第四章稳恒电流

第四章稳恒电流第一节电流的稳恒条件和导电规律1。电流强度和电流密度（1）电流导体中电荷作定向运动形成电流，方向和大小都不随时间变化的电流叫做稳恒电流。在金属导体中，正离子形成晶格，若大量自由电子在无规则热运动基础上相对晶格作规则的定向移动，便形成电流，自由电子被称为载流子。在电解液中，正、负离子的定向运动形成电流，其载流子是正、负带电离子。像上述两种情况下大量微观带电粒子定向移动所形成的电流叫传导电流。此外，由宏观带电体或带电粒子作宏观定向移动所形成的电流叫运流电流，由变化的电场“产生”的电流叫位移电流。关于位移电流将在本书的第十一章中介绍，本章主要研究传导电流。形成传导电流的条件是：物体中有可移动的电荷，即载流子；物体两端有电势差或物体内有电场。例如在金属导体内就有可以自由移动的电荷——自由电子，所以在金属导体的两端加上电压时就可在其内形成电流，因而金属是导电的，称为导体。导体内电流的形成过程为：当在导体两端加上电压时，与之相伴随而在导体内会产生一电场，其方向沿着电势降落的方向，在电场的作用下，自由电子将逆着电场的方向作规则的定向移动，从而形成电流。习惯上，人们把正电荷在电场作用下规则定向移动的方向规定为电流的方向，因而电流的方向与自由电子移动的方向正好相反，这样在形成电流问题上，可以把负电荷移动形成的电流看作是正电荷沿相反方向移动形成的电流。2）电流强度电流的强弱用电流强度来表示，其定义为：单位时间通过导体任一截面的电量。假定在dt时间内，通过导体截面的电量为dq,用I表示电流强度，则有I=dq/dt其单位是安培（用A表示），1安培=1库仑/秒。电流强度是标量,通常所说的电流方向是指电荷在导体内移动的方向,并非电流是矢量。当I二dq/dt二常数时，即电流强度的大小和方向都不随时间发生变化时，这种电流称为稳恒电流，也叫直流电流；当I随时间发生周期性变化时，称为交变电流；当I随时间作正弦规律的变化时，称为正弦交流电。(3)电流密度应该注意：电流虽然是电荷的定向移动形成的，但电流的传递速度与电荷定向移动的速度是完全不同的。一般来说，导体内各点的电流分布是不相同的，为了描述电流分布的详细情况，我们引入一个新的物理量——电流密度。在电流通过的导体中的某处取一小面元dS，使dS的法线单位矢量n的方向和该处的电流方向一致，设垂直通过dS的电流强度为di,则电流密度定义为：j=dI/dS该式表明，电流密度的大小等于垂直通过单位面积的电流强度，方向与该处小面元dS的法线方向即电流方向一致，单位是安培／米(A/m)。由上式还可求出通过任一有限面积S的电流强度。在S上任取一面积元dS,其法向方向与该处的j夹一角度为e角，则通过dS的电流强度dI=j・dS则通过有限面积S的电流强度为mj・ds可见电流强度也可看作是电流密度矢量对该曲面的通量。2．电流连续性方程在导体内任取一个闭合曲面S,因为闭合曲面S的法线正方向总是规定向外的，所以通过该闭合曲面的j通量，就是面内向外流出的电流强度,亦即单位时间向外流出的电量。根据电荷守恒定律,从曲面内流出的电量应等于面内电量的减少量。设闭合曲面内的电量为q,则有旺j・dS=-dq/dt该式称为电流连续性方程。对于稳恒电流，由于I的大小和方向都不随时间发生变化,这样形成电流的电场就必须是一个稳定场,产生电场的电荷就必须是一个稳定的分布,这样对于任一闭合曲面S,必有Jjj・dS=O此即为稳恒电流的连续性方程,也叫电流的稳恒条件。