无穷积分的性质与收敛判别

关于无穷积分的性质与收敛判别第一页，共三十八页，2022年，8月28日一、无穷积分的性质第二页，共三十八页，2022年，8月28日第三页，共三十八页，2022年，8月28日证极限的柯西准则,此等价于收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第四页，共三十八页，2022年，8月28日性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第五页，共三十八页，2022年，8月28日性质2第六页，共三十八页，2022年，8月28日h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第七页，共三十八页，2022年，8月28日再由柯西准则的充分性,第八页，共三十八页，2022年，8月28日若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何有限区间[a,u]上可积,性质3

(绝对收敛的无穷积分必收敛)若

f在任第九页，共三十八页，2022年，8月28日因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第十页，共三十八页，2022年，8月28日收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例2的收敛性.判别解由于第十一页，共三十八页，2022年，8月28日二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在

上的非负函数f

在任何收敛的充要条件是:第十二页，共三十八页，2022年，8月28日证设增函数的收敛判别准则,

从而F(u)是单调递增的由单调递第十三页，共三十八页，2022年，8月28日非负函数

f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.2(比较判别法)

设定义在上的两个存在满足第十四页，共三十八页，2022年，8月28日证

由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第十五页，共三十八页，2022年，8月28日例3判别的收敛性.解显然第十六页，共三十八页，2022年，8月28日设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例4证由于第十七页，共三十八页，2022年，8月28日推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且第十八页，共三十八页，2022年，8月28日证

即第十九页，共三十八页，2022年，8月28日第二十页，共三十八页，2022年，8月28日推论2设f是定义在上的非负函数,在任何限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:

推论3是推论2的极限形式.第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日例5

讨论的收敛性(k>0).解(i)第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日Ex1解所给广义积分收敛．Ex2解根据柯西极限审敛法

，所给广义积分发散．第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日Ex3解根据柯西极限审敛法

，所给广义积分发散．第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日证Ex6:

用比较审敛法证明：即收敛.第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日Ex7解所以所给广义积分收敛.第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.定理11.3(狄利克雷判别法）证故第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日使得因此,由柯西准则，第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日证[证法1]定理11.4(阿贝尔判别法)由

g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得第三十页，共三十八页，2022年，8月28日由柯西准则,第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日[证法2]由狄利克雷判别法收敛,所以第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日例6的收敛性.收敛.解由狄利克雷判别法推知另一方面，第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日狄利克雷判别法条件,是收敛的；第三十四页，共三十八页，2022年，8月28日类似可证:第三十五页，共三十八页，2022年，8月28日当x→+∞时,被积

函数即使不趋于0,

甚