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文档简介

关于无穷小的比较无穷小的阶第一页，共二十六页，2022年，8月28日一、无穷小的比较例如,观察下列极限当时,都是无穷小.不可比.型极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢”程度不同.第二页，共二十六页，2022年，8月28日定义:(1)如果

则称是比高阶的无穷小．设是同一过程中的两个无穷小,且记作(2)如果,则称是比低阶的无穷小；(3)如果,则称与是同阶的无穷小；特殊地,如果

则称与是等价的无穷小；记作(4)如果,无穷小；则称是的阶的第三页，共二十六页，2022年，8月28日例如，因为所以当时，与是等价无穷小．即所以当时，是比高阶的无穷小．因为即而所以当时，是二阶无穷小．第四页，共二十六页，2022年，8月28日证明因为例1证明：当时，为的三阶无穷小．所以为的三阶无穷小．第五页，共二十六页，2022年，8月28日二、等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)证存在．则是同一极限过程的无穷小；第六页，共二十六页，2022年，8月28日几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中的可以是函数形式,当时,但在所考虑的极限过程中,此函数的极限应为零.第七页，共二十六页，2022年，8月28日例2解例3

求极限解因为所以有求当时,第八页，共二十六页，2022年，8月28日例4解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,不能滥用等价无穷小代换.切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限．对于代数和中各无穷小不能分别代换.第九页，共二十六页，2022年，8月28日解解错例5求当时,原式原式第十页，共二十六页，2022年，8月28日例6计算解因为,所以于是原式第十一页，共二十六页，2022年，8月28日解

当时,与是等价无穷小,则例7(0702)第十二页，共二十六页，2022年，8月28日例8(040210)计算极限解由与等价得:原式第十三页，共二十六页，2022年，8月28日三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.第十四页，共二十六页，2022年，8月28日练习(030104)解第十五页，共二十六页，2022年，8月28日练习解而第十六页，共二十六页，2022年，8月28日所以第十七页，共二十六页，2022年，8月28日任何两个无穷小都可以比较吗？思考题第十八页，共二十六页，2022年，8月28日思考题解答都是无穷小量但不存在且不为无穷大不能．故当函数不能比较.第十九页，共二十六页，2022年，8月28日一、

填空题：1、2、3、4、练习题第二十页，共二十六页，2022年，8月28日5第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日二、求下列极限(1)(2)(3)(4)第二十三页，共二十六页，2022年，8

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