稳恒电流的电场是一个不随时间发生变化的电场,它与前面讲的静电场十分相似，静电场所满足的规律在此仍然适用，在后面电路中经常使用的电势和电势差（电压）就是基于这一点。第二节均匀电路的欧姆定律及其微分形式焦耳定律1.均匀电路的欧姆定律所谓均匀电路，就是一段不含电源的稳恒电路，比如给导体两端加上恒定的电势差，导体中相应地就存在着稳恒电流，电势差越大，电流强度I就越大，导体中的电流强度I和导体两端的电势差之间的关系由实验得出为I=U/R该式称为均匀电路的欧姆定律。式中R是常数，称为导体的电阻，在国际制单位中的单位为欧姆（用Q表示）。实验表明欧姆定律它不仅适用于金属导体，而且对电解质溶液也适用，但它对气态导体（如日光灯中汞蒸汽）和其它一些导电器件（电子管、晶体管）则不成立。2．电阻定律一般金属导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验指出，对由一定材料制成的横截面均匀的导体的电阻R=p1/S该式称为电阻定律。式中i是导体的长度，S是导体的截面积，比例系数p是导体的电阻率，单位是欧姆•米（Q・m），大小由材料性质决定。电阻率的倒数叫电导率，用符号Y表示，即p=1/Y当导体的横截面积不均匀或电阻率不均匀时，导体的电阻R=pdl/S当温度发生变化时，导体的电阻率也要改变。实验表明，在通常情况下大多数金属导体温度越高，电阻率越大。3．半导体和超导体一般把电阻率小于10-60•m的材料叫导体，电阻率大于108Q・m的材料叫绝缘体，电阻率在10-5〜1060・m之间的材料叫半导体，锗和硅是最常见的半导体。半导体材料有以下特点：当温度发生变化时，其导电性能会急剧变化，温度升高，其电阻会急剧减小，(这与上述的金属导体完全相反)并且变化不是线性的。适当掺杂，其导电性能会急剧增加。光照时其导电性能也会发生变化。正是基于以上三点，半导体材料获得了广泛的应用，由此制作的二极管、三极管、场效应管以及集成电路等已成为电子线路最重要的元件。当温度降到某一特定热力学温度Tc时，某些金属、合金以及金属化合物的电阻率会几乎减小到零，这种现象叫超导现象。能产生超导电现象的材料叫超导体，超导体处于电阻率为零的状态叫超导态。叫做转变温度。到目前为止，通过对各种金属的实验测定，人们已发现在正常压力下，有28种元素具有超导电性，其中锯(Nb)的转变温度最高，Tc=9・26K,钨(W)的转变温度最低，Tc=O・012K。另外有10多种金属，在加压和制成高度无序薄膜以后，也会变为超导体。目前约有5000种合金和化合物具有超导现象，最高转变温度已达90K。费利(F订e)等人用核磁共振方法测量超导电流产生的磁场来研究螺线管内超导电流的衰减，他们得到的结论是超导电流的衰减时间不短于10万年，这样的电流真可称为永久电流，可见超导体处于超导态时是一种完全导电的理想导体。1933年迈斯纳用实验还证明了，在超导状态下，超导体内部磁场消失，它是一个理想的抗磁体。超导研究是目前物理学上一个活跃的领域，其主要工作有以下几个方面：①完善关于超导电性的理论解释；②提高较变温度Tc,这直接关系到超导体的应用问题；③关于超导的应用研究。在目前世界上竞相开展的超导研究热潮中，我国中科院物理所的研究工作一直走在世界的前列。4・欧姆定律的微分形式j=YE称作欧姆定律的微分形式。它表明导体中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，且同方向。欧姆定律的微分形式虽是在稳恒电流情况下推出的，但对电流变化不很快的非稳恒情况也适用，因此它比欧姆定律的积分式更为普遍。