高一物理第四讲匀变速直线运动-v、t、x、a关系(学生版)

8/9第四讲匀变速直线运动中的v、x、t、a的关系【基础知识】

一、匀加速（减速）直线运动的定义：物体的速度随时间均匀增加（减少）的变速直线运动，即相同时间Δt内速度变化量Δv都相等。二、匀变速直线运动的运动规律v0=0时①速度与时间关系：v0=0时②位移与时间关系：③速度与位移关系：公式推导及深入理解（一）速度与时间1、由匀变速直线运动的规律可得·a即v-v0=at，v=v0+at2、矢量性：(1)公式中的v0、v、a为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．(2)a与v0方向相同时，物体做匀加速运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．（二）位移与时间1、在匀变速直线运动中，其v­t图象是一条倾斜的直线，要求t时间内物体的位移，我们可以把时间分成n小段，从每小段起始时刻的速度乘以时间eq\f(t,n)就近似等于这段时间的位移，各段位移可用一高而窄的小矩形的面积表示，把所有小矩形的面积相加，就近似等于总位移．如图甲所示．如果n的取值趋向于无穷大，那么结果就很精确了，实际上v­t直线下面梯形的面积就表示了物体的位移．如图乙所示，面积为：S＝eq\f(1,2)(OC＋AB)×OA，换上对应的物理量得x＝eq\f(1,2)(v0＋v)t，把v＝v0＋at代入，即得x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.2、矢量性：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向．一般以v0的方向为正方向．(1)若a与v0同向，则a取正值；(2)若a与v0反向，则a取负值；(3)若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；(4)若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．3、重要推论（1）匀变速直线运动的平均速度等于初速度和末速度之和的一半即：（2）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度即：

（三）速度与位移

1、公式推导由v=v0+at可得代入x=v0t+at2可得v2-v02=2ax2、速度与位移的关系式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．(2)x>0，说明位移的方向与初速度的方向相同，x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反．(3)当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax.当加速度一定时，可通过位移求解末速度或通过末速度求解位移．(4)当v＝0时，公式简化为－veq\o\al(,0)2＝2ax.在加速度一定时，可通过位移求解初速度或通过初速度求解位移．四、匀变速直线运动的基本公式的比较1．关于基本公式的比较一般形式v0＝0涉及的物理量不涉及速度公式v＝v0＋atv＝atv、v0、a、t位移x位移公式x＝v0t＝eq\f(1,2)at2x＝eq\f(1,2)at2x、v0、t、a末速度一般形式v0＝0涉及的物理量不涉及速度与位移关系公式v2－veq\o\al(2,0)＝2axv2＝2axv、v0、a、x时间平均速度求位移公式x＝eq\f(v0＋v,2)tx＝eq\f(v,2)tx、v0、v、t加速度a2.解题时选取公式的基本原则(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(v＝v0＋at,x＝v0t＋\f(1,2)at2))为基本公式，原则上可解决任何匀变速直线运动问题．如果问题中涉及运动时间，一般优先考虑用两个基本公式求解问题．(2)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax.(3)如果题中无加速度a，也不涉及到加速度的问题，用eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)＝eq\f(v0＋v,2)计算比较方便.【课堂精讲】题型一、速度公式v＝v0＋at的应用例1、（2013•金山区一模）质量为lkg的小球从空中某处自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，则（）

A．小球下落时离地面的高度为0.45m

B．小球在0.8s内的路程为0.8m

C．小球第一次反弹后的加速度大小为10m/s2

D．小球与地面碰撞过程中速度的变化量的大小为2m/s解析：A、小球下落时离地面的高度等于图象在0﹣0.5s内“面积”大小，即得h1==1.25m．故A错误．

B、小球在0.5﹣0.8s时间内上升的高度为h2=．则小球在0.8s内的路程为S=h1+h2=1.7m．故B错误．

C、速度图象的斜率等于物体的加速度，则得小球第一次反弹后的加速度大小为a==m/s2=10m/s2．故C正确．

D、小球与地面碰撞过程中速度的变化量为△v=﹣3m/s﹣5m/s=﹣8m/s，速度的变化量的大小为8m/s．故D错误．答题技巧：本题解题的关键在于正确理解图象的意义：速度图象的“面积”大小等于物体在某一段时间内发生的位移、斜率等于物体的加速度．熟练掌握运用图象处理物理问题的能力．变式1、（2013•郑州一模）做匀加速沿直线运动的质点在第一个3s内的平均速度比它在第一个5s内的平均速度小3m/s，则质点的加速度大小为（）

A．1m/s2B．2m/s2C．3m/s2D．4m/s2变式2、一质点由静止开始做匀加速直线运动，当它时间为t时，未速度为vt，当它的时间为nt时，末速度为（）A．nvtB．vtC．n2vtD．n

变式3、如图所示，在一条平直的公路上有等间距的五个点A，B，C，D，E，相邻两点间距离为L=30m．一辆汽车在公路上做匀加速直线运动，经过这五个点，已知汽车（车头最前端）通过AB段和BC段所用时间分别为3s和2s．试求：

