第三章不等式

第第页第三章不等式§3.1不等关系与不等式知识梳理1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b为________，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a________b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b________a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a________c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c________b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac______bc；a>b，c<0⇒ac______bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c________b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac________bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an________bn；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)________eq\r(n,b).知识点一不等式的性质及运用例1a、b、c为实数，判断下列语句是否正确．(1)若a>b，则ac<bc；(2)若ac2>bc2，则a>b；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；(4)若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；(5)若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a>0，b<0.变式训练1判断下列语句是否正确，并说明理由．若eq\f(c,a)<eq\f(c,b)且c>0，则a>b；(2)若a>b>0且c>d>0，则eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))；(3)若a>b，ab≠0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(4)若a>b，c>d，则ac>bd.知识点二利用不等式的性质求取值范围例2已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范围．变式训练2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．知识点三比较两实数的大小例3(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．变式训练3比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然.课时作业1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|2．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列不等式正确的是()A．a2<b2 B．a2b<ab2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)3．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定4．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为()A．M<N B．M≤N C．M>N D．M≥N5．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab>ac B．ac>bcC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c26．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．8．设n>1，n∈N，A＝eq\r(n)－eq\r(n－1)，B＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，则A与B的大小关系为________．9．设a>b>0，试比较eq\f(a2－b2,a2＋b2)与eq\f(a－b,a＋b)的大小．10．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．例1已知m∈R，a>b>1，f(x)＝eq\f(mx,x－1)，试比较f(a)与f(b)的大小．二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则a>b⇔eq\f(a,b)>1；a<b⇔eq\f(a,b)<1；a＝b⇔eq\f(a,b)＝1.(2)若a，b都是负数，则a>b⇔eq\f(a,b)<1.a<b⇔eq\f(a,b)>1；a＝b⇔eq\f(a,b)＝1.作商比较法的基本步骤为：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，(ab)eq\f(a＋b,2)三者的大小．三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断．例3对于0<a<1，给出下列四个不等式①loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))②loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))③a1＋a<a1＋eq\f(1,a)④a1＋a>a1＋eq\f(1,a)其中成立的()A．①与③ B．①与④C．②与③ D．②与④四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．例4是否存在实数a，使不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(1,12)loga(a－1)＋eq\f(2,3)对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因．误用不等式的性质而致错例已知：1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．3.2一元二次不等式及其解法(一)知识梳理1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b(a≠0)的形式．(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集知识点一一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集(1)－2x2－x＋1>0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.变式训练1求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.知识点二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．变式训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.知识点三一元二次不等式与一元二次方程的关系例3若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．变式训练3已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β}，其中0<α<β，a<0，求cx2＋bx＋a>0的解集．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0(a>0))的解集为{x|x<x1或x>x2}(或{x|x1<x<x2}(x1<x2))，可得出x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根.课时作业1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(3,2)))2．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()3．函数y＝lg(x2－4)＋eq\r(x2＋6x)的定义域是()A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)5．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)的最大值为()A．18 B．19 C．5eq\f(5,9) D．不存在x－3－2－101234y60－4－6－6－4066．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是____________．7．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．8．若函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．9．已知x2＋px＋q<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<\f(1,3)))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．10．解关于x的不等式：ax2－2x＋1>0.3.2一元二次不等式及其解法(二)知识梳理1．解分式不等式的同解变形法则：(1)eq\f(fx,gx)>0⇔____________；(2)eq\f(fx,gx)≤0⇔________________；(3)eq\f(fx,gx)≥a⇔eq\f(fx－agx,gx)≥0.2．处理不等式恒成立问题的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔____________；ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔____________.(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：a>f(x)，x∈D恒成立⇔____________；a<f(x)，x∈D恒成立⇔____________.知识点一分式不等式的解法例1解分式不等式：(1)eq\f(x＋1,2－x)≥－2；(2)eq\f(x2＋2x－3,－x2＋x＋6)<0.变式训练1解不等式：eq\f(x＋2,x2＋x＋1)>1.知识点二恒成立问题例2设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．变式训练2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．知识点三一元二次方程根的分布例3设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．变式训练3若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.课时作业1．不等式(x－1)eq\r(x＋2)≥0的解集是()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≥－2或x＝1}2．不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为()A．{x|x≠－2} B．RC．∅ D．{x|x<－2或x>2}3．若a>0，b>0，则不等式－b<eq\f(1,x)<a等价于()A．－eq\f(1,b)<x<0或0<x<eq\f(1,a)B．－eq\f(1,a)<x<eq\f(1,b)C．x<－eq\f(1,a)或x>eq\f(1,b)D．x<－eq\f(1,b)或x>eq\f(1,a)4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)．5．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>26．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围为________．7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．8．已知关于x的不等式eq\f(ax,x－1)<1的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是________．9．已知函数f(x)＝eq\f(x2,ax＋b)(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式：f(x)<eq\f(k＋1x－k,2－x).10．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1解不等式：eq\f(x2＋2x－2,3＋2x－x2)≥x.二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2解不等式：eq\f(x－kx＋3,x＋2)<x＋1(k∈R)．