5・电功及电热定律电流通过一段电路时，电场力作的电功A=qU=IUt电功率 P=A/t=IU其单位分别为焦尔(J)和瓦(W)。此二式是普遍适用的式子而不论何种用电器。在电场力作功过程中，电势能转变成其他形式的能，如纯电阻电路将全部转变为内能，电解池电路将转变为化学能和少量内能，电动机电路将转变为机械能和少量内能等等。电流通过电阻时产生的热量由实验得出为Q=I2Rt该式焦耳定律，其电热功率为P=I2R电热功率密度P=aE也称作焦耳定律的微分形式，它像欧姆定律的微分形式一样，是对任意一点都是成立的。第三节电动势非均匀电路的欧姆定律1．电源前面讲过，在一段均匀的导体中，要维持一稳恒电流，那么在导体的两端就要维持恒定不变的电势差，现在来看这一条件是如何满足的。我们以电容器放电时产生的电流为例。如图所示，当用导线把充过电的电容器的正负极板连接以后，正电荷就在静电力的作用下从正极板通过导线向负极板流动而形成电流。但是这种电流是一种暂时电流，因为两极板上正负电荷会逐渐中和而减少，两极板间电势差也逐渐减小而趋于零，导线中电流也逐渐减弱直到等于零。由此可见，仅有静电力是不能形成稳恒电流的。为了形成稳恒电流，必须有一种装置，它能为电路提供一种非静电力，从而把正、负电荷再分开以维持电势差不变。在电路上，把能够提供这种非静电力的装置叫电源。从能量的角度讲，电源是一种向电路提供能量的装置，干电池、蓄电池、发电机等都属于电源。电源是一种能量转换装置，它的作用是通过非静电力对电荷作功，把其它形式的能量转换为电路所需的电能。不同的电源，非静电力的形式不同，所以能量转换的方式也不同。2．电源的电动势电源有两个电极，一个叫正极，一个叫负极。电源工作时就是靠非静电力作功不断地把正电荷从负极推向正极，其能力的大小用电源的电动势&来表示，其定义为：把单位正电荷从电源的低电位（负极）推向高电位（正极）非静电力所作的功。设电源对正电荷q施加的非静电力为Fk，则从电源负极到正极Fk所作的功为A=J+Fdl=qJ+Edl

kkk所以电源的电动势宓=nEkdi式中Ek表示非静电力场，数值上等于单位正电荷受的非静电力，方k向和正电荷受的非静电力的方向相同。在有些情况下，整个回路L都是电源，因此电动势&可普遍地表示为€ =tEkdl电动势是一个标量，其单位和电势的单位相同，为伏特(V),其大小只取决于电源本身的性质，与电源外电路的连接方式无关。为了使用方便,常规定电动势的方向为电源内部电势升高的方向,也即从负极指向正极。表征电源的另一个重要参量是电源的内阻r，当有电流通过电源时，电阻r对电流也有阻碍作用，电势在r上也有降落，电能也会损失而使电源发热。由电源的电动势&=A/q和q=It可得，电源的功率P=I€将该式与电阻的功率P=IU相比较，可以看出€与U相当，事实上,当电源无内阻时，€在数值上就等于电源的端电压。含源电路的欧姆定律对于一段含源电路，其欧姆定律的表达式为U=&-I(R+r)式中的符号法则规定为：U表示选定方向为A-B,若U>0,表明电势升高;若UV0,表明电势降低。 BA BA若电阻中的电流方向与选定方向相同,则电势降落,电压取-IR；反之取+IR,对电源内阻r亦相同。若电动势的方向(负极指向正极)与选定方面相同,则电势升高，取+&;反之，取-£。闭合电路的欧姆定律若电源外电路上仅与一个电阻R相连接，则为无分支的最简单的闭合电路。下面我们从能量守恒的角度来求闭合回路的电流强度。电源€向电路提供能量，其功率为P=I£，而外电阻R和内电阻r在电路上消耗的功率分别为IR和Ir,这样由能量守恒定律可得£=Ir+IR

