2022人教版高一数学必修一知识点

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第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素确实定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y

（3）元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合

3.集合的表示：…如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

留神：常用数集及其记法：XKb1.Com

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集：N*或N+

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

1）列举法：a,b,c……

2描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合xR|x-3>2,x|x-3>2

3语言描述法：例：不是直角三角形的三角形

4Venn图:

4、集合的分类：

1有限集含有有限个元素的集合

2无限集含有无限个元素的集合

3空集不含任何元素的集合例：x|x2=－5｝

二、集合间的根本关系

1.“包含”关系—子集

留神：有两种可能（1）A是B的一片面，；（2）A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B5≥5，且5≤5，那么5=5

实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素一致那么两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:假设AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA

③假设AB,BC,那么AC

④假设AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由全体属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由全体属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB=x|xA，或xB．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中全体不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作，即

CSA=

性质AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

CuACuB

=CuAB

CuACuB

=CuAB

ACuA=U

ACuA=Φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设A、B是非空的数集，假设按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=fx，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域．

留神：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

1分式的分母不等于零；

2偶次方根的被开方数不小于零；

3对数式的真数务必大于零；

4指数、对数式的底务必大于零且不等于1.

5假设函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各片面都有意义的x的值组成的集合.

6指数为零底不成以等于零，

7实际问题中的函数的定义域还要保表明际问题有意义.

一致函数的判断方法：①表达式一致（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致两点务必同时具备

2．值域:先考虑其定义域

1查看法2配方法3代换法

3.函数图象学识归纳

1定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象．C上每一点的坐标x，y均得志函数关系y=fx，反过来，以得志y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.

2画法

1.描点法：2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，假设按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，那么应得志：

1集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的；

2集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

3不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

1在定义域的不同片面上有不同的解析表达式的函数。

2各片面的自变量的取值处境．

3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

假设y=fuu∈M,u=gxx∈A,那么y=f[gx]=Fxx∈A称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性局部性质

（1）增函数

设函数y=fx的定义域为I，假设对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1假设对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1留神：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

假设函数y=fx在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3.函数单调区间与单调性的判定方法

A定义法：

（1）任取x1，x2∈D，且x1（2）作差fx1－fx2；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差fx1－fx2的正负）；

（5）下结论（指出函数fx在给定的区间D上的单调性）．

B图象法从图象上看升降

C复合函数的单调性

复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx，y=fu的单调性紧密相关，其规律：“同增异减”

留神：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一致的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f－x=fx，那么fx就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f－x=—fx，那么fx就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f－x与fx的关系；

○3作出相应结论：若f－x=fx或f－x－fx=0，那么fx是偶函数；若f－x=－fx或f－x＋fx=0，那么fx是奇函数．

留神：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称那么函数是非奇非偶函数.若对称，1再根据定义判定;2由f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定;3利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11．函数（小）值

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值

○2利用图象求函数的（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的（小）值：

假设函数y=fx在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=fx在x=b处有值fb；

假设函数y=fx在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数y=fx在x=b处有最小值fb；

第三章根本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，假设，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）；

（2）；

（3）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

留神：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>10定义域R定义域R

值域y＞0值域y＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

留神：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，那么；取遍全体正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，假设，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）

说明：○1留神底数的限制，且；

○2；

○3留神对数的书写格式．

两个重要对数：

○1常用对数：以10为底的对数；

○2自然对数：以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

幂值真数

＝N＝b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

假设，且，，，那么：

○1＋；

○2－；

○3．

留神：换底公式：（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）．

（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

留神：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留神分辩。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

a>10定义域x＞0定义域x＞0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）全体的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．更加地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地迫近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地迫近轴正半轴．

第四章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

1.函数的奇偶性

1若fx是偶函数，那么fx=f-x;

2若fx是奇函数，0在其定义域内，那么f0=0可用于求参数;

3判断函数奇偶性可用定义的等价形式：fx±f-x=0或fx≠0;

4若所给函数的解析式较为繁杂，应先化简，再判断其奇偶性;

5奇函数在对称的单调区间内有一致的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

1复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[gx]的定义域由不等式a≤gx≤b解出即可;若已知f[gx]的定义域为[a,b],求fx的定义域，相当于x∈[a,b]时，求gx的值域即fx的定义域;研究函数的问题确定要留神定义域优先的原那么。

2复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像或方程曲线的对称性

1证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在图像上;

2证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在C2上，反之亦然;

3曲线C1：fx,y=0,关于y=x+ay=-x+a的对称曲线C2的方程为fy-a,x+a=0或f-y+a,-x+a=0;

4曲线C1:fx,y=0关于点a,b的对称曲线C2方程为：f2a-x,2b-y=0;

5若函数y=fx对x∈R时，fa+x=fa-x恒成立，那么y=fx图像关于直线x=a对称;

6函数y=fx-a与y=fb-x的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

1y=fx对x∈R时，fx+a=fx-a或fx-2a=fxa>0恒成立,那么y=fx是周期为2a的周期函数;

2若y=fx是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，那么fx是周期为2︱a︱的周期函数;

3若y=fx奇函数，其图像又关于直线x=a对称，那么fx是周期为4︱a