（1）汽车的加速度a的大小；

（2）汽车（车头最前端）经过E点时刻的速度V的大小．

（3）汽车（车头最前端）经过BE所用时间．

变式4、猎豹是目前世界上在陆地奔跑速度最快的动物，时速可达上百公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命．猎豹在一次追击猎物时（如图），经过4s匀加速，速度由零达到最大，然后匀速运动保持了4s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，以大小为3m/s2的加速度减速，经过10s停下，设此次追捕猎豹始终沿直线运动，求：

（1）画出猎豹奔跑过程的速度﹣﹣时间图象；

（2）猎豹加速时的加速度多大；

（3）全过程中，猎豹奔跑的位移为多少？

题型二、位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的应用例2、（2010•江西模拟）一架飞机静止在水平直跑道上．飞机起飞过程可分为两个匀加速运动阶段，其中第一阶段飞机的加速度为a1，运动时间为t1．当第二阶段结束时，飞机刚好达到规定的起飞速度v0．飞机起飞过程中，在水平直跑道上通过的路程为s；求第二阶段飞机运动的加速度a2的大小和时间t2．

解析：第一、二阶段结束时飞机运动速度分别为V1=a1t1V0=V1+a2t2运动的距离分别为所以总距离为s=s1+s2解得a2=t2=

答题技巧：本题是匀变速直线运动规律的直接应用，比较简单．变式1、（2007•北京）图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m/s，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（）

A．10﹣3sB．10﹣6sC．10﹣9sD．10﹣12s变式2、为了测试某一赛车的加速性能，让该赛车在平直的道路上做匀加速直线运动，它经过某一路标时开始计时，此时的速度是6m/s，经2s它的速度提升到14m/s，求：

（1）该赛车的加速度有多大？

（2）5S末该赛车的速度是多少？

（3）经过6s该赛车通过的位移是多少？变式3、（2014•蒙山县模拟）“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时．受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体（如木箱），再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度大小为4m/s2，运动过程中的最大速度为4m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求：

（1）该受试者在前10米的过程中匀速运动的时间；

（2）该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？变式4、甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔t内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车甲的加速度大小是a，汽车乙的加速度大小是2a；在接下来的相同时间间隔t内，汽车甲的加速度大小变为2a，汽车乙的加速度大小变为a．求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．题型三、速度与位移公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax的应用例3、做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到4v时所发生的位移是（）

A．B．C．D．解析：令物体做匀加速直线运动的加速度为a，则根据匀变速直线运动的速度位移关系v2﹣v02=2ax有：

（2v）2﹣v2=2ax，则有当物体速度由3v增加到4v时，同样根据速度位移关系有：（4v）2﹣（3v）2=2ax′代入得：x’=故选D答题技巧：根据速度位移关系列式求解，注意速度因为是匀加速直线运动，物体速度由v增加到2v和由3v增加到4v时间相同，物体在这两段加速的时间里平均速度不同．变式1、（2011•河南模拟）甲乙丙三辆汽车以相同的速度经过同一路标，从此时开始，甲做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，他们通过下一路标的速度相同，则（）

A．甲车先通过下一路标B．乙车先通过下一路标C．丙车先通过下一路标D．三辆车同时通过下一路标变式2、列车长为L，铁路桥长也是L，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头的速度是v1，车头过桥尾的速度是v2，则车尾通过桥尾时的速度为（）

A．B．2v2﹣v1C．D．变式3、一个物体由静止开始以加速度a1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m/s．求：（1）的值；（2）物体加速度改变时速度的大小．题型四、匀变速直线运动规律的灵活应用例4、如图所示，一滑雪运动员从85m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

解法一：利用公式v=v0+at和x＝v0t＋eq\f(1,2)at2求解

由公式v=v0+at得at=v一v0

代入x＝v0t＋eq\f(1,2)at2有

故

解法二：利用公式v2－v02=2ax和v=v0+at求解

由公式2ax=v2－v02得，加速度

由公式v=v0+at得，需要的时间t=25s

解法三：利用平均速度的公式和求解

平均速度由得，需要的时间t=25s

变式1、一辆正在匀加速直线行驶的汽车，在5s内先后经过路旁两个相距50m的电线杆，它经过第二根杆的速度是15m/s，求它经过第一根杆的速度及行驶的加速度．变式2、正在匀加速沿水平直轨道运行的列车长为L，列车通过长度也为L的桥，前、后速度分别是v1和v2，则列车的加速度为()