则 I二£/(R+r)该式表明闭合电路中的电流等于电源的电动势与总电阻之比，称为闭合电路的欧姆定律。关于闭合电路的欧姆定律应注意以下几点：当Rf8时，外电路开路，1=0,此时电路上没有电流；当R=0时，外电路短路，I=£/r,由于一般r很小，I很大，所以极易烧毁电源,应注意避免发生这种情况。对前一式变形可得IR+Ir—£=0,其中IR是电压，若将£看作无内电阻电源的端电压,则这一关系可理解为,在稳恒电路中,从电路的某一点出发,绕电路一周,各个元件的电压之和为零,这是一个很重要的结论,在分析电路时经常用到。电源两端的电压U称作路端电压，它是电源向电路提供能量(也称为放电)时的电压,U=IR=£-Ir。如果一个闭合电路含有多个电源,则先取一绕行方向,并假设电流强度方向，然后按上述规定的符号法则即可。例1・附图中所示的电路，U=12伏，Rx=30千欧，7?2=6.0千欧，尺3=100千欧,^4=10千欧，心=100千欧，&=1.0千欧，^7=2.0千欧，求电压%、和Ug.+(习题18)〔解〕利用串联电路中各电阻上电压分配规律，得电阻尺2,只3,^49Rj两端电压分別为2.0伏，0伏，0伏，8.0伏。设电源负极为电位零点，贝I]a、力,、d四点的电位分别为+(习题18)Uq=2.0伏，4=12伏，U亡=0伏，~8.0伏.因此所求电压分别为U讥二UQ—U匕=-10伏，Uqg=Uq—Uc=2.0伏，口讥=人一01=—6.0伏・第四节基尔霍夫定律1．支路、节点、回路对于复杂的电路，用欧姆定律是无法求解出电流的，下面介绍一种解算复杂电路的基本定律：基尔霍夫定律。首先介绍几个名词：（1）支路支路就是由电源、用电器（如电阻）串联而成的电流强度相同的通路。（2）节点节点就是由三个或三个以上支路汇交之点。（3）回路回路就是由支路构成的闭合通路。2．基尔霍夫定律基尔霍夫包括两个定律（1）节点电流定律，即基尔霍夫第一定律：ZI=0其表述为：在任一节点处的电流之和为零，或着说流出节点的电流（一般规定流出为正）等于流入节点的电流（流入为负）。这实质上就是电流连续性方程或者说就是电荷守恒定律的反映。（2）回路电压定律，即基尔霍夫第二定律：Z&+ZIR=0其表述为：沿任意闭合回路一周的电压为零，或者说电势增高之量等于电势降落之量。其£和IR的正负，完全与上接节的苻号法则像同。回路电压定律实质上就是能量守恒定律的反映。（3）应用基尔霍夫定律可以解算任何复杂的电路问题，其解题步骤为：假定电流方向和回路方向。找节点，若有n个节点，就可列出（n—1）个独立的节点电流方程。找回路，只要回路内有一段新电路，则这个回路就是独立的。或者找网孔，因为网路中每一网孔必然是独立的。这样又可列出m个（网孔数）回路电压方程。联立求解，当I>0时，表明真实方向与假定方向一致，当IV0时，则相反。例题1复杂电路如图3-4-36所示，已知多=2.15V,^2=1.9V,rxQ0.1Q,r2=0.2Q,R=2Q.求：(1)各支路电流；(2)A、B两点间的电压；(3)两电源的输出功率和电阻R消耗的功率.解：(1)设各支路电流分别为人、人、人，正方向如图