三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a(“客”)的取值范围，反过来求x(“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a为“主”，未知数x为“客”，则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域知识梳理1．二元一次不等式(组)的概念(1)含有________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线____________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都________．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的________，即各个不等式所表示的平面区域的____________．知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x－y－6≥0；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))变式训练1画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<3,2y≥x,3x＋2y≥6,3y<x＋9))表示的区域．知识点二平面区域的面积问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为()A．2 B．1 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)变式训练2若A为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2，))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．知识点三平面区域内的整点个数问题例3利用平面区域求不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3,y≥2,6x＋7y≤50))的整数解．变式训练3画出2x－3<y≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数.课时作业1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的()A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方2．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为()3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y≤12，,x－y>－1，,y≥0))表示的平面区域内整点的个数是()A．2 B．4 C．6 D．84．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y2≤1,x－y≤0,x＋y≤0))，则平面区域D的面积是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(π,2) B．1＋eq\f(π,2)C.eq\f(1,2)＋eq\f(π,4) D．1＋eq\f(π,4)5．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y＋4≥0，,x≤a))(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为()A．3eq\r(2)＋2 B．－3eq\r(2)＋2C．－5 D．16．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围为________．7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1，3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．8．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于________．9．画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1≥0，,2x＋y－5≤0，,y≤x＋2))所表示的平面区域并求其面积．10．画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,x＋2y＋3＞0，,5x＋3y－5≤0))表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)．3.3.2简单的线性规划问题(二)知识梳理1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．知识点一实际应用中的最优解问题例1某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？变式训练1某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．知识点二实际应用中的最优整数解问题eq\o(\s\up7(规模类型),\s\do5(钢板类型))A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式训练2某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－11y≥－22，,2x＋3y≥9，,2x≤11，))则z＝10x＋10y的最大值是________．1．解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点．常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解．(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解.课时作业1．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝x＋2y的最小值是()A．0 B.eq\f(1,2) C．1 D．22.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C． 4D.eq\f(5,3)3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的eq\f(2,3)倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元4.如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(4,3)))5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．6．已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.7．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用一张A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax＋By＋C＝0，根据代数式Ax＋By＋C的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2如图所示，四条直线x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0,3x－y＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z＝eq\f(y－b,x－a)，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．例3(2009·山东济宁模拟)已知点P(x，y)满足点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值为()A．6,3 B．6,2 C．5,3 D．5,2四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．例4某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？§3.4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)材拓展1．一个常用的基本不等式链设a>0，b>0，则有：min{a，b}≤eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))≤max{a，b}，当且仅当a＝b时，所有等号成立．若a>b>0，则有：b<eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<eq\r(\f(a2＋b2,2))<a.2．基本不等式的拓展(1)a，b∈R，都有ab≤eq\f(a＋b2,4)≤eq\f(a2＋b2,2)成立．(2)a2＋b2≥2ab可以加强为a2＋b2≥2|a|·|b|，当且仅当|a|＝|b|时取等号．(3)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立．(4)若ab>0，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.3．利用基本不等式求最值的法则基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)在(0，eq\r(k)]上单调递减，在[eq\r(k)，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)是奇函数，所以f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)在(－∞，－eq\r(k)]上为增函数，在[－eq\r(k)，0)上为减函数．函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)在定义域上的单调性如右图所示．例如：求函数f(x)＝sin2x＋eq\f(5,sin2x)，x∈(0，π)的最小值．法突破一、利用基本不等式求最值方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．例1求函数y＝eq\f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值．二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a<f(x)恒成立⇔a<[f(x)]min.例2已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2eq\r(2)－1)C．(－1,2eq\r(2)－1) D．(－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1)三、利用基本不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3已知a>2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)<1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4某公司计划用一块土地建造一幢总面积为Am2的办公大楼，已知征地的费用是2388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)3.4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(二)知识梳理1．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当________时，积xy有最________值为________．(2)若xy＝p(积p为定值)，则当________时，和x＋y有最________值为________．2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是________；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．知识点一利用基本不等式求函数的最值例1已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,2) B．最小值eq\f(5,4) C．最大值1 D．最小值1变式训练1已知x<eq\f(5,4)，求函数f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值．知识点二利用基本不等式求代数式的最值例2已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．变式训练2已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．知识点三基本不等式的实际应用例3如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？变式训练3甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间