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小题必练小题必练6:等差数列与等比数列1.理解等差数列、等比数列的概念.2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.1.【2020全国二卷】数列中,,,若,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】取,则,又,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,则,所以,得.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值,解答的关键就是求出数列的通项公式,考查计算能力,属于中等题.2.【2019全国一卷】记为等差数列的前项和.已知,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有,可得,,.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做出判断.一、选择题.1.记等差数列的前项和为.若,,则的公差为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由等差数列的性质可知,,解得,故,故选A.2.已知数列是等差数列,是它的前项和,若,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】由,,得,解得,所以,故选B.3.等差数列的前项和为,若,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】由等差数列性质可知,解得,∴,本题正确选项为B.4.已知数列是公比不为1的等比数列,为其前项和,满足,且,,成等差数列,则()A. B.6 C.7 D.9【答案】C【解析】数列是公比不为的等比数列,满足,即,由,,成等差数列,得,即,解得,,则.故选C.5.等比数列的前项的乘积记为,若,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为,由,得,故,即.又,所以,故,所以,故选C.6.在等比数列中,,,则()A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】因为,,∴,∴或(舍去),∴,则,∴,故选B.7.已知是等差数列的前项和,若,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为,由题意得,解得,所以,故选A.8.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】,,解得,,本题正确选项为C.9.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半,”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半,“打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则马主人应偿还()升粟?A. B. C. D.【答案】D【解析】因为斗=升,设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为,由题意可知其构成了公比为2的等比数列,且,则,解得,所以马主人要偿还的量为,故选D.10.已知数列为各项均为正数的等比数列,是它的前项和,若,且,则()A.32 B.31 C.30 D.29【答案】B【解析】∵,∴,,.∵,∴,则,,,故,故选B.11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为:有一个人要走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天恰好到达目的地,请问第三天走了()A.里 B.里 C.里 D.里【答案】B【解析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列,由等比数列的求和公式可得,解得,则,故选B.12.已知等差数列的前项和为,,,则数列的前2019项和为()A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的公差为,,,,,联立解得,,.则数列的前2019项和,故选C.二、填空题.13.设为等比数列的前项和,,则_______.【答案】【解析】由题意,设等比数列的公比为,由,即,解得,则,即.14.等差数列中,,,则与等差中项的值为_____.【答案】11【解析】根据题意,等差数列中,,,则有,所以与的等差中项为,故答案为11.15.春夏季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列,已知,,且满足,则该医院30天入院治疗流感的人数共有______人.【答案】255【解析】由于,所以n为奇数时,;n为偶数时,,所以,构成公差
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