等腰三角形和直角三角形TCT

中小学个性化辅导专家PAGEPAGE16北辰教育个性化辅导教案学员编号：年级：八年级课时数：3学员姓名：XYZ辅导科目：数学学科教师：凌巍授课类型T-等腰三角形的性质、判定C-等腰三角形专题讲解T-能力提升星级★★★★★★★★★教学目的熟练掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定方法。2、熟练应对各种题型3、提高应试能力授课日期及时段2016年7月26日17：30——19：30教学内容一、三角形全等判定公理：1.三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）。2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。等腰三角形的性质1、看问题回答一下问题_______________________三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做__________，另一边叫做________腰的夹角叫做_________，腰和底边的夹角叫做_________。在△ABC中，AB、AC叫做这个三角形的___________，BC叫做这个三角形的___________，∠A是这个三角形的___________，∠B、∠C是这个三角形的____________。1、动手做一做做一张等腰三角形的纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.通过动手操作，你能发现什么现象吗？折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C．结论：等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）数学语言表示：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）例1：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数．（1）.若把已知条件∠B=80°改为∠C=80°，求另外两个角的度数呢？（2）.那么改为∠A=80°，又怎样呢？（3）如果改为“有一个角等于80°”，应该怎么解答呢？试一试2：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，AD为边BC上的高，试写出图中所有各角的度数，并用推理格式写出其中两个角的解答过程．动手做一做在等腰三角形的纸片请画出等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线，这三条线并比一比，能发现什么特征？结论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．让我们来总结一下知识点：1、等边对等角。（等腰三角形的两个底角相等）2、等腰三角形的三线合一。（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。）3、等腰三角形的证明在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？结论：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：试一试3，已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．证法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=EQ\F(1,2)∠ABC，∠2=EQ\F(1,2)∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)证法2：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．4、“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论。等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判别一个三角形是等边三角形？性质判定的条件等腰三角形（含等边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60°等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=30°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．一、选择题:1．在△ABC中，AB＝AC，∠A=36度，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有等腰三角形的个数是()A．1B．2C．3D．42．下列说法中，正确的有()①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C.3个D．4个3．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是()A．等边三角形D．等腰三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形4．如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是()(第4题)(第6题)A.等边三角形B．等腰三角形C.直角三角形D．无法确定5．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P'与P关于OB对称，P"与P关于OA对称，则O，P'P"三点所构成的三角形是()A.直角三角形B．钝角三角形C.等腰三角形D．等边三角形6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD＝2BC，则∠A等于()A．15°B．25°C．30°D．35°7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，－2)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有()A．2个D．3个C．4个D．5个8．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A．(1)(2)(3)B．(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)二、填空题：(本题共8小题，每小题3分，共24分．把最后结果填在题中横线上)9．已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm．10．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．11．如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______．(第11题)(第13题)12．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______．13．如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于_______．14．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.(第14题)(第15题)15、正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用不同的分割方法，把下图中的两个正三角形分别分割成四个等腰三角形．(标出必要角度)16．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．17、如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．18．如图，点D、E在△ADC的边BC上，AD=AE，BD＝EC，求证：AB=AC．19．如图，AB＝AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点，(1)求证：AF垂直于CD．(2)在你连接BE后，还能得出什么新的结论?请写出三个．(不要求证明)知识结构典例讲解例一、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例二、如右图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.看我72变1、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于2、如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?B1C1呢?4、小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米。一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．108°二、填空题6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是_____．10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，求AD的长．12．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.13．已知△ABC中AB=AC，点P是底边的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，求证：PD=PE.本节课主要是培养五星级学生的逻辑推理能力，请阅读以下说明。说明：关于逻辑推理能力，我国心理学界也展开里一些研究，但对推理能力的结构成分大致仍为归纳、演绎、类比推理能力三种（史亚娟，华国栋，中小学生数学能力的结构及其培养，教育学报，2008（3））.数学教学大纲和考试大纲中虽然提出了逻辑推理能力的培养、考查要求，但至于包括哪几方面的推理能力，并未进一步说明.为了落实考纲的考查要求，上海市教育考试院将逻辑推理能力分为演绎推理的基本规则与方法的运用、解释性论证、发现性论证三个层次（上海市初中毕业生统一学业考试解读，2011数学修订版）。为了使我们的能力培养课程更具操作性，我们提出将逻辑推理能力分为四个层次，即推理的基本规则与方法的运用、合情推理与演绎推理、解释性论证、发现性论证.将这四个层次与学生在测试中表现出的不同成绩相匹配以进行相应的培养和训练，以提升他们的逻辑推理能力.对于五星级学生，我们不做单一维度的逻辑推理能力培养，而是主要进一步发展其发现性论证能力层次，发现性论证能力是思维的高级形态，通过培养发现性论证能力，发展五星级学生思维的批判性和创新性.教法建议：关于发现性论证能力，要坚持“先说后做”的策略，即先请学生叙述自己的思考、推理过程，教师根据学生的叙述判断其推理的逻辑是否合理，推理的路径是否最优，并给予相应的指导.难度的设置则采取阶梯式的原则，由浅入深.建议时间：20-25分钟.例1、中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长。例2、中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？看我七十二变1、8.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC