平行线拐点问题六种模型题型

初一下学期，平行线拐角模型之猪蹄、臭脚、骨折模型，模型解题平行线拐角模型除铅笔模型外，本章介绍拐角模型剩下的三个模型：猪蹄模型、臭脚模型和骨折模型，以及利用这三个模型进行解题。・猪蹄”模型〃猪蹄”模型该模型类似英文字母"M我们称之为M模型，也类似猪蹄，又称之为猪蹄”模型。满足的条件为：点P在直线BC的左侧，在直线AB与直线CD的内部。结论为：若AB/CD,则/P=ZB+ZC。证明的方法与上一篇铅笔”模型类似，我们提供一种思路进行验证。证明：过点P作PEIIAB,可得:ZB=ZBPEABIICDaPEIICD.\zC=zCPEvzBPC=zBPE+zCPE/.zBPE=zB+zCp

■臭脚”模型臭脚”模型需要满足的条件为：点P在直线BC的右侧，在直线AB、CD外部。结论为:/P="BP-/DCP或/P=ZDCP-〃BP。要证明这个结论，需要用到的知识点有：平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和。证明：延长PB交CD于点Q'/ABllCD.\zABP-zDQP,.zDQP=nC+nP.*zABP=/C+nP当然，也可以利用作平行线的方法来进行证明

证明：过点P作PQIICD,则/QPC=2dCP又；ABIICD/-ABIIPQJ./ABP=/BPQ；/BPQ=nBPC+nCPQ"BPQ=nBPC+nDCP■骨折”模型p”骨折〃模型骨折”模型需满足的条件：点P在直线BC左侧，在直线AB与直线CD外部。结论为:/P=/DCP-〃BP。证明的方法与前三种模型类似，这边不再重复证明，可以作任意一边的平行线为辅助线，也可以利用平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和来进行证明。■I1型应用;（1）若/E=60°,3）;（1）若/E=60°,3）如图2,已知例题1:(2019秋金凤区校级期末)如图1,已知AB/CD,/B=30°,ZD=12(J则/F=:;(2)请探索ZE与/F之间满足的数量关系？说明理由；(EP平分/BEF,FG平分ZEFD,反向延长FG交EP于点P,求/P的度数.解解：（1）如图1,分别过点E,F作EMIIAB।FNIIAB,aEMIIABIIFN./.zB=zBEM=30afzMEF=zEFNfX'/ABIICD,ABllFN,/<DllFN,/.zD+zDFN=180°,又；nD=1201.\zDFN=6001J.zBEF=zMEF+300rzEFD=zEFN+60Q,/.zEFD=zMEF+60°.\ZEFD=ZBEF+3O°=9O°;(2)如1，分别过点E,F作EMIIABfFNIIAB(2)如/.EMllABllFN,,*.zB=zBEM=30"zMEF=zEFNf又.ABIICD,ABllFNf.\CDllFN,/.zD+zDFN=180°f又；nD=1201「上DFN=60"/.zBEF=zMEF+30",zEFD=zEFN+60'f/.zEFD=zMEF+60°ft\zEFD=zBEF+30";（3）如图2,过点F作FHllEP1由（2）知,zEFD=zBEF+30°f设nBEF=2x\贝此EFD=(2x+30):•「EP平分nBEF,GF平分nEFD,i1"PEF=5/BEF=k"nEFG\/EFD=(x+15)\\FHHEPf「zPEF=/EFH=x"zP-zHFG,'/zHFG=zEFG-zEFH=15°f/.zP=15°.例题2:（2019春梁园区期末）如图1,AB心D,点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC.（1）探究猜想：①若ZA=20°,/C=50°,贝UZAEC=.②若zSA=25°,ZC=40°,则"EC=.③猜想图1中/EAB、/ECD、zSAEC的关系，并证明你的结论.（2）拓

