用wkencmp函数进行消噪处理。(3)给定软(或硬)阈值消噪处理。在实际的消噪处理过程中,阀值往往可以通过经验公式获得，而且这种阈值比默认的阈值更具有可信度。在进行阈值量化处理中可用wthresh函数进行操作。其中，（2）、（3）属于门限消噪，它是根据经验和某种依据设定门限值（阈值），对高频系数进行门限值处理，大于门限值的保留，小于门限值的至零。前者设置固定阈值，后者根据估计计算自动获取。而前者的缺点是在某些2点会产生间断，后者可以有效避免间断，比较平滑，但也会跌点某些特征。3实验仿真3.1一维小波去噪原理小波变换克服了傅里叶变换中时域的瞬间变化在频域不能反映出来的缺陷．在去除掉高频噪声的同时保留了信号的高频成分。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率[18]，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性【20】，这就是小波变换好于经典傅里叶变换和短时傅里叶变换的地方。综合来讲，小波变换同短时傅里叶变换相比，具有更好的时频特性窗口。在小波分析中，应用比较广泛，包括信号处理、图像处理，模式识别、语音识别等，在这些领域中，信号(图像)的降噪和压缩应用比较多。由于在正交小波中，正交基的选取比传统方法更接近实际信号本身，所以通过小波变换可以更容易地分离出噪声或其他我们不需要的信息，因此在这类应用中小波分析有着传统方法无可比拟的优势。3.1.1小波降噪的两个准则一是平滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的平滑性。二是相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的最小值。3.1.2小波分析用于降噪的步骤一般来说，一维信号的降噪过程可以分为3个步骤进行：1)一维信号的小波分解。2)小波分解高频系数的阈值量化[19]。3)一维小波的重构 其中最核心的是阈值[20]的选取并量化，它直接关系到信号降噪的质量.对各层系数所需的阈值通常在分析原始信号信噪比的基础上来选取。在得到信号噪声强度后，可以确定阈值，从而实现降噪。3.1.3小波去噪的基本模型一个信号f(n)被噪声污染后为g(n)，那么基本的噪声模型就可以表示为：g(n)=f(n)+h(n)(3.1)式中，h(n)为噪声，为噪声强度在最简单的情况下可以假设h(n)为高斯白噪声，且=l。小波变换的目的就是要抑止h(n)以恢复f(n)。在f(n)的分解系数比较稀疏(非零项很少)的情况下，这种方法的效率很高。从统计学的观点看，这个模型是一个随时间推移的回归模型，这种分解方法也可以看作是在正交基上对函数f的无参估计。在这个噪声模型下，用小波信号对信号降噪的过程如图3.1所示:W作用域值fs 小波阈表示恢复小波系数作用Mask 图3.1小波降噪过程模型对小波进行分解的模型如下图所示：Sca1cd1ca2cd2ca3cd33.2小波分解的模型图（其中ca1,ca2,ca3为低频系数；cd1,cd2,cd3为高频信号）在降噪的过程中，核心的步骤是小波系数的估计，或者说是作用阈值的选取。由于阈值的选取直接影响降噪的质量，于是人们在这个问题上开动脑筋，提出了各种理论并建立了相应的模型。这些模型都有自己的使用范围，没有哪种模型是可以通用的。所以在选用时还需要根据实际情况进行分析、选择.3.2基于阈值对生物信号消噪的运行结果针对此问题,现在来研究基于阈值消噪方法对给定信号用‘db1’小波进行不同层次的消噪处理,选取的层次分别为3层和6层并对消噪的结果加以分析。图3.3原始带噪信号图3.4用‘db1’小波进行2层分解后的去噪效果图图3.5用‘db1’小波进行4层小波分解后的去噪效果图图3.5用‘db1’小波进行6曾小波分解后的去噪效果图从图中可以看出，用阈值消噪对信号进行处理，处理前、后信号差异比较大，从仿真结果可以看出，用6层小波进行分解去噪远远优于用2、4层小波进行分解，特别是第2层，噪声依然很大。即可以得出这样的结论：随着分解层数的增加，去噪效果一次比一次好，噪声一次比一次小，效果还是很不错的。这是因为：对于一维微弱信号而言，噪声基本上都集中在高频部分，而有用信号几乎都处于低频，高频很少，所以把高低频信号分解出来，并对高频信号进行处理，最后再把处理过的高频信号和低频信号进行重构，进而，得到含噪声很少的有用信号。所以，分解层次越多，分解出的噪声就越多，分解效果越好。仿真结果与理论也是十分吻合的。说明了理论的合理性。同时，阈值消噪在实际应用中也更实用一些。当对噪声e进行小波分解时，它同样会产生高频系数，所以一个信号高频系数向量是有用信号和噪声信号的高频系数的叠加。由于阈值【20】选取规则比较保守(它只将部分系数置0)，信号的高频信息有很少一部分在噪声范围内时，这种阈值非常有用，可以将弱小的信号提取出来，比起其他阈值选取方法的去噪，在去除噪声时，显得更为有效，但它有可能把有用的高频特征去除。