最佳平方逼近多项式

关于最佳平方逼近多项式第一页，共三十二页，2022年，8月28日本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现§5.2最佳平方逼近多项式第二页，共三十二页，2022年，8月28日1.内积空间权函数：考虑到在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间[a,b]上的非负函数满足条件：1）存在；2）对非负的连续函数，若则在[a,b]上，，即不恒为0。就称为[a,b]上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。第三页，共三十二页，2022年，8月28日1.内积空间内积：设是[a,b]上的权函数，则称积分

为函数与在[a,b]上的内积,有下列性质：1）2）为常数;3）4）当且仅当时，第四页，共三十二页，2022年，8月28日1.内积空间内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在连续函数空间上定义了内积就形成了一个内积空间。向量的模：在n维欧氏空间中，内积就是两向量的数量积，即向量的模（范数)的定义为：第五页，共三十二页，2022年，8月28日1.内积空间欧式范数：若,则量称为的欧式范数。对任何,有以下结论：（1），又称柯西-施瓦茨不等式；（2），又称三角不等式；（3），又称平行四边形定律。第六页，共三十二页，2022年，8月28日2.两类特殊的函数族正交：若为[a,b]上的权函数且满足则称与在[a,b]上带权正交。正交函数族：若函数族满足关系则称是[a,b]上带权的正交函数族；若，则称为标准正交函数族。第七页，共三十二页，2022年，8月28日2.两类特殊的函数族可以证明，三角函数族满足上述条件，是在上的正交函数族。线性无关：若函数在区间[a,b]上连续，如果当且仅当时成立，则称在[a,b]上是线性无关的。第八页，共三十二页，2022年，8月28日2.两类特殊的函数族线性无关函数族：若函数族中的任何有限个线性无关，则称为线性无关函数族。充要条件：

在[a,b]上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式，其中第九页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近最佳平方逼近函数：对于及中的一个子集若存在使下式成立:则称是在子集中的最佳平方逼近函数，其中是一组线性无关函数族，函数第十页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数

的最小值。令则引入内积定义，可得即第十一页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近上式是关于的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为简记为。其中第十二页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近由于线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即，该法方程有唯一解为

则最佳平方逼近函数为令，则平方误差第十三页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近

特别地，取，，求其最佳平方逼近多项式。此时，第十四页，共三十二页，2022年，8月28日3.函数的最佳平方逼近又称为希尔伯特矩阵。则方程

的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。第十五页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例1.求在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解：取由得则由第十六页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例得解得：故所求一次最佳平方逼近多项式为：所求最佳一次逼近多项式为：第十七页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第十八页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例Matlab求定积分（int函数）d0=(2*2^(1/2))/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3^(1/2)*i)/2)^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5+(6*(3/2+(3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((-1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(-1/2+(3^(1/2)*i)/2)*(1/2+(3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5第十九页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例二次第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例三次第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例四次第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日4.举例第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日5.MATLAB编程实现functionA=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfori=1:n+1C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfori=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=C\d;A=real(double(A));