A.eq\f(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1),L)B.eq\f(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1),2L)C.eq\f(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1),4L)D．无法计算变式3、2011年8月10日，改装后的瓦良格号航空母舰首次进行出海航行试验，中国成为拥有航空母舰的国家之一．2012年9月2日，瓦良格航母开始描线涂装舷号，与此前舰艇上黑色字体不同，航母上的“16”为白色字．2012年9月25日，正式更名“辽宁号”，交付予中国人民解放军海军．2013年11月，辽宁舰从青岛赴中国南海展开为期47天的综合南海海域科研试验和训练，期间中国海军以辽宁号航空母舰为主编组了大型远洋航空母舰战斗群，战斗群编列近20艘各类舰艇．2014新年第一天，辽宁号航空母舰顺利返航靠泊青岛某军港．已知该航空母舰飞行甲板长度为L=300m，某种战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为a=4.5m/s2，战斗机速度要达到V=60m/s才能安全起飞

（1）如果航空母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证战斗机起飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？

（2）如果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多少？题型五、追及与相遇问题例5、甲、乙两人在一直道上赛跑，开始时两人相距7m．比赛开始时两人同时开始运动，假设开始时甲在前即刻能以6m/s速度匀速运动，而乙在后从静止以2m/s2的加速度匀加速运动，问：

（1）经多长时间乙追上甲？

（2）乙追上甲时的速度多大？解析：△S=5m，V甲=6m/s，a2=2m/s2

甲的位移：S甲=v0t①乙的位移：②

∴S乙=S甲+△S③

t2﹣6t﹣7=0解得：t=7st=﹣1s（舍去）

乙追上甲时的速度：V乙t=at=14m/s

答：（1）经过7s乙追上甲．(2)乙追上甲时的速度为14m/s．答题技巧：解决本题的关键掌握匀变速直线运动的运动学公式，并能灵活运用．变式1、（2010•孝感一模）一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上在前面1000m处以20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车至少以多大的加速度起动？

甲解法是：设摩托车恰好在3min时追上汽车，则at2=υt+s0，代入数据得：a=0.28m/s2．

乙解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m/s，则υm2=2as=2a（υt+s0），代入数据得：a=0.1m/s2你认为甲、乙的解法正确吗？若错误请说明其理由，并写出正确的解题过程．变式2、（2011•泰兴市模拟）甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m/s．已知甲车紧急刹车时加速度大小al=3m/s2，乙车紧急刹车时加速度大小a2=4m/s2，乙车司机的反应时间为0.5s．为保证在紧急刹车中两车不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？【巩固提高】1、甲、乙两辆汽车以相同的恒定速度直线前进，甲车在前，乙车在后．甲车上的人A和乙车上的人B各用石子瞄准对方，以相对自身为v0的初速度同时水平射击对方，若不考虑石子的竖直下落，则（）A．A先被击中 B．B先被击中C．同时被击中 D．可以击中B而不能击中A2、质点做直线运动的位移s与时间t的关系为s=5t+t2（各物理量均采用国际单位制单位），则下列说法正确的是（）A．s的单位是m，是国际单位制的一个基本单位B．前2s内的平均速度是6m/sC．任意相邻1s内的位移差都是1mD．任意1s内的速度增量都是2m/s3、一队伍以某一速度v0做匀速直线运动，因有紧急情况通知排头兵，一通讯兵以不变的速率跑步从队尾赶到排头，又从排头回到队尾，在此过程中通讯兵的平均速度为v，则（）A.B.v0=vC.D.v0=2v4、一质点沿x轴运动，其位置x随时间t变化的规律为：x=15+10t-5t2（m），t的单位为s．下列关于该质点运动的说法正确的是（）A．该质点的加速度大小为5m/s2B．t=3s时刻该质点速度为零C．0～3s内该质点的平均速度大小为5m/sD．物体处于x=0处时其速度大小为20m/s5、汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4s末通过C点关闭发动机匀减速前进，再经6s到达B点停止．已知AB长为30m，则下列说法正确的是（）A．通过C点时速度大小为3m/sB．通过C点时速度大小为6m/sC．AC段位移为12mD．汽车在AC段与CB段平均速度相同6、一物体沿光滑斜面由静止开始匀加速下滑，当下滑距离为L时，物体速度为v，当物体的速度是时，它沿斜面下滑的距离是（）B.C.D.7、子弹以初速度v0打入两块完全相同的木板，并恰好穿过这两块木板．假设子弹在木板中的运动是匀减速直线运动，则子弹穿越第一块木板后速度为（）A.B.C.D.8、一物体从t0=0时刻开始做匀减速直线运动，设位移中点时刻为t1，速度为v1，中间时刻为t2，速度为v2，下列说法正确的是（）A．t1=t2，v1=v2 B．t1＞t2，v1＞v2C．t1＜t2，v1＜v2 D．t1＜t2，v1＞v29、如图所示，一修路工在长为S=100m的隧道中，突然发现一列火车出现在离右隧道口200m处，修路工所处的位置恰好处在无论向左还是向右跑均能脱离危险的位置，问这个位置离隧道右出口的距离是多少？他奔跑的最小速度至少应是火车速度的多少倍？10、2010年4月22日14时43分，某记者从厦门火车站的1号站台上了一列和谐号动车，提前体验福厦高铁