展应用：如图2,AB心D,线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、II两部分（不含边界），在利用模型解题前，我们首先要知道这些模型的基本结构，以及证明的过程（这是关键），不单单是记住结论，因为题目千变万化，但是又万变不离其宗，解题的思路是类似的。通过这两道例题，我们也可以发现，遇到平行线拐角模型时，最常做的辅助线为：过拐点作已知直线的平行线。专题01平行线中的拐点问题典例整型一内TOC\o"1-5"\h\zCom•福州三模）如图，已知IZACD=XOOa,则上口的度数是（）AJDEA.40*B.SO*C,60*D,SO*【点睛】首先过C作再证明匈?“的C”以品根据平行线的性质可得，ZD=左皿进而得到答案，工解析】驿，过匚作CF#.IBfA\-S严”*7C/.zls/>.'.Zd=Z^C7=40fl,AD-ZFCD,匕Zacd—i^,:々8=10d~405=8"?b-iZ2J—(50故送；C.2.(2020•贾塘区期末)如图，直线4=125°,/B=S5°,则Nl-/2=30°【点睛】过点工作A的平行线，过点3作匕的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得N3=N1,Z4=Z2,再根据两直线平行，同旁内角互补求出NC.45-Nz®)=160°,然后计算即可得解.【解析】解：如图，过点/作h的平行线，过点5作，2的平行线，.*.Z3=Z1,Z4=Z2,：.ACllBD,•••NC4B-N®)=180°,/.Z3-Z4=125°+85°-180°=30°>.•.Zl-Z2=30".故答案为30°.3.（2020•漉溪期末）如图所示，已知ABHCD,B尸平分NABE,。尸平分NCQE,NSED=115°,那么NBFD的度数是（）:McDA.62°B.64°C.57.5°D.60°【点睛】过E作EG也正，过F作FH〃AS,依据平行线的性质，即可得到乙出Er/CQE=115°,再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出/即吟的度数.【解析】解：如图，过E作过尸作尸H也仍，'.'ABHCD,：.EGUCD,FHltCD,/：.ZABE=ZGEB,ZCDE=AGED>产弋0ZBED=^4BE-ZCDE=115°,C又二B产平分4班，D尸平分NCQE,:.Zabf=%Zabe?4cdf=a4cde,：・ZaBF-NCDF='(ZABE-ZCDE)=57.5°,'.'ABllFHlICD,:.Xabf=zbfh,Zcdf=Zdfh,：.Z£FD=£BFH-£DFH=ZABF-^CDF=57.5°,故选：C.骐例题型二夕出理4,(二0二。，沙坪坝区校级月考)如圈，&#入Zl=55fl,N2=130。，则/3=()A-100&D-105*C-110*D-lir【点睛】作平行线，构建平行线的性质可得/5的度数，由平角的定义可得N4的度射，从而得给论.【解析】解：过且作e#@F，Z3-/4=lg(T,Rus，△-0=1加"，•「』2二1%‘.，/5=5-,.,.Z4=180s-55i-50°=75*,.■■Z3^1S0°—75*=105".故选；B.七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析平行线四大拐点模型：铅笔”模型、猪蹄”模型、臭脚”模型、骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，接着介绍平行线中常见的六种易错题型。01性质定理与判定定理的区分在刚开始学习写证明题时，要求我们做到每一步都有理有据，因此需要在每一步后面写上得到的理由，写理由时一定要分清是性质定理还是还是判定定理。很多学生刚开始学时，不知道使用哪个定理，分不清什么是性质定理，什么是判定定理。要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。例题1:如图,BD±ACfEF±ACXD.F分别为垂足，且n1=n4,求证:zADG=zC【分析】先由垂直的定义得到：Z2=Z3,然后由同位角相等，两直线平行得到：EF/BD,再由两直线平行，同位角相等得到："=/5,然后根据等量代换得到：Z1=/5,再根据内错角相等，两直线平行得到：DG/BC,最后由两直线平行，同位角相等即可证〃DG=/C.

例题2:如图，下列说A./A与例题2:如图，下列说A./A与/B是同旁区B./I与/2是对顶角C./2与nA是内错角D.N2与/3是同位角直线平行，同位角相等）24二N5(VZ1=Z4（已知）21二N5（等量代换），DGIIBC（内错角相等，两直线平行），nADG=/C（两直线平行，同位角相等）.证明：'BD^AC,EF_LAC（已知），n2=n3=90。（垂直的定义），BDIIEF（同位角相等，两直线平行）02三线八角理解不透彻很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对主线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。【分析】〃与/B的共边线为直线AB,那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么〃与ZB是同旁内角，正确；/1与Z2是邻补角，错误；Z2与〃的共边线为直线AC,是同位角，错误；Z2与/3是内错角，错误。03对平行线的概念理解不透彻例题3:判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线.【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；可知平行的前提：这两条线必须是直线。而题目中只是说是两条线”，两条线的情况很多：两条都是直线；两条都是线段；两条都是射线；一条直线、一条线段等等，因此这句话是错误的。04不能很好的识别复杂图形在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提。例题4:如图.已知：EF±ACf垂足为点F,DM±ACf垂足为点M.DM的延长线交AB于点B,且N1=NC,点N在AD上|且n2=n3,试说明ABIIMNX1\\K\\

【分析】首先证明EF/DM可得/3=/CDM,进而可得Z2=/CDM,可证明MN/CD,再根据平行线的性质