直线、平面平行的判定及性质

直线、平面平行的判定及性质1．[2015·福州质检]已知m、n、l为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l∥β，α∥β⇒l∥αC．m∥α，m∥n⇒n∥αD．α∥β，l∥α且l⊄β⇒l∥β答案D解析对于选项A，m、n可能平行或异面；对于选项B，还可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，还可能出现n⊂α这种情形．由α∥β，l∥α可得l∥β或l⊂β，又知l⊄β，所以只有l∥β.故选项D正确．故选D.2．[2016·武汉调研]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β答案D解析选项A中α和β也可能相交，选项B中α和β也可能相交，选项C中也可能n⊂α，只有选项D是正确的．3．[2016·潍坊模拟]已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2答案D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β，因此选D.4．[2016·江西盟校联考]设l表示直线，α，β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析②中α内的直线与l可异面，④中可有无数条．5．[2015·南开模拟]下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面内不共线且在平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错；故选项C正确．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN＝eq\f(2a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定答案B解析连接CD1，在CD1上取点P，使D1P＝eq\f(2a,3)，∴MP∥BC，PN∥AD1.∴MP∥面BB1C1C，PN∥面AA1D1D.∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.7．[2015·郑州模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③答案C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．选C.8．[2016·济宁模拟]过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案6解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．9．[2016·南京模拟]已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．答案②④解析当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又α∥β，∴m⊥β，④正确，故填②④.10．如图，已知矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF＝DE＝AD＝eq\f(1,2)AB＝2，O为BD的中点．求证：EO∥平面BCF.证明证法一：如图，在矩形ABCD中，取BC的中点G，连接FG，OG.由O为BD的中点，知OG∥DC，OG＝eq\f(1,2)DC，又EF∥DC，EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)DC，所以OG∥EF且OG＝EF，所以四边形OGFE是平行四边形．所以EO∥FG.又FG⊂平面BCF，所以EO∥平面BCF.证法二：如图，过点O作BC的平行线分别交AB，CD于点M，N，连接EM，EN.因为O为BD的中点，则M，N分别为AB，CD的中点．又EF＝eq\f(1,2)AB，所以EF綊BM綊CN.故四边形EFBM与四边形EFCN均为平行四边形．所以EM∥FB，EN∥FC，所以平面EMN∥平面BCF.又EO⊂平面EMN，所以EO∥平面BCF.11．如图所示，点P为▱ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．解(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.又因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE，AE，则NE∥CD，NE＝eq\f(1,2)CD.而CD綊AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求三棱锥P－BEF的表面积．解(1)证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME.∵点F为PD的中点，∴FM綊eq\f(1,2)CD，又AE綊eq\f(1,2)CD，∴AE綊FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)连接ED，BD，可知ED⊥AB，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD))⇒PD⊥AB,DE⊥AB))⇒AB⊥平面PEF,PE，FE⊂平面PEF))⇒AB⊥PE，AB⊥FE，故S△PEF＝eq\f(1,2)PF·ED＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),8)；S△PBF＝eq\f(1,2)PF·BD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)；S△PBE＝eq\f(1,2)PE·BE＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(7),8)；S△BEF＝eq\f(1,2)EF·EB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).因此三棱锥P－BEF的表面积SP－BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝eq\f(4＋\r(3)＋\r(7),8).[B级知能提升](时间：20分钟)1．有互不相同的直线m，n，l和平面α，β，给出下列四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若m，n是相交直线，m⊂α，m∥β，n⊂α，n∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中真命题有()A．4个 B．3个C．2个 D．1个答案B解析由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.2．[2016·温州一测]如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.答案①②④解析取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．3．如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中点．(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离．解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，设点B到平面AB1D的距离为d，∵VB1－ABD＝VB－AB1D，∴S△ABD·BB1＝S△AB1D·d，∴d＝eq\f(S△ABD·BB1,S△AB1D)＝eq\f(AD·BD·BB1,AD·B1D)＝eq\f(BD·BB1,B1D)＝eq\f(2\r(5),5)，∴点A1到平面AB1D的距离为eq\f(2\r(5),5).4．[2015·成都调研]一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点，G是DF上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．解(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a