高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线中的探究性问题（文） 教师版

圆锥曲线中的探究性问题圆锥曲线中的探究性问题大题优练7优优选例题例1．椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率，点分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于两点，设直线的斜率分别为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程；不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线，满足．【解析】（1）由题意可知椭圆中，，由离心率，可得，又知，所以椭圆的标准方程为．（2）右焦点，右顶点，假设存在直线，满足，若直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；设直线的方程为，联立方程，化简得，由题意易知恒成立，设直线与椭圆的两个交点为，，则，所以，即直线，化简得，综上可知，存在直线，满足．例2．已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析．【解析】（1）由题意可知：，所以，设点，，A，B在椭圆上，．．．．．．．．．．．．．．①，．．．．．．．．．．．．．．．②因为，．．．．．．．．．．．．．．③由①-②，得，即，所以，由③得，，椭圆C方程为．（2）设直线，联立，得，，，，，假设存在点D，则MD的直线方程为，，所以，，若为等边三角形，则，即，方程无实数解，不存在这样的点D．

模拟模拟优练1．已知右焦点为的椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为．【解析】（1）因为椭圆经过点，且该椭圆的右焦点为．所以，解得，因此，椭圆的标准方程为．（2）存在直线，使得，理由如下：若直线与轴垂直，则直线过点，不合乎题意，由已知可设所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得，，设、，则，，记直线、的斜率分别为、，欲使直线满足，只需．因为、、三点共线，所以，即．即，由，即，可得．所以存在直线，使得，此时直线的方程为，即．2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于，两点，试判断是否存在定点，使得．若定点存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，定点为．【解析】（1）∵，∴在中，，∴，∴，∴，∴椭圆方程可化为．又椭圆经过点，∴，解得，∴，故椭圆的方程为．（2）若直线的斜率存在，∵直线经过定点，∴不妨设直线的方程为，，，联立，消去整理得，∴，，，设定点为，则，，，∴，解得，∴，∴当斜率存在时，存在定点，使得；若直线的斜率不存在时，不妨令交点，，点显然满足，综上，存在定点，使得．3．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为．【解析】（1）由题意得，所以，故椭圆的标准方程为．（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为，代入椭圆的方程得．设，两点的坐标分别为，，所以，所以，且，．因为，即，所以，即．所以，解得．又因为，所以．所以存在直线满足条件，其方程为．4．已知椭圆的离心率，并且经过定点．（1）求椭圆E的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A，B两点，满足，若存在求m值；若不存在说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将代入椭圆方程，可得，又，，解得，，，即有椭圆的方程为．（2）设，，由，所以，，，由，得，解得，又方程要有两个不等实根，，所以，的值符合上面条件，所以．5．已知椭圆的离心率是，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过右焦点且交椭圆于两点，点是直线上的任意一点，直线的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，，即，又，，代入上式中得到，，，于是，