4结论4.1本文工作总结本文对第一章对小波的发展、小波目前的应用做了详细的介绍，第二章不仅对小波分析的定义进行了阐述还对小波去噪的几种方法进行了介绍，第三章着重对小波分析用于信号去噪的原理进行了详尽的分析，同时也给出了仿真结果。通过仿真结果可以看出：对于给定的微弱的一维生物信号采用阈值去噪方法对信号进行去噪，与去噪前的信号相比，阈值去噪的效果还是相当明显的。虽然其他方法也能起到去噪的效果，但是阈值去噪更常用于实际。经过分析可知，小波分析应用于小波去噪的成功之处主要有以下几点：低熵性。小波系数的系数分布，是信号变换后的熵降低。多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好的刻画信号的非平稳特性。在不同分辨率下根据信号和噪声的分布特点进行去噪。去相关性。小波变换可以对信号去相关性，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波阈更有利于去噪。选基灵活性。由于小波可以灵活选择基，也可根据信号的特点和去噪的要求，对不同相应场合，选择不同的小波母函数。4.2小波分析的发展前景(1)瞬态信号或图像的突变点常包含很重要的故障信息,例如：机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等,都应用于测试信号的突变点。虽然这些问题发生的背景不同，但都可以归结到如何提取信号中突变点的位置及判定其奇异性(或光滑性)的问题。对图像来说,急剧变化的点通常对应于代表图像结构的边缘部位,也就是图像信息的主要部分。掌握它，也就掌握了图像的基本特征,因此,小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有了广泛的应用背景。(2)神经网络与小波分析[5-8]相结合,分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究,没有小波理论的嵌入很难取得突破。(3)非线性科学的研究正在呼唤小波分析,也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理想工具。(4)小波分析用于数据或图像的压缩,目前绝大多数是对静止的图像进行研究。因此,面向网络的活动图像压缩,小波分析也具有广泛的前景。(5)目前使用的二维基高维小波基主要是可分离的,不可分离的二维及高维小波基的构造、性质及其应用研究,由于理论上较为复杂,这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析应用开创一个新天地。参考文献[1]邱庚香,陈德海.基于小波变换的信号去噪应用[J].广州：南方冶金学院学报,2003,24.[2]王茜.小波变换及其在信号去噪中的应用[J].江苏：苏州科技学院学报（工程技术版）,2005,18.[3]李曼生,王浩.小波变换应用于信号去噪研究[J].山西：河西学院学报2007,23.[4]赵玉宝,小波变换在地震信号去噪中的应用研究[D].郑州:郑州大学，2005.[5]罗幼芝.小波变换应用于信号去噪研究[J].黑龙江：吉林师范大学学报（自然科学版），2005,26.[6]徐东星.基于小波变换的数字信号去噪方法[M].西安：西安电子科技大学,2008.[7]杨慧中,钟豪,丁锋.基于多重小波变换的信号去噪及其在软测量中的应用[J].北京：仪器仪表学报,2007,28.[8]范晓志.小波变换的信号去噪应用[J].武汉科技大学：武汉科技大学学报(自然科学版)，2004,27.[9]黄先祥,夏军.基于小波分析的数据采集与控制系统[J].深圳：计算机工程与设计,2001,22.[10]张贤达,保铮．非平稳信号分析与处理[M]．北京：国防工业出版社，1998.[11]郑治真,沈萍．小波变换及其MATLAB工具的应用．北京：地震出版社，2001.[12]程正兴.小波分析算法与应用[M]．西安：西安交通大学出版社，1998.[13]杨福生.小波变换的工程分析与应用.北京：科学出版社,1999．[14]胡昌华,李国华,刘涛,周志杰.基于Matlab6.x的系统分析与设计——小波分析[M].西安：西安电子科技大学出版社，2004.[15]谢建林，杜娟，袁小平．基于MATLAB的小波去噪方法研究[D]．福建：福建大学学报，2005.[16]文莉，刘正士，葛运建．小波去噪的几种方法[J]．安徽：合肥工业大学学报(自然科学版),2002.[17]赵瑞珍，宋国乡．一种基于小波变换的白噪声消噪方法的改进[J]．西安：西安电子科技大学学报，2000.[18]善学，郑建宏．由小波变换模极大值实现信号重构[J]．重庆：重庆邮电学院学报(自然科学版),2000．[19]潘显兵．一种改进的小波阀值降噪方法性能分析[M]．河北：微计算机信息专著,2006.[20]彭玉华．小波变换与工程应用[M]．北京