所示.根据基尔霍夫第一定律列出A点的节点电流方程，—人一匚+人=0根据基尔霍夫第二定律，对两个网孔IJI分别列出回路电压方程,7,十匚一人=0<0.1/, 0.212=0.25k0.2/2十2人=1.9由此方程组解出7,=1.5A,12=一0.5A,Z3=1A0,说明该支路实际电流方向与所设方向相反；其余支路的实际电流方向与所设的相同.A、B两点的电压Z7ab=I左=■1X2=2V读者可以根据一段含源也路的欧姆定律，通过另外两条支路验证这个结果.电源茨的输出功率Pi=/Qab=1.5X2=3W电源用2的输出功率P2=Z2^ab=—0.5X2=—1Wp2<0,说明电源氛实际上不是输出功率，而是从外部输入功率，处于充电状态.电阻R消耗的功率巴=ER=FX2=2W从以上计算可知，电源用,输出的功率，一部分消耗在电阻R上，另一部分输入电源用”为之充电.电动势不相等的电源并联供电出现的这种情况，应尽量避免.例题2如图是惠斯通电桥原理图.电源电动势诊已知，内

阻忽略不计，求灵敏电流计的电流5与各臂电阻的关系.解：设各支路电流正方向如图，在此过程中已利用了基尔霍夫第一定律，以尽量减少未知数的个数.这里只设LJzJg三个未知数.根据基尔霍夫第二定律，对IJIJH三个网孔分别列出回路电压方程，设各回路的绕行方向均为顺时针方向，则有网孔I： 人&+几肌一人乩=0网孔II：Ui一/<3）从一（人+4）&—!gRg=0网孔III：11R1+（/2+4）&一分=0整理后得IR一I2R2+IgRg=0IR一IR一5（乩十从十Rg）=0人（&十E）十皿=送三个方程联立求解，得j= （出&一&RJ发 G &从（从+&）+尺2&（&+乩）+氐（&+从）（&+乩）由上式可知，当从乩一&&=0,即当邑=Er2&时，IG=O,电桥平衡，反之，当电桥平衡时，IG=0,上式是电桥平衡的条件

例题3图3-4-38是电势差计的原理图，求待测电池电动势••••銘.解：分析：电势差计是用来精确测量电势差的仪器，也常用于测量电源的电动势.我们知道，用伏特计接在电源两端测量时,由于伏特计中有电流通过，测得的路端电压小于电源的电动势•从路端电压的公式（3440）、（3441）两式可以看出，只有当时，电源电动势才等于路端电压.电势差计就是根据这个道理设计的.电路中，电池组的电动势用应大于标准电池的电动势殒和待测电池的电动势用’・下面来具体求解.先将开关K关到1,把标准电池罠接入电路，与电流计6AC间电阻Rx构成补偿回路.设各支路电流的正方向如图.根据基尔霍夫第一定律，对节点A列出节点电流方程I—J】+人=0根据基尔霍夫第二定律，对补偿回路列出回路电压方程送、十厶心+JRg—IRzQ0合并上两式，得（心+rq）i2—心（人一厶）=一罠调节滑动触头C,使电流计G中无电流通过，即/2=0,设此时R’=则上式变为I0可见，当AC段的电位差人&等于标准电池的电动势凭时，标准电池的电动势被补僚——通过该电池的电流为零.保持由滑线电阻、电池组/和制流电阻R组成的辅助回路中的电流不变，使开关K关到2,将待测电池接入补偿回路，重新调节滑动触头C,再次使电流计中无电流通过，设此时Rx=R29同理得" IR=炙比较式（3453）和（3.4.54）,得可见，只要已知标准电池电动势缓和乎，就可求出农”从上述例题中可看出，用基尔霍夫定律解决复杂电路问题的步骤大致如下：（1） 任意假设各支路电流正方向.（2） 根据基尔霍夫第一定律，对n个节点列出n一1个节点电流方程.（3） 根据基尔霍夫第二定律，设定绕行方向，对独立回路列出回路电压方程.（4） 解联立方程组，并根据解的正负得出所求的真实结果.等效电源定理等效电源定理在电路计算中应用很广泛，利用它常可将复杂电路简化为单回路，从而使计算大为简化。等效电源定理包括等效电